2022-2023学年江苏省扬州市高一下学期期末调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省扬州市2022-2023学年高一下学期期末调研测试数学试题（全卷满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足（为虚数单位），则在复平面上所对应的点位于（）.A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因为，则，所以在复平面上所对应的点为，位于第三象限.故选：C.2.已知一组数据分别是2.65，2.68，2.68，2.72，2.73，2.75，2.80，2.80，2.82，2.83，则它们的75百分位数为（）.A.2.75 B.2.80 C.2.81 D.2.82〖答案〗B〖解析〗因为10个样本数据是从小到大排列的，且，所以第75百分位数是第8个数2.80．故选：B3.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，求角B时，解的情况是（）.A.无解 B.一解 C.两解 D.无数解〖答案〗C〖解析〗因为，，，由正弦定理可得：，则，所以，因为，所以，所以角B有两解.故选：C.4.已知向量与的夹角为，，，则（）.A. B. C.或 D.以上都不对〖答案〗B〖解析〗因为，所以，又，所以，因为向量与的夹角为，所以，所以.故选：B5.已知、m为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）.A.若，，则B.若，，则C.若，，，，则D.若，，，则〖答案〗A〖解析〗对于选项A，因为，则垂直平面内任意一条线，又，所以，所以，则有，所以选项A正确；对于选项B，当，时，有或，所以选项B错误；对于选项C，当，，，时，与可以相交，所以选项C错误；对于选项D，若，，时，有或与异面，所以选项D错误.故选：A.6.如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一.小强同学学以致用，欲测量大运塔的高度.他选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，测得，，在两观测点处测得大运塔顶部的仰角分别为，则大运塔的高为（）.A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，在直角中，，所以，在直角，，所以，即，中，，，由余弦定理得，即，因为，所以解得.即大运塔高为.故选：B7.已知，，则（）.A. B.C. D.或〖答案〗C〖解析〗因为，所以，即，所以，所以，即，即，所以，因为，所以，又，所以，即，所以，所以，所以.故选：C8.如图，在一个质地均匀的正八面体木块的八个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8.连续抛掷这个正八面体木块两次，并记录每次正八面体与地面接触的面上的数字，记“第一次记录的数字为奇数”为事件A，“第二次记录的数字为偶数”为事件B，“两次记录的数字之和为奇数”为事件C，则下列结论正确的是（）.A.B与C是互斥事件 B.A与B不是相互独立事件C. D.A与C是相互独立事件〖答案〗D〖解析〗对于选项A，事件C，两次记录的数字之和为奇数，说明是一奇一偶，即事件B与事件C可以同时发生，不是互斥事件，故选项A错误；对于选项B，对于事件A与事件B，，，，满足，故A与B是相互独立事件，选项B错误；对于选项C，由题意可得，，，，，故，选项C错误；对于选项D，，，，满足，故A与C是相互独立事件，选项D正确；故选：D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（）.A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗选项A：由题意知，E、F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确；选项B：由图可知，，，所以，故B正确；选项C：，所以C错误；选项D：，故D错误.故选：AB.10.从甲厂和乙厂生产的同一种产品中各抽取10件，对其使用寿命（单位：年）的检测结果如下表：甲厂产品35677888910乙厂产品4667888888记甲工厂样本使用寿命的众数为，平均数为，极差为，方差为；乙工厂样本使用寿命的众数为，平均数为，极差为，方差为.则下列选项正确的有（）.A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由题意可得，，，，，，，，，则，，，，故选：BD11.在中，已知，AD为的内角平分线且，则下列选项正确的有（）.A. B.C. D.的面积最小值为〖答案〗ACD〖解析〗依题意，即，所以，所以，故A正确；，所以，当且仅当时取等号，所以或（舍去），则，当且仅当时取等号，故D正确；又，，即，，所以，又，即，所以，所以，即，所以，故C正确；由余弦定理，即，所以，由于由已知条件无法得知的值，故无法确定的值，故B错误.故选：ACD.12.已知函数在区间上有且仅有3个不同零点，则下列选项正确的有（）.A.在区间上有且仅有3条对称轴B.的最小正周期不可能是C.的取值范围是D.在区间上单调递增〖答案〗BCD〖解析〗令,则，函数在区间上有且仅有3个不同零点,即有3个整数符合,由,得，则，即,,故C正确;对于A，,,,当时,在区间上有且仅有3条对称轴；当时,在区间有且仅有4条对称轴，故A错误；对于B,周期,由,则,,又,所以的最小正周期不可能是，故B正确;对于D,,,,,又,所以区间上单调递增,故D正确.故选:BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，双空题第一空2分，第二空3分.13.已知非零向量与的夹角为45°，，向量在向量上投影向量为，则_____________.〖答案〗2〖解析〗由题意可知：.故〖答案〗为：2.14.写出一个同时具有下列两个性质的复数______.性质1：性质2：〖答案〗（写出其中一个即可）〖解析〗设，则，从而，因为，所以，解得，因为，所以，解得，所以.故〖答案〗为：（写出其中一个即可）.15.已知角的终边经过点，且满足，则实数______.〖答案〗〖解析〗因为角的终边上有一点，所以，因为点在第一象限，不妨取，所以等价于.因为，所以，所以，所以，解得.故〖答案〗为：16.已知正方体的棱长为2，点是底面（含边界）上一个动点，直线AP与平面ABCD所成的角为45°，则的取值范围为____________；当取得最小值时，四棱锥的外接球表面积为____________.〖答案〗①.②.〖解析〗连接，因为⊥平面，所以即为线AP与平面所成的角，因为平面平面，故直线AP与平面所成的角等于直线AP与平面所成的角，故，在中，，故点轨迹为以为圆心，2为半径的圆位于底面内的部分，故连接，与圆弧交于点，当与重合时，取得最小值，最小值为，当与或重合时，取得最大值，最大值为2，故的取值范围是；连接相交于点，连接与相交于点，连接，则，，球心在上，连接，则，其中，设，则，由勾股定理得，，故，解得，则，当取得最小值时，四棱锥的外接球表面积为.故〖答案〗为：，四、解答题：本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量，，.（1）若，试判断，能否构成平面的一组基底？并请说明理由.（2）若，且，求与的夹角大小.解：（1）当时，，，因为，所以向量，不共线，所以，能构成平面的一组基底；（2）因为，，所以，又，且，所以，所以，此时，，则，又因为，所以，即向量与的夹角为.18.如图，在棱长为1的正方体中，E为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求点D到平面的距离.（1）证明：连接BD交AC于O，连接EO，由正方体可知底面ABCD为正方形，所以O为BD中点，因为E为棱的中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：设点D到平面的距离为，由正方体可知平面ABCD，底边ABCD为正方形，所以三棱锥的体积，又在中，，O为AC中点，所以，又，所以三棱锥的体积，因为，所以，解得，所以点D到平面EAC的距离.19.某村为响应国家乡村振兴战略，扎实推动乡村产业，提高村民收益，种植了一批琯溪蜜柚.现为了更好地销售，从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，测得其质量（单位：千克）均分布在区间内，并绘制了如图所示的频率分布直方图：（1）按分层随机抽样的方法从质量落在区间，的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量至少有一个小于3.5千克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：A.所有蜜柚均以20元/千克收购；B.低于4.5千克的蜜柚以70元/个的价格收购，高于或等于4.5千克的蜜柚以90元/个的价格收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.解：（1）由题意得：所以蜜柚质量在区间和的比为2：3，所以应分别在质量为，的蜜柚中抽取2个和3个.记抽取的2个蜜柚中质量至少有一个小于3.5千克为事件A抽取的质量在区间的蜜柚分别记为，，质量在区间的蜜柚分别记为，，，则从这5个蜜柚中随机抽取2个，样本空间，共10个样本点解法一：事件，共7个样本点，所以.解法二：事件A对立事件，共3个样本点，所以.（2）方案A好，由题中频率分布直方图可知，蜜柚质量在区间，，，，，的频率依次为0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05，若按方案A收购：由题意知各区间蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250，于是总收益为（元）.若按方案B收购：由题意知蜜柚质量低于4.5千克的个数为1750，蜜柚质量高于或等于4.5千克的个数为，所以总收益为（元）.因为，所以方案A的收益比方案B的收益高，应该选择方案A.20.如图，在三棱锥中，平面平面，，，，D、E分别为SB，AB的中点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.（1）证明：∵，D为SB的中点，∴，∵平面平面SBC，平面SAB，平面平面，∴平面，又平面，∴，∵，∴，又，平面SAB，平面SAB，∴平面SAB，又平面SAB，∴；（2）解：取BD中点H，过H作于K，连接EK，因为E、H分别为AB、BD的中点，∴，由（1）知，，∴，，又，平面SBC，平面SBC，∴平面SBC，即平面BDC，又平面BDC，∴，∵，，平面EHK，平面EHK，∴平面EHK，又平面EHK，∴，∴为二面角的平面角，在中，，，，∴，在中，，，∴，由（1）可知平面SAB，平面SAB，∴，又，平面ABC，平面ABC，∴平面ABC，∵平面ABC，∴，∵D、E分别为SB、AB的中点，∴且，∴，在中，，，∴，在中，，，∴，∴，在中，，∴，由HK在面SBC内，则EH⊥HK，∴在中，，即二面角的正弦值.21.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C的大小；（2）若D是边AB的三等分点（靠近点A），.求实数t的取值范围.解：（1）由正弦定理可得：，∴，∴，又∵，∴.（2）设，，，则，，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：.又，由，得.因为，所以.因为，所以，∴，，，∴，.22.已知函数，（，）（1）若，，证明：函数在区间上有且仅有个零点；（2）若对于任意的，恒成立，求的最大值和最小值.（1）证明：当，时，，则，，，且是一个不间断的函数，在上存在零点，，，∴在上单调递增，在上有且仅有1个零点.（2）解：由（1）知，令，则，∴，∵对于任意的，恒成立，∴恒成立.令，则时，恒成立.即，令，解得或.当时，解得，取，成立，则恒成立，，当时，解得，取，成立，则恒成立.，综上，的最小值为，的最大值为.江苏省扬州市2022-2023学年高一下学期期末调研测试数学试题（全卷满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足（为虚数单位），则在复平面上所对应的点位于（）.A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因为，则，所以在复平面上所对应的点为，位于第三象限.故选：C.2.已知一组数据分别是2.65，2.68，2.68，2.72，2.73，2.75，2.80，2.80，2.82，2.83，则它们的75百分位数为（）.A.2.75 B.2.80 C.2.81 D.2.82〖答案〗B〖解析〗因为10个样本数据是从小到大排列的，且，所以第75百分位数是第8个数2.80．故选：B3.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，求角B时，解的情况是（）.A.无解 B.一解 C.两解 D.无数解〖答案〗C〖解析〗因为，，，由正弦定理可得：，则，所以，因为，所以，所以角B有两解.故选：C.4.已知向量与的夹角为，，，则（）.A. B. C.或 D.以上都不对〖答案〗B〖解析〗因为，所以，又，所以，因为向量与的夹角为，所以，所以.故选：B5.已知、m为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）.A.若，，则B.若，，则C.若，，，，则D.若，，，则〖答案〗A〖解析〗对于选项A，因为，则垂直平面内任意一条线，又，所以，所以，则有，所以选项A正确；对于选项B，当，时，有或，所以选项B错误；对于选项C，当，，，时，与可以相交，所以选项C错误；对于选项D，若，，时，有或与异面，所以选项D错误.故选：A.6.如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一.小强同学学以致用，欲测量大运塔的高度.他选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，测得，，在两观测点处测得大运塔顶部的仰角分别为，则大运塔的高为（）.A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，在直角中，，所以，在直角，，所以，即，中，，，由余弦定理得，即，因为，所以解得.即大运塔高为.故选：B7.已知，，则（）.A. B.C. D.或〖答案〗C〖解析〗因为，所以，即，所以，所以，即，即，所以，因为，所以，又，所以，即，所以，所以，所以.故选：C8.如图，在一个质地均匀的正八面体木块的八个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8.连续抛掷这个正八面体木块两次，并记录每次正八面体与地面接触的面上的数字，记“第一次记录的数字为奇数”为事件A，“第二次记录的数字为偶数”为事件B，“两次记录的数字之和为奇数”为事件C，则下列结论正确的是（）.A.B与C是互斥事件 B.A与B不是相互独立事件C. D.A与C是相互独立事件〖答案〗D〖解析〗对于选项A，事件C，两次记录的数字之和为奇数，说明是一奇一偶，即事件B与事件C可以同时发生，不是互斥事件，故选项A错误；对于选项B，对于事件A与事件B，，，，满足，故A与B是相互独立事件，选项B错误；对于选项C，由题意可得，，，，，故，选项C错误；对于选项D，，，，满足，故A与C是相互独立事件，选项D正确；故选：D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（）.A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗选项A：由题意知，E、F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确；选项B：由图可知，，，所以，故B正确；选项C：，所以C错误；选项D：，故D错误.故选：AB.10.从甲厂和乙厂生产的同一种产品中各抽取10件，对其使用寿命（单位：年）的检测结果如下表：甲厂产品35677888910乙厂产品4667888888记甲工厂样本使用寿命的众数为，平均数为，极差为，方差为；乙工厂样本使用寿命的众数为，平均数为，极差为，方差为.则下列选项正确的有（）.A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由题意可得，，，，，，，，，则，，，，故选：BD11.在中，已知，AD为的内角平分线且，则下列选项正确的有（）.A. B.C. D.的面积最小值为〖答案〗ACD〖解析〗依题意，即，所以，所以，故A正确；，所以，当且仅当时取等号，所以或（舍去），则，当且仅当时取等号，故D正确；又，，即，，所以，又，即，所以，所以，即，所以，故C正确；由余弦定理，即，所以，由于由已知条件无法得知的值，故无法确定的值，故B错误.故选：ACD.12.已知函数在区间上有且仅有3个不同零点，则下列选项正确的有（）.A.在区间上有且仅有3条对称轴B.的最小正周期不可能是C.的取值范围是D.在区间上单调递增〖答案〗BCD〖解析〗令,则，函数在区间上有且仅有3个不同零点,即有3个整数符合,由,得，则，即,,故C正确;对于A，,,,当时,在区间上有且仅有3条对称轴；当时,在区间有且仅有4条对称轴，故A错误；对于B,周期,由,则,,又,所以的最小正周期不可能是，故B正确;对于D,,,,,又,所以区间上单调递增,故D正确.故选:BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，双空题第一空2分，第二空3分.13.已知非零向量与的夹角为45°，，向量在向量上投影向量为，则_____________.〖答案〗2〖解析〗由题意可知：.故〖答案〗为：2.14.写出一个同时具有下列两个性质的复数______.性质1：性质2：〖答案〗（写出其中一个即可）〖解析〗设，则，从而，因为，所以，解得，因为，所以，解得，所以.故〖答案〗为：（写出其中一个即可）.15.已知角的终边经过点，且满足，则实数______.〖答案〗〖解析〗因为角的终边上有一点，所以，因为点在第一象限，不妨取，所以等价于.因为，所以，所以，所以，解得.故〖答案〗为：16.已知正方体的棱长为2，点是底面（含边界）上一个动点，直线AP与平面ABCD所成的角为45°，则的取值范围为____________；当取得最小值时，四棱锥的外接球表面积为____________.〖答案〗①.②.〖解析〗连接，因为⊥平面，所以即为线AP与平面所成的角，因为平面平面，故直线AP与平面所成的角等于直线AP与平面所成的角，故，在中，，故点轨迹为以为圆心，2为半径的圆位于底面内的部分，故连接，与圆弧交于点，当与重合时，取得最小值，最小值为，当与或重合时，取得最大值，最大值为2，故的取值范围是；连接相交于点，连接与相交于点，连接，则，，球心在上，连接，则，其中，设，则，由勾股定理得，，故，解得，则，当取得最小值时，四棱锥的外接球表面积为.故〖答案〗为：，四、解答题：本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量，，.（1）若，试判断，能否构成平面的一组基底？并请说明理由.（2）若，且，求与的夹角大小.解：（1）当时，，，因为，所以向量，不共线，所以，能构成平面的一组基底；（2）因为，，所以，又，且，所以，所以，此时，，则，又因为，所以，即向量与的夹角为.18.如图，在棱长为1的正方体中，E为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求点D到平面的距离.（1）证明：连接BD交AC于O，连接EO，由正方体可知底面ABCD为正方形，所以O为BD中点，因为E为棱的中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：设点D到平面的距离为，由正方体可知平面ABCD，底边ABCD为正方形，所以三棱锥的体积，又在中，，O为AC中点，所以，又，所以三棱锥的体积，因为，所以，解得，所以点D到平面EAC的距离.19.某村为响应国家乡村振兴战略，扎实推动乡村产业，提高村民收益，种植了一批琯溪蜜柚.现为了更好地销售，从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，测得其质量（单位：千克）均分布在区间内，并绘制了如图所示的频率分布直方图：（1）按分层随机抽样的方法从质量落在区间，的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量至少有一个小于3.5千克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：A.所有蜜柚均以20元/千克收购；B.低于4.5千克的蜜柚以70元/个的价格收购，高于或等于4.5千克的蜜柚以90元/个的价格收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.解：（1）由题意得：所以蜜柚质量在区间和的比为2：3，所以应分别在质量为，的蜜柚中抽取2个和3个.记抽取的2个蜜柚中质量至少有一个小于3.5千克为事件A抽取的质量在区间的蜜柚分别记为，，质量在区间的蜜柚分别记为，，，则从这5个蜜柚中随机抽取2个，样本空间，共10个样本点解法一：事件，共7个样本点，所以.解法二：事件A对立事件，共3个样本点，所以