天津市滨海新区2024年中考四模数学试题含解析

天津市滨海新区2024年中考四模数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图所示的几何体，它的左视图与俯视图都正确的是（）A． B． C． D．2．在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（）A．段① B．段② C．段③ D．段④3．下列各数中，相反数等于本身的数是（）A．–1 B．0 C．1 D．24．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（）A． B． C．5 D．5．共享单车为市民短距离出行带来了极大便利．据2017年“深圳互联网自行车发展评估报告”披露，深圳市日均使用共享单车2590000人次，其中2590000用科学记数法表示为()A．259×104 B．25.9×105 C．2.59×106 D．0.259×1076．关于▱ABCD的叙述，不正确的是（）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是菱形7．方程2x2﹣x﹣3=0的两个根为（）A．x1=，x2=﹣1 B．x1=﹣，x2=1 C．x1=，x2=﹣3 D．x1=﹣，x2=38．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下列条件能够判定DE∥BC的是()A．＝ B．＝ C．＝ D．＝9．计算(x－l)(x－2)的结果为（）A．x2＋2 B．x2－3x＋2 C．x2－3x－3 D．x2－2x＋210．等腰中，，D是AC的中点，于E，交BA的延长线于F，若，则的面积为()A．40 B．46 C．48 D．50二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的顶点C1的坐标是（﹣，0），∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2018B2018C2018D2018的顶点D2018纵坐标是_____．12．如果a是不为1的有理数,我们把称为a的差倒数如：2的差倒数是,-1的差倒数是，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推,则___________．13．如图，在矩形ABCD中，过点A的圆O交边AB于点E，交边AD于点F，已知AD=5，AE=2，AF=1．如果以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，那么r的取值范围是______．14．如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为_____．15．抛物线的顶点坐标是________．16．若m+=3，则m2+=_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（-1,0）和点B（4,5）.（1）求该抛物线的函数表达式.（2）求直线AB关于x轴对称的直线的函数表达式.（3）点P是x轴上的动点，过点P作垂直于x轴的直线l，直线l与该抛物线交于点M，与直线AB交于点N.当PM<PN时，求点P的横坐标的取值范围.18．（8分）如图，一次函数y＝﹣x+6的图象分别交y轴、x轴交于点A、B，点P从点B出发，沿射线BA以每秒1个单位的速度出发，设点P的运动时间为t秒．（1）点P在运动过程中，若某一时刻，△OPA的面积为6，求此时P的坐标；（2）在整个运动过程中，当t为何值时，△AOP为等腰三角形？（只需写出t的值，无需解答过程）19．（8分）如图，分别延长▱ABCD的边到，使，连接EF，分别交于，连结求证：．20．（8分）在传箴言活动中，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发箴言条数的情况进行统计，并绘制成了如图所示的两幅统计图（1）将条形统计图补充完整；（2）该班团员在这一个月内所发箴言的平均条数是________；（3）如果发了3条箴言的同学中有两位男同学，发了4条箴言的同学中有三位女同学，现要从发了3条箴言和4条箴言的同学中分别选出一位参加总结会，请你用列表或树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．21．（8分）如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．求该反比例函数的解析式；若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．22．（10分）小雁塔位于唐长安城安仁坊（今陕西省西安市南郊）荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．小明在学习了锐角三角函数后，想利用所学知识测量“小雁塔”的高度，小明在一栋高9.982米的建筑物底部D处测得塔顶端A的仰角为45°，接着在建筑物顶端C处测得塔顶端A的仰角为37.5°．已知AB⊥BD，CD⊥BD，请你根据题中提供的相关信息，求出“小雁塔”的高AB的长度（结果精确到1米）（参考数据：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77）23．（12分）如图，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．24．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中：（1）画出△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△A1B1C1．（2）以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．（3）求△CC1C2的面积．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、D【解析】试题分析：该几何体的左视图是边长分别为圆的半径和直径的矩形，俯视图是边长分别为圆的直径和半径的矩形，故答案选D．考点：D.2、C【解析】试题分析：1．21=2．32；1．31=3．19；1．5=3．44；1．91=4．5．∵3．44＜4＜4．5，∴1．5＜4＜1．91，∴1．4＜＜1．9，所以应在③段上．故选C考点：实数与数轴的关系3、B【解析】

根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．【详解】解：相反数等于本身的数是1．故选B．【点睛】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，1的相反数是1．4、D【解析】解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△PAB=S矩形ABCD，∴AB•h=AB•AD，∴h=AD=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE===，即PA+PB的最小值为．故选D．5、C【解析】

绝对值大于1的正数可以科学计数法，a×10n，即可得出答案.【详解】n由左边第一个不为0的数字前面的0的个数决定，所以此处n=6.【点睛】本题考查了科学计数法的运用，熟悉掌握是解决本题的关键.6、B【解析】

由矩形和菱形的判定方法得出A、C、D正确，B不正确；即可得出结论．【详解】解：A、若AB⊥BC，则是矩形，正确；B、若，则是正方形，不正确；C、若，则是矩形，正确；D、若，则是菱形，正确；故选B．【点睛】本题考查了正方形的判定、矩形的判定、菱形的判定；熟练掌握正方形的判定、矩形的判定、菱形的判定是解题的关键．7、A【解析】

利用因式分解法解方程即可．【详解】解：（2x-3）（x+1）=0，2x-3=0或x+1=0，所以x1=，x2=-1．故选A．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．8、D【解析】

根据平行线分线段成比例定理的逆定理,当或时,,然后可对各选项进行判断.【详解】解：当或时,,

即或.

所以D选项是正确的.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.也考查了平行线分线段成比例定理的逆定理.9、B【解析】

根据多项式的乘法法则计算即可.【详解】(x－l)(x－2)=x2－2x－x＋2=x2－3x＋2.故选B.【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.10、C【解析】∵CE⊥BD，∴∠BEF=90°，∵∠BAC=90°，∴∠CAF=90°，∴∠FAC=∠BAD=90°，∠ABD+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF，又∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACF，∴AD=AF，∵AB=AC，D为AC中点，∴AB=AC=2AD=2AF，∵BF=AB+AF=12，∴3AF=12，∴AF=4，∴AB=AC=2AF=8，∴S△FBC=×BF×AC=×12×8=48，故选C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、×（）2【解析】

利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案.【详解】解：∵∠B1C1O=60°，C1O=，∴B1C1=1，∠D1C1E1=30°，∵sin∠D1C1E1=，∴D1E1=，∵B1C1∥B2C2∥B3C3∥…∴60°=∠B1C1O=∠B2C2O=∠B3C3O=…∴B2C2=，B3C3=.故正方形AnBnCnDn的边长=（）n-1．∴B2018C2018=（）2．∴D2018E2018=×（）2，∴D的纵坐标为×（）2，故答案为×（）2.【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键12、.【解析】

利用规定的运算方法，分别算得a1，a2，a3，a4…找出运算结果的循环规律，利用规律解决问题.【详解】∵a1=4a2=，a3=，a4=，…数列以4,−三个数依次不断循环，∵2019÷3=673，∴a2019=a3=，故答案为：.【点睛】此题考查规律型：数字的变化类，倒数，解题关键在于掌握运算法则找到规律.13、【解析】

因为以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，则圆D与圆O相交，圆心距满足关系式：|R-r|<d<R+r，求得圆D与圆O的半径代入计算即可.【详解】连接OA、OD，过O点作ON⊥AE，OM⊥AF.AN=AE=1，AM=AF=2，MD=AD-AM=3∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD=∠ANO=∠AMO=90°，∴四边形OMAN是矩形∴OM=AN=1∴OA=,OD=∵以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，则圆D与圆O相交∴【点睛】本题考查了圆与圆相交的条件，熟记圆与圆相交时圆的半径与圆心距的关系是关键.14、.【解析】

由AE＝3EC，△ADE的面积为3，可知△ADC的面积为4，再根据点D为OB的中点，得到△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半，即梯形BOCA的面积为8，设A(x,)，从而表示出梯形BOCA的面积关于k的等式，求解即可.【详解】如图，连接DC，∵AE=3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1.∴△ADC的面积为4.∵点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，∴设A点坐标为(x,).∵OC＝2AB，∴OC=2x.∵点D为OB的中点，∴△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半，∴梯形BOCA的面积为8.∴梯形BOCA的面积=，解得.【点睛】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，同底三角形面积的计算，梯形中位线的性质.15、（0，-1）【解析】∵a=2，b=0，c=-1，∴-=0，，∴抛物线的顶点坐标是(0，-1)，故答案为（0，-1）.16、7【解析】分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案．详解：把m+=3两边平方得：（m+）2=m2++2=9，则m2+=7，故答案为：7点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）（2）（3）【解析】

（1）根据待定系数法，可得二次函数的解析式；（2）根据待定系数法，可得AB的解析式，根据关于x轴对称的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案；（3）根据PM＜PN，可得不等式，利用绝对值的性质化简解不等式，可得答案．【详解】（1）将A（﹣1，1），B（2，5）代入函数解析式，得：，解得：，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）设AB的解析式为y=kx+b，将A（﹣1，1），B（2，5）代入函数解析式，得：，解得：，直线AB的解析式为y=x+1，直线AB关于x轴的对称直线的表达式y=﹣（x+1），化简，得：y=﹣x﹣1；（3）设M（n，n2﹣2n﹣3），N（n，n+1），PM＜PN，即|n2﹣2n﹣3|＜|n+1|．∴|（n+1）（n-3）|-|n+1|＜1，∴|n+1|（|n-3|-1）＜1．∵|n+1|≥1，∴|n-3|-1＜1，∴|n-3|＜1，∴－1＜n-3＜1，解得：2＜n＜2．故当PM＜PN时，求点P的横坐标xP的取值范围是2＜xP＜2．【点睛】本题考查了二次函数综合题．解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用关于x轴对称的横坐标相等，纵坐标互为相反数；解（3）的关键是利用绝对值的性质化简解不等式．18、（1）（2,4.5），（-2，7.5）；（2）2.8,4,5,16【解析】

（1）先求出△OPA的面积为6时BP的长，再求出点P的坐标；（2）分别讨论AO=AP，AP=OP和AO=OP三种情况.【详解】（1）在y=-x+6中，令x=0，得y=6，令y=0，得x=8，∴A（0，6），B（8，0），∴OA=6，OB=8，∴AB=10，∴AB边上的高为6×8÷10=，∵P点的运动时间为t，∴BP=t，则AP=，当△AOP面积为6时，则有AP×=6，即×=6，解得t=7.5或12.5，过P作PE⊥x轴，PF⊥y轴，垂足分别为E、F，则PE==4.5或7.5，BE==6或10，则点P坐标为（8-6,4.5）或（8-10,7.5），即（2,4.5）或（-2,7.5）；（2）由题意可知BP=t，AP=，当△AOP为等腰三角形时，有AP=AO、AP=OP和AO=OP三种情况．

①当AP=AO时，则有=6，解得t=4或16；②当AP=OP时，过P作PM⊥AO，垂足为M，如图1，则M为AO中点，故P为AB中点，此时t=5；③当AO=OP时，过O作ON⊥AB，垂足为N，过P作PH⊥OB，垂足为H，如图2，则AN=AP=（10-t），

∵PH∥AO，∴△AOB∽△PHB，∴=，即=,∴PH=t，又∠OAN+∠AON=∠OAN+PBH=90°，∴∠AON=∠PBH，又∠ANO=∠PHB，

∴△ANO∽△PHB，

∴=，即=，解得t=；综上可知当t的值为、4、5和16时，△AOP为等腰三角形．19、证明见解析【解析】分析：根据平行四边形的性质以及已知的条件得出△EGD和△FHB全等，从而得出DG=BH，从而说明AG和CH平行且相等，得出四边形AHCG为平行四边形，从而得出答案．详解：证明：在▱ABCD中，，，又

，≌，，，又，四边形AGCH为平行四边形，．点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质以及判定定理，属于基础题型．解决这个问题的关键就是根据平行四边形的性质得出四边形AHCG为平行四边形．20、（1）作图见解析；（2）3；（3）【解析】

（1）根据发了3条箴言的人数与所占的百分比列式计算即可求出该班全体团员的总人数为12，再求出发了4条箴言的人数，然后补全统计图即可；（2）利用该班团员在这一个月内所发箴言的总条数除以总人数即可求得结果；（3）列举出所有情况，看恰好是一位男同学和一位女同学占总情况的多少即可．【详解】解：（1）该班团员人数为：3÷25%=12（人），发了4条赠言的人数为：12−2−2−3−1=4（人），将条形统计图补充完整如下：（2）该班团员所发赠言的平均条数为：(2×1+2×2+3×3+4×4+1×5)÷12=3，故答案为：3；（3）∵发了3条箴言的同学中有两位男同学，发了4条箴言的同学中有三位女同学，∴发了3条箴言的同学中有一位女同学，发了4条箴言的同学中有一位男同学，方法一：列表得：共有12种结果，且每种结果的可能性相同，所选两位同学中恰好是一位男同学和一位女同学的情况有7种，所选两位同学中恰好是一位男同学和一位女同学的概率为：；方法二：画树状图如下：共有12种结果，且每种结果的可能性相同，所选两位同学中恰好是一位男同学和一位女同学的情况有7种，所选两位同学中恰好是一位男同学和一位女同学的概率为：；【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率，以及条形统计图与扇形统计图的知识．注意平均条数=总条数÷总人数；如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．21、（1）y；（2）yx+1．【解析】

(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求得；(2)作AD⊥BC于D，则D(2，b)，即可利用a表示出AD的长，然后利用三角形的面积公式即可得到一个关于b的方程，求得b的值，进而求得a的值，根据待定系数法，可得答案．【详解】(1)由题意得：k＝xy＝2×3＝6，∴反比例函数的解析式为y；(2)设B点坐标为(a，b)，如图，作AD⊥BC于D，则D(2，b)，∵反比例函数y的图象经过点B(a，b)，∴b，∴AD＝3，∴S△ABCBC•ADa(3)＝6，解得a＝6，∴b1，∴B(6，1)，设AB的解析式为y＝kx+b，将A(2，3)，B(6，1)代入函数解析式，得，解得：，所以直线AB的解析式为yx+1．【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数以及一次函数解析式，熟练掌握待定系数法以及正确表示出BC，AD的长是解题的关键．22、43米【解析】

作CE⊥AB于E，则四边形BDCE是矩形，BE=CD=9.982米，设AB=x．根据tan∠ACE=，列出方程即可解决问题．【详解】解：如图，作CE⊥AB于E．则四边形BDCE是矩形，BE=CD=9.982米，设AB=x．在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴AB=BD=x，在Rt△AEC中，tan∠ACE==tan37.5°≈0.77，∴=0.77，解得x≈43，答：“小雁塔”的高AB的长度约为43米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．23、（1）；（2）（，0）；（3）1，M（2，﹣3）．【解析】试题分析：方法一：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．（3）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．方法二：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．（2）通过求出A，B，C三点坐标，利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出AC⊥BC，从而求出圆心坐标．（3）利用三角形面积公式，过M点作x轴垂线，水平底与铅垂高乘积的一半，得出△MBC的面积函数，从而求出M点．试题解析：解：方法一：（1）将B（1，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×1﹣2，即：a=，∴抛物线的解析式为：．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，