押新高考第4题 椭圆、双曲线及抛物线-备战2024年高考数学临考题号押题（全解全析）

第第页押新高考4题椭圆、双曲线及抛物线考点4年考题考情分析椭圆双曲线抛物线2023年新高考Ⅰ卷第5题2023年新高考Ⅱ卷第5题2021年新高考Ⅰ卷第5题2021年新高考Ⅰ卷第14题2021年新高考Ⅱ卷第3题2021年新高考Ⅱ卷第13题圆锥曲线会以单选题、多选题、填空题、解答题4类题型进行考查，单选题难度较低或一般，纵观近几年的新高考试题，分别考查椭圆的离心率、椭圆中参数求解、椭圆中最值求解、双曲线的渐近线方程、抛物线准线方程及p的求解等知识点，相对难度不大，是高考冲刺复习的重点复习内容。可以预测2024年新高考命题方向将继续以基础性及中等性等综合问题展开命题．1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第5题）设椭圆的离心率分别为．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.【详解】由，得，因此，而，所以.故选：A2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第5题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可.【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，因为直线与椭圆相交于点，则，解得，设到的距离到距离，易知，则，，，解得或（舍去），故选：C.3．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第5题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．【详解】由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C．4．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第14题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为.【答案】【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.【详解】抛物线：()的焦点,∵P为上一点，与轴垂直，所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,不妨设,因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，又，因为，所以,，所以的准线方程为故答案为：.【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.5．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第3题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.【详解】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去).故选：B.6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第13题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程.【答案】【分析】根据离心率得出，结合得出关系，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】解：由题可知，离心率，即，又，即，则，故此双曲线的渐近线方程为.故答案为：.椭圆离心率，双曲线离心率，已知棚圆方程为,两焦点分别为,设焦点三角形,,则椭圆的离心率4.已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则5.点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或椭圆焦点三角形的面积公式（椭圆上一点与两焦点组成的三角形叫做焦点三角形）双曲线焦点三角形面积公式：抛物线（焦点在x轴上）焦点弦相关结论，直线A,B过抛物线（焦点在x轴上）焦点与抛物线交于A，B两点，设，有1．（2024·山东潍坊·一模）已知抛物线上点的纵坐标为1，则到的焦点的距离为（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】首先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得.【详解】抛物线的准线方程为，又点在抛物线上且纵坐标为，所以点到的焦点的距离为.故选：B2．（2024·江苏徐州·一模）若抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值为1，则（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【分析】利用抛物线的定义及抛物线的方程的性质即可求解.【详解】由，得焦点，设抛物线上一点，则由抛物线的定义知，，所以，解得.故选：C.3．（2024·广东·一模）双曲线的顶点到其渐近线的距离为（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】求出双曲线的顶点坐标及渐近线的方程，再利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】依题意，双曲线的顶点为，渐近线方程为，所以双曲线的顶点到其渐近线的距离为.故选：C4．（2024·安徽合肥·一模）双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据双曲线方程以及焦距可得，可得渐近线方程.【详解】由焦距为4可得，即，又，所以，可得，即；则的渐近线方程为.故选：B5．（2024·浙江·二模）双曲线的离心率e的可能取值为（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】由题得到或，再利用离心率，即可求出结果.【详解】由，得到或，当时，，当，双曲线，，所以，故选：A.6．（2024·湖南·二模）若椭圆的焦距为2，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】分与两种情况，结合焦距得到方程，求出，得到离心率.【详解】当时，，解得，则离心率为，当时，，解得，则离心率为.故选：C7．（2024·湖南·二模）已知为双曲线上一动点，则到点和到直线的距离之比为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】在双曲线上任取点，则，利用两点之间距离公式和点到直线距离公式计算化简即得.【详解】在双曲线上任一点，则，则点到点和到直线的距离之比为：故选:C.8．（2024·浙江温州·一模）动点到定点的距离与到定直线：的距离的比等于，则动点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据距离公式即可化简求解.【详解】根据题意可得，平方化简可得，进而得，故选:A9．（2024·福建漳州·一模）已知抛物线：的焦点为，A，是抛物线上关于其对称轴对称的两点，若，为坐标原点，则点A的横坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，根据向量垂直列式求解即可.【详解】由题意可知：，设，则，可得，因为，则，解得，即点A的横坐标为.故选：B.10．（2024·江苏·一模）在平面直角坐标系中，已知为双曲线的右顶点，以为直径的圆与的一条渐近线交于另一点，若，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】由渐近线方程和⊥求出，由勾股定理得到，从而求出离心率.【详解】由题意得，⊥，双曲线的一条渐近线方程为，故，即，又，所以，由勾股定理得，即，解得，,故选：B.11．（2024·云南红河·二模）已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先确定双曲线的焦点在轴上，从而得到实轴长等于虚轴长的2倍得到方程，求出渐近线方程.【详解】因为，所以，故双曲线的焦点在轴上，因为实轴长等于虚轴长的2倍，故，解得，故双曲线方程为，所以的渐近线方程为.故选：C.12．（2024·重庆·模拟预测）若椭圆：与双曲线：的离心率之和为，则（

）A．2 B． C． D．1【答案】A【分析】分别求出椭圆和双曲线的离心率，由两者的离心率之和为，解方程即可得出答案.【详解】椭圆：的离心率为，双曲线：的离心率为，所以，解得：.故选：A.13．（2024·广东广州·一模）设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出点的坐标，借助向量坐标运算求出点坐标，代入椭圆方程求解即得.【详解】令椭圆半焦距为c，依题意，，由，得，则，而点在椭圆上，于是，解得，所以的离心率为.故选：A14．（2024·山东聊城·一模）设，是双曲线的左、右焦点，是上的一点，若的一条渐近线的倾斜角为，且，则的焦距等于（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】D【分析】借助双曲线的定义与渐近线方程计算即可得.【详解】由渐近线的倾斜角为，可得，由，可得，故，，则，故.故选：D.15．（2024·福建泉州·模拟预测）已知圆锥SO的轴截面是边长为2的正三角形，过其底面圆周上一点A作平面，若截圆锥SO得到的截口曲线为椭圆，则该椭圆的长轴长的最小值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】根据题意，得到该椭圆的长轴垂直于母线时，此时椭圆的长轴取得最小值，即可求解.【详解】如图所示，当该椭圆的长轴垂直于母线时，此时椭圆的长轴取得最小值，且最小值为边长为2的正三角形的高，即.故选：C.16．（2024·河北沧州·一模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其焦点到渐近线的距离为2，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意可得及渐近线方程，再根据焦点到渐近线的距离及求出即可得解.【详解】由题意可得，所以，双曲线的渐近线方程为，即，焦点到渐近线的距离，所以，又，所以，所以的方程为.故选：B.17．（2024·江苏南通·二模）设抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限的交点为M，N，且，则直线MN的斜率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可设直线方程为，联立直线与抛物线方程，通过根与系数的关系及抛物线的焦半径公式，建立方程，即可求解，【详解】根据题意可得抛物线的焦点，准线方程为，则有，设直线方程为，联立，可得，则，得，故，设，，到准线距离为，到准线距离为，又，有，即，得，，又，解得，，又，解得.故选：A18．（2024·云南·一模）已知双曲线的左､右焦点分别是是右支上的一点.若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助双曲线定义及余弦定理计算即可得.【详解】由双曲线定义可得，又，故，，则有，即，故.故选：D.

19．（2024·河北·一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据圆的弦长公式可得，进而根据平行关系可得，利用椭圆定义以及勾股定理即可求解.【详解】过作，由于圆O截直线的弦长为，所以，由于，所以,结合是的中点，所以，故，，化简得，所以，故选：A20．（2024·安徽池州·二模）已知圆和两点为圆所在平面内的动点，记以为直径的圆为圆，以为直径的圆为圆，则下列说法一定正确的是（

）A．若圆与圆内切，则圆与圆内切B．若圆与圆外切，则圆与圆外切C．若，且圆与圆内切，则点的轨迹为椭圆D．若，且圆与圆外切，则点的轨迹为双曲线【答案】C【分析】先证明当时，若，则圆与圆内切，圆与圆外切；若，则圆与圆外切，圆与圆内切，从而A和B错误；然后当时，将条件变为，从而根据椭圆定义知点的轨迹为椭圆，C正确；当时，将条件变为，从而根据双曲线定义知点的轨迹为双曲线的左支，D错误.【详解】我们分别记的中点为，显然是的中点，故，.当时，在圆内，此时，圆和圆不可能与圆外切，而圆与圆内切等价于，即，即，同理，圆与圆内切也等价于；当时，在圆外，故“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和，即和，即和.所以，此时“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和，同理，“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和.下面考虑四个选项（我们没有考虑的情况，因为不需要分析此种情况也可判断所有选项的正确性）：由于当时，若，则圆与圆内切，圆与圆外切；若，则圆与圆外切，圆与圆内切.这分别构成A选项和B选项的反例，故A和B错误；若，则，此时“圆与圆内切”和“圆与圆内切”都等价于，而根据椭圆定义，对应的轨迹即为，C正确；若，则，此时“圆与圆外切”等价于，而根据双曲线定义，对应的轨迹为，仅仅是双曲线的半支，D错误.故选：C.21．（2024·辽宁·一模）已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆的对称性可知，就是到椭圆左焦点的距离；再根据椭圆的定义和“焦点三角形”求的值.【详解】设，如图，记为的左焦点，连接，则由椭圆的对称性可知，由，设，则.又轴，所以，即，所以，解得.所以的长轴长为.故选：B22．（2024·辽宁·一模）已知双曲线的下焦点和上焦点分别为，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的4倍，则（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】根据三角形面积比转化为焦点到直线的距离之比即可得解.【详解】由可知，，联立，消元得：，则，即，由面积是面积的4倍可知，到直线的距离是到直线距离的4倍，即，化简可得，即，解得或（舍去），故选：D23．（2024·辽宁·模拟预测）已知点在椭圆上，的左、右焦点分别为，则满足的点的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】设，由题设可得坐标的方程组，求出其解后可判断的个数.【详解】由椭圆可得半焦距，故.设，则,所以即，而，故，故满足条件的的个数为2，故选：B.24．（2024·广东·模拟预测）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于A，B两点．则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】利用抛物线的焦点弦性质结合基本不等式计算即可.【详解】由题意可知，设，，联立直线与抛物线方程，所以，而.当且仅当时取得等号.故选：D25．（2024·广东·一模）已知O为双曲线C的中心，F为双曲线C的一个焦点，且C上存在点A，使得，，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C．5 D．7【答案】C【分析】解三角形求出，根据双曲线的定义建立方程即可得解.【详解】不妨设双曲线焦点在轴上，，另一个焦点为，因为，所以为直角三角形，因为，，所以由余弦定理可得，所以，由双曲线定义可得，，所以.故选：C26．（2024·河北邯郸·三模）已知抛物线的焦点为F，为抛物线上一动点，点，则周长的最小值为（

）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】A【分析】过及作准线的垂线，利用抛物线定义把周长问题转化为的最小值问题，利用三点共线时距离和最小求解即可.【详解】由题知，准线方程为.如图，过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，所以的周长，当为与抛物线的交点时等号成立，即周长的最小值为13.故选：A27．（2024·广东佛山·二模）2020年12月17日，嫦娥五号的返回器携带1731克月球样本成功返回地球，我国成为第三个实现月球采样返回的国家，中国人朝着成功登月又迈进了重要一步．下图展示了嫦娥五号采样返回器从地球表面附近运行到月球表面附近的大致过程．点表示地球中心，点表示月球中心．嫦娥五号采样返回器先沿近地球表面轨道作圆周运动，轨道半径约为地球半径．在地球表面附近的点处沿圆的切线方向加速变轨后，改为沿椭圆轨道运行，并且点为该椭圆的一个焦点．一段时间后，再在近月球表面附近的点处减速变轨作圆周运动，此时轨道半径约为月球半径．已知月球中心