押新高考第6题 指对幂函数及函数的基本性质-备战2024年高考数学临考题号押题（全解全析）

第第页押新高考6题指对幂函数及函数的基本性质考点4年考题考情分析指对幂函数及函数的基本性质2023年新高考Ⅰ卷第4题2023年新高考Ⅱ卷第4题2022年新高考Ⅰ卷第7题2022年新高考Ⅱ卷第8题2021年新高考Ⅰ卷第13题2021年新高考Ⅱ卷第7、8题2020年新高考Ⅰ卷第6、8题2020年新高考Ⅱ卷第7、8题指数对数幂函数难度较易，函数的基本性质难度一般或较难，纵观近几年的新高考试题，分别考查单调性中参数求解、奇偶性中参数求解、周期性等性质、大小比较等知识点，本内容是新高考冲刺复习的重点复习内容。可以预测2024年新高考命题方向将继续以指对幂函数直接或间接命题来考查函数中的基本性质．1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第4题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第4题）若为偶函数，则（

）．A． B．0 C． D．1【答案】B【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.【详解】因为为偶函数，则，解得，当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称.，故此时为偶函数.故选：B.3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第7题）设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.【详解】方法一：构造法设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.方法二：比较法解：，，，①，令则，故在上单调递减，可得，即，所以；②，令则，令，所以，所以在上单调递增，可得，即，所以在上单调递增，可得，即，所以故4．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第8题）已知函数的定义域为R，且，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：A．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由，联想到余弦函数和差化积公式，可设，则由方法一中知，解得，取，所以，则，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故选：A．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第13题）已知函数是偶函数，则.【答案】1【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.【详解】因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，故答案为：16．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第7题）已知，，，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.【详解】，即.故选：C.7．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第8题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.单调性单调性的运算①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘③为↗，则为↘，为↘④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）复合函数的单调性奇偶性①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）②奇偶性的定义：奇函数：，图象关于原点对称偶函数：，图象关于轴对称③奇偶性的四则运算周期性（差为常数有周期）①若，则的周期为：②若，则的周期为：③若，则的周期为：（周期扩倍问题）④若，则的周期为：（周期扩倍问题）对称性（和为常数有对称轴）轴对称①若，则的对称轴为②若，则的对称轴为点对称①若，则的对称中心为②若，则的对称中心为周期性对称性综合问题①若，，其中，则的周期为：②若，，其中，则的周期为：③若，，其中，则的周期为：奇偶性对称性综合问题①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：对数的性质与运算法则①两个基本对数：①，②②对数恒等式：①，②。③换底公式：；推广1：对数的倒数式推广2：。④积的对数：；⑤商的对数：；⑥幂的对数：❶，❷，❸，❹幂函数恒过定点幂函数的单调性幂函数的奇偶性与指数函数相关的奇函数和偶函数，（，且）为偶函数，，（，且）为奇函数和，（，且）为其定义域上的奇函数和，（，且）为其定义域上的奇函数为偶函数与对数函数相关的奇函数和偶函数，（且）为奇函数，，（且）为奇函数1．（2024·江苏·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，则实数（

）A．－1 B．0 C． D．1【答案】C【分析】利用奇函数定义求解.【详解】为奇函数，，∴，即∴，即，解得，故选：C．2．（2024·江苏宿迁·一模）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解法一：判断函数的单调性，再利用单调性解不等式即可.解法二：特值排除法.【详解】解法一：函数的定义域为R，函数分别是R上的增函数和减函数，因此函数是R上的增函数，由，得，解得，所以原不等式的解集是.故选：A解法二：特值当时，，排除B，D，当时，，排除C，对A：当时，，因为函数是R上的增函数，所以，故A成立.故选A．3．（2024·重庆·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复合函数单调性的规则以及函数在上有意义列不等式求解即可.【详解】因为函数在上单调递增，所以，解得.故选：B.4．（2024·重庆·模拟预测）已知是周期为的函数，且都有，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的周期性与对称性可得解.【详解】由已知，即，令，可知，即，又函数的周期为，则，故选：C.5．（2024·湖南·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，对任意实数.当时，.则的值为（

）A．0 B．1 C． D．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性以及，推出函数的周期，再结合时函数解析式，即可求得答案.【详解】由已知为偶函数，所以，又，所以，所以，所以函数是周期为2的周期函数，结合时，，故，故选：B.6．（2024·山东青岛·一模），，，则的值为（

）A．2 B．1 C．0 D．－1【答案】B【分析】利用赋值法求出的值，将变形为，即可推出，可得函数周期，由此即可求得答案.【详解】由题意知，，，令，则显然时，不成立，故，故，则，即6为函数的周期，则，故选：B7．（2024·福建厦门·一模）已知函数的定义域为，，，，若，则（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】利用赋值法对进行赋值结合函数的周期可得答案.【详解】令，得，即，令，得，得，所以函数为偶函数，令，得，令，得，，或，若，解得与已知矛盾，，即，解得，，令，得，，，，，所以函数的周期为4..故选：A.8．（2024·浙江·二模）若函数为偶函数，则实数a的值为（

）A． B．0 C． D．1【答案】A【分析】根据偶函数满足的关系即可化简求解.【详解】的定义域为，，由于为偶函数，故，即，故，解得故选：A9．（2024·河北沧州·一模）已知定义在上的函数满足：，且．若，则（

）A．506 B．1012 C．2024 D．4048【答案】C【分析】根据条件得到函数是周期为的函数，再根据条件得出，即可求出结果.【详解】，①，即，所以，所以函数的图象关于对称，令，则，所以，令，，又，所以，又，，②即函数的图象关于直线对称，且由①和②，得，所以，则函数的一个周期为4，则，所以.故选：C10．（2024·安徽·模拟预测）科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则k的值为（

）A．11 B．15 C．19 D．21【答案】A【分析】根据条件中的概率公式，结合求和公式，以及对数运算，即可求解.【详解】，即，则，得.故选：A11．（2024·全国·模拟预测）万有引力定律是英国伟大的物理学家、数学家、天文学家牛顿提出来的，即任意两个质点通过连心线方向上的力相互吸引，其数学表达式为，其中表示两个物体间的引力大小，为引力常数，分别表示两个物体的质量，表示两个物体间的距离.若地球与月球的近地点间的距离为，与月球的远地点间的距离为，地球与月球近地点间的引力大小为，与月球远地点间的引力大小为，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，由对数的运算代入计算，即可得到结果.【详解】由题意知，，两边同时取对数得，，即.故选：A.12．（2024·全国·模拟预测）在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混响”．用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为，则经过秒后这段声音的声强变为，其中是一个常数．把混响时间定义为声音的声强衰减到原来的所需的时间，则约为（参考数据：）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知公式及对数运算可得结果.【详解】由题意，，即，等号两边同时取自然对数得，即，所以．故选：C．13．（2024·河北沧州·模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（

）（参考数据：，）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】D【分析】由题意，根据指数幂和对数运算的性质可得，由，解不等式即可求解.【详解】由题意知，，当时，，故，解得，所以．由，得，即，得，又，所以，故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次．故选：D14．（2024·河北·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则（

）A．是奇函数且在上单调递减B．是奇函数且在上单调递增C．是偶函数且在上单调递减D．是偶函数且在上单调递增【答案】A【分析】令，求出，令，求出，再分别令，，即可求出函数的解析式，进而可得出答案.【详解】令，则，所以，令，则，所以，令，则，所以，令，则，所以，因为，且定义域关于原点对称，所以函数是奇函数，由反比例函数的单调性可得函数在上单调递减.故选：A.15．（2024·全国·模拟预测）已知函数是偶函数，则（

）A． B． C．0 D．2【答案】C【分析】由偶函数定义域关于原点对称，可得，又由题可得是奇函数，后由奇函数定义可得答案.【详解】由题易知，即定义域为或．又函数是偶函数，其定义域关于坐标原点对称，故．定义域为.令，注意到，即是奇函数．令，因为偶函数，则一定是奇函数，则所以，所以.故选:C．16．（2024·全国·模拟预测）若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由．构造函数，再结合，利用函数为增函数求解．【详解】解：法一：因为，所以．构造函数，的定义域为，且为增函数．因为，所以，即，即，所以，即的取值范围为．故选：A．法二：因为，所以．构造函数，的定义域为，且为增函数．因为，所以，所以，即的取值范围为．故选：A．17．（2024·湖南岳阳·二模）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数性质得出，，，然后利用作差法比较与的大小关系即可.【详解】因为，所以，即，所以，即；因为，所以，即，所以，即；因为，所以，即，所以，即；又因为，且，所以，所以，所以；综上所述，.故选：A.18．（2024·全国·二模）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指数函数、对数函数的性质及对数的运算性质判断即可.【详解】因为，，又，所以，又，所以.故选：A19．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意利用指、对数函数单调性以及指、对数运算分析判断.【详解】因为，，所以；又因为，则，即，所以，即；所以．故选：A．20．（2024·云南贵州·二模）若函数的定义域为且图象关于轴对称，在上是增函数，且，则不等式的解是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先分析不等式在上的解，再根据对称性得出不等式在上的解即可.【详解】因为在上是增函数且，所以在范围内的解为.因为函数在定义域上图象关于轴对称，所以在内的解为，所以不等式在R内的解为.故选：C21．（2024·河北·模拟预测）定义在上的函数周期为，且为奇函数，则（

）A．为偶函数 B．为偶函数C．为奇函数 D．为奇函数【答案】D【分析】根据周期性与奇偶性的定义推导B、D，利用反例说明A、C.【详解】定义在上的函数周期为，所以，又为奇函数，所以，即，所以为奇函数，故B错误；所以，则，所以，则为奇函数，故D正确；由，所以，则关于对称，令，则，满足函数周期为，且满足为奇函数，但是为奇函数，故A错误；令，则，满足函数周期为，又满足为奇函数，但是为偶函数，故C错误.故选：D22．（2024·安徽淮北·一模）已知定义在上奇函数满足，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知推导出函数的周期，的范围，利用已知和推导出的关系将所求转化为内求解.【详解】因为为奇函数且满足.所以，即，所以，所以是周期为4的周期函数.因为,所以所以.故选：B23．（2024·辽宁大连·一模）设函数则满足的x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】观察题设条件与所求不等式，构造函数，利用奇偶性的定义与导数说明其奇偶性和单调性，从而将所求转化为，进而得解.【详解】因为，所以，设，显然定义域为，，又，所以为上的奇函数，又，所以在上单调递增，又，则，所以，即，所以，解得，则满足的的取值范围是．故选：C．24．（2024·辽宁·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据为奇函数及为偶函数可求，利用导数可判断为上的减函数，从而可求不等式的解.【详解】因为，故，故，因为是定义在上的奇函数，故，故，故，故，此时，故为上的减函数，而等价于，即即，故或故选：A.25．（2024·广东·一模）已知函数的定义域为，且满足是偶函数，，若，则（

）A．202 B．204 C．206 D．208【答案】C【分析】根据条件得到函数是周期为的偶函数，再根据条件得出，，即可求出结果.【详解】因为，所以①，即有②，由①②得到，所以函数的周期为，又是偶函数，所以，得到，即函数为偶函数，又由，得到，，，又，所以，故，故选：C.26．（2024·河南新乡·二模）已知函数满足，则下列结论一定正确的是（

）A．是奇函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是奇函数【答案】B【分析】利用赋值法推得，从而得到的对称性，再利用函数图象平移的性质可判断B，举反例排除ACD，由此得解.【详解】因为，令，可得，则；令，则，故的图象关于点对称，则的图象关于点对称，即是奇函数，故B正确；对于C，令，可得，则，当时，，此时不