押新高考第8题 函数的综合应用-备战2024年高考数学临考题号押题（全解全析）

第第页押新高考8题函数的综合应用考点4年考题考情分析函数的综合应用2023年新高考Ⅰ卷第11题2023年新高考Ⅱ卷第11题2022年新高考Ⅰ卷第7、10、12题函数的综合会以单选题、多选题、填空题、解答题4类题型进行考查，通常伴随着导数的考查，在单选题中难度较难，纵观近几年的新高考试题，分别以导数为背景命题考查极值点、零点、函数值大小比较、函数的基本性质、最值及切线方程等知识点，本内容也是新高考冲刺复习的重点复习内容。可以预测2024年新高考命题方向将继续以导数综合应用问题展开命题．1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第11题）已知函数的定义域为，，则（

）．A． B．C．是偶函数 D．为的极小值点【答案】ABC【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.【详解】方法一：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.方法二：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，当时，对两边同时除以，得到，故可以设，则，当肘，，则，令，得；令，得；故在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值，故D错误.故选：.2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第11题）若函数既有极大值也有极小值，则（

）．A． B． C． D．【答案】BCD【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.【详解】函数的定义域为，求导得，因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，因此方程有两个不等的正根，于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.故选：BCD3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第7题）设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.【详解】方法一：构造法设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.方法二：比较法解：，，，①，令则，故在上单调递减，可得，即，所以；②，令则，令，所以，所以在上单调递增，可得，即，所以在上单调递增，可得，即，所以故4．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第10题）已知函数，则（

）A．有两个极值点 B．有三个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线【答案】AC【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：AC.5．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第12题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.故选：BC.[方法三]：因为，均为偶函数，所以即，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，则最大值，最小值有即倍常数在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有即倍常数，，，常见函数的泰勒展开式：结论1．结论2．结论3（）．结论4．结论5；；．结论6；结论7结论8．结论9．放缩程度综合端点效应的类型1.如果函数在区间上,恒成立,则或.2.如果函数在区问上,恒成立,且(或),则或.3.如果函数在区问上,恒成立,且(或,则或.函数的凹凸性凹函数：对于某区间内,都有.凸函数：对于某区间内,都有.1．（2024·陕西·模拟预测）设，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，利用导数得到其单调性则比较出，利用指数函数和幂函数以及正弦函数的单调性即可比较出，则最终得到三者大小.【详解】先变形，令，下面比较当时，与的大小.①令，则，令，得，当时，单调递增，所以，所以，即，所以.②，所以，，所以，则，所以.综上，，故选：D.2．（2024·浙江温州·二模）已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，利用导数法求最值得，从而有，再利用函数单调递减得，利用函数单调递增得，即可比较大小.【详解】对，因为，则，即函数在单调递减，且时，，则，即，所以，因为且，所以，又，所以.故选：B3．（2024·广东佛山·二模）若函数（）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函数的导数，由已知可得函数在上有两个零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答即可.【详解】函数的定义域为，，又函数既有极大值也有极小值，所以函数在上有两个零点，由，所以方程有两个不同的正实数，所以，即.故选：B4．（2024·全国·模拟预测）若，，，则，，的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合已知要比较函数值的结构特点，构造函数，利用导数研究函数单调性，通过函数单调性比较大小即可.【详解】构造函数，则，，，由，令得，令得，则在上单调递增，在上单调递减．因为，所以，所以；因为，所以，所以；令，且，则，令，，则，所以在上单调递增，又，所以，所以，因为，且，所以，所以.故选：B5．（2024·全国·模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】变形后构造函数，求导得到函数单调性，比较出大小【详解】因为，所以令，则，，当时，，所以函数在上单调递减．又，所以，即．故选：D．6．（2024·辽宁大连·一模）设函数则满足的x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】观察题设条件与所求不等式，构造函数，利用奇偶性的定义与导数说明其奇偶性和单调性，从而将所求转化为，进而得解.【详解】因为，所以，设，显然定义域为，，又，所以为上的奇函数，又，所以在上单调递增，又，则，所以，即，所以，解得，则满足的的取值范围是．故选：C．7．（2024·江苏·一模）用表示x，y中的最小数．已知函数，则的最大值为(

)A． B． C． D．ln2【答案】C【分析】利用导数研究的单调性，作出其图象，根据图象平移作出的图象，数形结合即可得到答案．【详解】∵，∴，根据导数易知在上单调递增，在上单调递减;由题意令，即，解得；作出图象：

则的最大值为两函数图象交点处函数值，为．故选：C．8．（2024·云南·模拟预测）已知函数，若在有实数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先分析题意，由于，设出进一步分析，则，分析单调性解出实数的取值范围.【详解】根据题意，，所以，令，则函数在上存在零点等价于与的图象有交点.，令，则，故在上单调递增，因为，，所以存在唯一的，使得，即，即，，所以当时单调递减，当时，单调递增，所以，又时，，故，所以，故选：C.9．（2024·全国·模拟预测）已知函数恰有一个零点，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，然后利用导数的几何意义及建立关于的不等式，即可得解.【详解】由可得，要使恰有一个零点，只需函数的图象与直线相切.设切点坐标为.由，可得，则切线方程为，即，故需使.由可得，解得.故选：A10．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，利用导数求得在上单调递减，把不等式转化为，即可求解.【详解】设函数，可得，所以函数在上单调递减，由，可得，即，可得，所以，即不等式的解集为.故选：D.11．（2024·全国·模拟预测）设函数，记的极小值点为，极大值点为，则（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根据的正负判断函数的单调性，从而得到和的值，代入可得的值.【详解】由题知函数的定义域为，，当时，，当时，，在和上单调递增，在上单调递减，所以，．所以．故选：D．12．（2024·辽宁·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据为奇函数及为偶函数可求，利用导数可判断为上的减函数，从而可求不等式的解.【详解】因为，故，故，因为是定义在上的奇函数，故，故，故，故，此时，故为上的减函数，而等价于，即即，故或故选：A.13．（2024·全国·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】进行合理换元和同构，转化为的图象与直线有两个交点，转化为交点问题，再利用导数研究函数的单调性、最值，最后得到参数的取值范围即可.【详解】令，所以．令，定义域为，令，易知在上单调递增，且．所以，则函数有两个零点转化为函数的图象与直线有两个交点．则，当时，；当时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，；当时，，则，解得，即实数的取值范围是．故选：D．14．（2024·河南郑州·模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件及构造函数（），利用导数的正负与函数的单调性的关系，结合函数的单调性，再利用作差法、对数的运算及基本不等式即可求解.【详解】设（），则，所以在上单调递减，所以，即，所以，，，所以，故选：A．【点睛】关键点睛：利用构造法和作差法，再利用导数法求函数的单调性，结合函数单调性及基本不等式即可.15．（2024·浙江·二模）已知函数若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可知，转化为.结合图像构造函数，，求出函数的值域即为本题答案.【详解】由题意可知，即，所以.由图像可得，设，.则，.令,则当时，当时所以在单调递减，在单调递增.所以在时取得最小值，可得.故选：B16．（2024·山东济南·一模）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】因为，所以，即求直线的纵截距的最小值，设，利用导数证明在的图象上凹，所以直线与相切，切点横坐标越大，纵截距越小，据此即可求解.【详解】因为，所以，所以即求直线的纵截距的最小值，设，所以，所以在单调递增，所以在的图象上凹，所以直线与相切，切点横坐标越大，纵截距越小，令切点横坐标为，所以直线过点，且直线斜率为所以的直线方程为，当时，，即直线与相切时，直线与无交点，设，所以，所以在时斜率为，在时斜率为，均小于直线的斜率，所以可令直线在处与相交，在处与相交，所以直线方程为，所以截距为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键在于，，即求直线的纵截距的最小值的分析.17．（2024·福建漳州·一模）已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由为奇函数，结合导数运算可得，由为奇函数，可得，整理可得，进而分析可得，即可得结果.【详解】因为为奇函数，则，即，两边求导得，则，可知关于直线对称，又因为为奇函数，则，即，可知关于点对称，令，可得，即，由可得，由，可得，即，可得，即，令，可得；令，可得；且，可知8为的周期，可知，所以.故选：D.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．18．（2024·湖南邵阳·一模）设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数然后根据函数的单调性判断的大小，构造函数判断的大小，从而判断出大小；【详解】，设，在上单调递减.又；又，设时，在单调递减.；综上，，故选：D.19．（2024·湖南长沙·一模）已知实数分别满足，，且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意可得，，构造函数，结合导数研究函数单调性后可得，构造函数，结合导数研究函数单调性后可得，即可得出.【详解】由，则，令，，则，则当时，，故在上单调递增，故，即，即，由，则，令，，则，令，则当时，恒成立，故在上单调递增，又，故恒成立，故在上单调递增，故，即，即，故.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造函数、，从而借助导数求出函数单调性以比较、、的大小.20．（2024·贵州贵阳·一模）已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根据函数是定义在上的偶函数，，再由函数也是偶函数，变形求得函数的解析式，并求得函数的单调区间，即可求解不等式.【详解】因为函数是定义在上的偶函数，，所以，则，又因为函数也是偶函数，所以，得，因为为减函数，为增函数，所以为减函数，令，得，所以时，，在上单调递减，根据偶函数的性质可知，函数在上单调递增，所以，即，即，得或，所以不等式的解集为.故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据，得到，从而求得函数的解析式.21．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）设且，若函数有三个极值点，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用导数，分别求得时以及时函数对应的极值点情况，再结合题意，即可求得参数范围.【详解】当时，，；对，其开口向上，对称轴为，且，故当，即，也即或时，在恒成立，故在没有极值点；当，即，也即时，存在，使得，故，，单调递增；在，，单调递减，在有一个极值点；当时，，令，；故当时，，单调递增；当时，，单调递减，又，故当，即时，在恒成立，在单调递减，无极值点；当，即时，，故存在，满足；又当趋近于时，趋近于，趋近于，故存在，满足；故当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，故此时在存在个极值点；综上所述，若有个极值点，则在有一个极值点，在存在个极值点，此时，且，故.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考察利用导数由函数的极值点个数，求参数的范围问题；解决问题的关键是：能够利用导数研究时，以及时，的单调性和极值点个数对应的参数范围，从而结合题意，解决问题.22．（2024·辽宁·一模）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】构造函数，判断的奇偶性，再利用导数讨论其单调性，然后根据单调性将不等式去掉函数符号即可求解.【详解】记，令，解得，当时，，单调递增，当时，，单调递减.因为，所以为偶函数.所以，又在上单调递增，所以，即，解得.故选：C【点睛】方法点睛：抽象函数不等式问题主要利用单调性求解，本题需结合奇偶性，并利用导数研究单调性进行求解.23．（2024·辽宁·一模）已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判断函数在各段的单调性，即可得到的大致图象，令，则化为，分、、、、、六种情况讨论，结合函数图象即可得解.【详解】由，当时，函数在上单调递减，且，，当时，当时，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，且，可得的大致图象如下所示：令，则化为，当时无解，则无解；当时，解得，由图可知有两解，即有两解；当时有一解且，又有一个解，即有一解；当时有两个解，即、，又有一个解，有两个解，所以共有三个解；当时有三个解，即，，，无解，有三个解，有两个解，所以共有五个解；当时有两个解，即，，有三个解，有两个解，所以共有五个解；综上可得的取值范围是.故选：C【点睛】关键点睛：本题解答的关键是数形结合，另外分类讨论需做到不重不漏.24．（2024·全国·模拟预测）若关于的不等式在内有解，则正实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将由不等式转化为，令，得到，令函数，问题转化为存在，使得，利用导数求得函数的单调性，结合，得到且，即可求解.【详解】由不等式，即，令，即有，又由，所以函数在上单调递增，因为，所以，令，问题转化为存在，使得，因为，令，可得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为，所以当时，，若存在，使得成立，只需且，解得，因为，所以.故选：A.【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型①，构造函数或；②，构造函数或；③，构造函数或.25．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，其中是函数的导函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求导判断的单调性，将转化为，分离参数，构造新函数求新函数的单调性以及最值，从而求出实数的取值范围.【详解】由题意知，所以，又，所以在上单调递增.因为，所以，故，所以对任意的恒成立.令，则，令，得，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围是.故选：C.【点睛】思路点睛：由函数的不等关系求解参数的范围，先判断函数的单调性，从而得到内层函数的不等关系，再结合不等关系分类讨论或参变分离求参数的范围.26．（2024·辽宁·二模）若，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通过构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，从而得出，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，从而得出，即可得出结果.【详解】令，则，令，则在区间上恒成立，即在区间上单调递减，又，而，所以，即在区间上单调递增，所以，得到，即，所以，令，则，当时，，即在区间上单调递增，所以，得到，即，所以，综上所述，，故选：B.【点睛】关键点点晴：通过构造函数和，将问题转化成比较函数值的大小，再利用导数与函数单调性间的关系，即可解决问题.27．（2024·全国·模拟预测）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将不等式变形为，构造函数，证明函数的单调性，比较与的大小，从而结合函数值的大小可求出的范围.【详解】当时，可化为，令，则，所以在上单调递减．令，则，所以在上单调递增，所以，因此当时，．所以，即．则不等式可化为，所以在上恒成立，因此，即实数的取值范围为．故选：A．【点睛】方法点睛：用导数解决复杂的问题时，常常通过函数的特点选用同构法，判断函数的单调性以及同构中的两个变量的大小，从而解决问题.28．（2024·云南红河·二模）已知函数，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，得到为奇函数，从而得到恒成立，根据函数单调性得到不等式，化简得到时，恒成立，设，，求导得到其单调性，结合特殊点的函数值，得到，得到答案.【详解】设，则，，所以为奇函数.所以，即恒成立，由在上单调递减且，得在上单调递减，所