押新高考第13题 导数及其应用-备战2024年高考数学临考题号押题（全解全析）

第第页押新高考13题导数及其应用考点4年考题考情分析导数及其应用2023年新高考Ⅱ卷第6题2022年新高考Ⅰ卷第15题2022年新高考Ⅱ卷第14题2021年新高考Ⅰ卷第7、15题2021年新高考Ⅱ卷第14题导数及其切线方程，难度较易或一般，纵观近几年的新高考试题，分别考查以切线为背景求参数范围、求切线方程、求最值等知识点，同时也是高考冲刺复习的重点复习内容。可以预测2024年新高考命题方向将继续以切线为背景展开命题．1．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第6题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（

）．A． B．e C． D．【答案】C【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为．故选：C．2．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第15题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．【答案】【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.【详解】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为：3．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第14题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．【答案】【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；解：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；[方法二]：根据函数的对称性，数形结合当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；因为是偶函数，图象为：所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.[方法三]：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；.4．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第7题）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第15题）函数的最小值为.【答案】1【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.【详解】由题设知：定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减；当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；∴故答案为：1.6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第14题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数．①；②当时，；③是奇函数．【答案】（答案不唯一，均满足）【分析】根据幂函数的性质可得所求的.【详解】取，则，满足①，，时有，满足②，的定义域为，又，故是奇函数，满足③.故答案为：（答案不唯一，均满足）八大常用函数的求导公式（为常数）；例：，，，，，，，导数的四则运算和的导数：差的导数：积的导数：（前导后不导前不导后导）商的导数：，复合函数的求导公式函数中，设（内函数），则（外函数）导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率直线的点斜式方程直线的点斜式方程：已知直线过点，斜率为，则直线的点斜式方程为：用导数判断原函数的单调性设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.判别是极大（小）值的方法当函数在点处连续时，（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.1．（2024·辽宁鞍山·二模）的极大值为．【答案】【分析】借助导数研究函数的单调性即可得其极大值.【详解】，当时，，当时，，故在、上单调递减，在上单调递增，故有极大值.故答案为：.2．（2024·全国·模拟预测）若直线与曲线相切，则．【答案】【分析】求出函数的导数，设出切点坐标，利用导数的几何意义列式计算即得.【详解】由求导得，设切点为，则切线的斜率为，解得，则切点坐标为，将代入直线，得，解得，所以.故答案为：3．（2024·海南海口·模拟预测）已知直线是曲线的一条切线，则.【答案】2【分析】分和两种情况，设切点，由导数的几何意义得到切点坐标，从而代入，求出答案.【详解】，当时，，，设切点为，则切线斜率为，故切线斜率不可能为，舍去，当时，，，设切点为，则切线斜率为，令，解得，则切点为，将代入中得，，解得.故答案为：24．（2024·福建漳州·模拟预测）曲线在处的切线方程为．【答案】【分析】根据导数的几何意义求解.【详解】由题可得，当时，，所以所求切线方程为．故答案为：.5．（2024·湖南衡阳·二模）曲线在点处的切线方程为．【答案】【分析】根据题意，由导数的几何意义代入计算，即可得到结果.【详解】因为，则，所以切点为，且，则，由直线的点斜式可得，化简可得，所以切线方程为.故答案为：6．（2024·辽宁·一模）已知函数在处有极值8，则等于．【答案】【分析】求导，即可由且求解，进而代入验证是否满足极值点即可．【详解】若函数在处有极值8，则即解得：或，当时，，此时不是极值点，故舍去；当时，，当或时，，当，故是极值点，故符合题意，故，故.故答案为：.7．（2024·全国·模拟预测）已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为．【答案】．【分析】由导数的几何意义先求出切线的斜率，再求出切点坐标，有点斜式求出切线方程即可.【详解】由题意设切点，因为，令，得，由导数几何意义知：，又，所以，故曲线在处的切线方程为：，整理得：.故答案为：.8．（2024·全国·模拟预测）函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为．【答案】【分析】根据函数的导函数与函数的单调性之间的关系，结合常变量分离法、通过构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可.【详解】在定义域内单调递增，在上恒成立，即在上恒成立．令，，，即实数的取值范围为．故答案为：9．（2024·贵州毕节·模拟预测）定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围为．【答案】【分析】构造函数，利用导数判断出函数的单调性，再将所求不等式变形为函数的形式，再根据函数的单调性解不等式即可.【详解】令，则，所以函数在上是减函数，由，得，即，所以，解得，所以的取值范围为.故答案为：.10．（2024·河南·模拟预测）若直线与曲线相切，则的最小值为.【答案】/【分析】利用导数的几何意义得到，从而得到，构造函数，利用导数求得其最大值，由此得解.【详解】因为，所以，设切点为，则，由，得，，则，代入，得，则，令，则，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以，故.故答案为：.11．（2024·全国·模拟预测）若函数，曲线在处的切线与直线平行，则．【答案】【分析】根据导数的几何意义及直线的位置关系可得参数值.【详解】由，得，所以在处的切线斜率，又切线与直线平行，则，解得，此时，切线斜率，，所以切线方程为，即，与直线平行，即成立，故答案为：.12．（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下列三个条件的函数的解析式．①；②；③的导数为且．【答案】（答案不唯一）【分析】借助函数的周期性、对称性、奇偶性计算即可得.【详解】由①得，所以函数图象的周期为4，由②得的图象关于直线对称，由③得关于对称，为常数，则同时满足三个条件的一个函数可以为．故答案为：（答案不唯一）.13．（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下列三个性质的函数：.①的图象在轴的右侧；②若，则；③当时，（为函数的导函数）.【答案】（答案不唯一）【分析】依题意不妨设，满足条件①③，再结合②求出，最后再确定的值即可.【详解】结合①③不妨设，其定义域为，其图象在轴的右侧，且，所以满足条件①③；若，则，令，则，所以，令，可得（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一）14．（2024·全国·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的x，，恒有，则下列说法正确的个数是．①；②为奇函数；③．【答案】2【分析】应用赋值法结合奇偶性的定义即可求解.【详解】令，则由，可得，故或，故①错误；当时，令，则，则，故，函数既是奇函数又是偶函数；当时，令，则，所以，求导得，即，则为奇函数，综上可知为奇函数，故②正确；令，则，故．由于，令，，即，即有，故③正确，故说法正确的个数为2．故答案为：2.15．（2024·全国·模拟预测）已知曲线和（且）存在一条过公共点的切线，则的值为．【答案】【分析】第一步：设函数，分别求出的导函数；第二步：根据导数的几何意义列方程组；第三步：解方程组即可得解.【详解】第一步：设函数，分别求出的导函数设函数，则．第二步：根据导数的几何意义列方程组设两曲线的公共点坐标为，由题意得即第三步：解方程组即可得解由得，则，得，解得，故的值为．故答案为：16．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若曲线的所有切线中斜率最小的切线方程为，则．【答案】8【分析】求导结合基本不等式得到的最小值，再根据题意得关于的方程，解方程得到的值，得到切点的坐标，将切点坐标代入直线方程得到的值，即可得解.【详解】由，得，因为，则，当且仅当时等号成立，由直线的斜率为，所以曲线的所有切线中斜率最小的切线的斜率，所以，此时，由，则，所以切点为.将代入，得，所以．故答案为：.17．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若，则的最小值为．【答案】4【分析】先利用条件求出的关系式，构造函数求解最小值即可；或者把条件变形为，求出左边的最值，求解不等式可得答案.【详解】方法一：因为，所以，即，两边同时取对数，得，则．令，则，所以当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以，得，所以的最小值为4．方法二：因为，所以，即.令，则，令，解得，令，解得，因此函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，故，得，解得，即，故的最小值为4．故答案为：4.18．（2024·山西·模拟预测）已知函数，若直线与曲线相切，则.【答案】/【分析】根据切线的斜率求出切点，再代入切线方程即可得解.【详解】设切点为，，由题意可得，因为函数在上都是增函数，所以函数在上是增函数，又，所以，所以切点为，则，解得.故答案为：.19．（2024·贵州·模拟预测）过点作曲线的切线，请写出切线的方程.【答案】或【分析】设切点，求导并写出切线方程，代入点求出值即可.【详解】设切点为，而，所以切线的斜率，故切线方程为，因为切线过点，，化简可得或，则切点为或，则代入得切线方程为：或，故答案为：或.20．（2024·全国·模拟预测）已知为奇函数，且当时，，其中为自然对数的底数，则曲线在点处的切线方程为．【答案】【分析】利用奇函数性质求时对应解析式，再由导数几何意义求切线方程.【详解】由题设，当时，，故时，，所以，而，故切线方程为，即．故答案为：21．（2024·云南楚雄·模拟预测）曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积为.【答案】/0.25【分析】先求出切线方程，后求围成的三角形面积即可.【详解】易知的定义域为，而，故切点为，设切线斜率为，且，故，切线方程为，化简得，当时，，当时，，易知围成的图形是三角形，设面积为，故.故答案为：22．（2024·湖南长沙·一模）已知函数是定义在上的增函数，且，则不等式的解集为.【答案】【分析】构造函数，求导后得，由在上为增函数，所以，从而在上为增函数，又由，从而可求解.【详解】由题意知在上为增函数，所以恒成立，构造函数，所以恒成立，所以在上单调递增，又因为，所以当时，，即，所以的解集为.故答案为：.23．（2024·山西临汾·一模）设函数，，曲线有两条斜率为的切线，则实数的取值范围是.【答案】【分析】由可得出，令，则，分析可知，函数在上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，解之即可.【详解】因为，则，令，可得，可得，因为，令，则，且函数在上单调递增，令，其中，因为曲线有两条斜率为的切线，则函数在上有两个不等的零点，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.24．（2024·云南大理·模拟预测）函数的最大值为.【答案】/【分析】分类讨论去解析式中的绝对值，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的最大值.【详解】函数，定义域为，当时，，，在为减函数，此时；当时，，，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，此时，综上可知，.故答案为：.25．（2024·全国·一模）已知函数，点在曲线上，则的取值范围是．【答案】【详解】首先将转化为，并利用导数求函数值域，即的取值范围，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，并求函数的取值范围.，设，，当时，，在区间单调递增，当时，，在区间单调递减，所以当时，取得最大值，，且时，，，所以当时，，即，函数在区间上单调递增，当时，，即，函数在区间上单调递减，所以当时，取得的最大值，所以函数的值域是，由题意可知，，所以，，设，，，当时，，所以当时，，在区间单调递减，当时，，在区间单调递增，所以当时，取得最小值，当时，，当时，，且，所以函数的值域是，所以的取值范围是.故答案为：26．（2024·广西南宁·一模）已知函数的最小值为，则实数的取值范围为.【答案】【分析】求出导函数，根据a的符号分类讨论研究函数的单调性，利用单调性研究函数最值即可求解.【详解】因为，所以，若，则时，，故在上单调递减，时，，故在上单调递增，所以当时，有最小值，满足题意；若，则当无限趋近于负无穷大时，无限趋向于负无穷大，没有最小值，不符合题意；综上，，所以实数的取值范围为.故答案为：27．（2024·广东·模拟预测）在的极值点个数为个．【答案】2【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，结合三角函数的性质计算即可判定.【详解】由，令，则或，显然当时