适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数指点迷津二课件

指点迷津(二)第三章巧用函数性质的二级结论解客观题关于函数的奇偶性、周期性、对称性,有很多重要的二级结论,运用这些结论解决客观题非常简洁、高效,举例说明如下.一、应用奇函数的二级结论解题结论1:如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有意义,那么f(0)=0.结论2:若奇函数f(x)在关于原点对称的区间上有最值,则f(x)max+f(x)min=0.结论3:若函数f(x)是奇函数,且g(x)=f(x)+c,则必有g(-x)+g(x)=2c.结论4:若函数f(x)是奇函数,且g(x)=f(x)+c,g(x)在定义域上有最值,则必有g(x)max+g(x)min=2c.例1.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x-4x+a,则f(-1)=(

)答案

D解析

由题意得f(0)=1+a=0,解得a=-1,即当x≥0时,f(x)=3x-4x-1,于是f(-1)=-f(1)=-(31-4-1)=2,故选D.A.-1 B.0 C.1 D.2答案

B

例2.已知函数f(x)=aln(x+)+bsinx+2,若f(-3)=7,则f(3)的值(

)A.等于-7 B.等于-5C.等于-3 D.无法确定答案

C对点训练2对于函数f(x)=,若f(5)+f(-5)=4,则a=

.

答案

2答案

C例3.(2023黑龙江哈尔滨三中月考)函数f(x)=(x2-2x)(ex-1-e1-x)+x在区间[-1,3]上的最大值与最小值分别为M,N,则M+N的值为(

)A.-2 B.0 C.2 D.4对点训练3已知奇函数y=f(x)为R上的增函数,且在区间[-2,3]上的最大值为9,最小值为-6,则f(-3)+f(2)的值为(

)A.3 B.1 C.-1 D.-3答案

D

例4.已知函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=

.

答案

2对点训练4若对∀x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y)-4,函数g(x)=+f(x)在区间[-2021,2021]上存在最大值和最小值,则其最大值与最小值的和为(

)A.4 B.8 C.12 D.16B二、应用周期性的二级结论解题对f(x)定义域内任一自变量的值x(a,b为非零常数):结论1:若f(x+a)=f(x-a),则f(x)的一个周期为2a;结论2:若f(x+a)=-f(x),则f(x)的一个周期为2a;结论3:若f(x+a)+f(x)=c(c∈R),则f(x)的一个周期为2a;结论4:若f(x)=f(x+a)+f(x-a),则f(x)的一个周期为6a;结论7:若函数f(x)的图象关于直线x=a与x=b对称,则f(x)的一个周期为2|b-a|(b≠a).结论8:若函数f(x)的图象关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则f(x)的一个周期为2|b-a|(b≠a).结论9:若函数f(x)的图象关于直线x=a对称,又关于点(b,0)对称,则f(x)的一个周期为4|b-a|(b≠a).(注意:结论7—结论9的记忆:两次对称成周期,两轴两心二倍差,一轴一心四倍差)例5.(2023青海西宁一模)定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x).当x∈[0,1]时,f(x)=x3+3x,则f(2023)=(

)A.-4 B.0 C.4 D.14答案A解析由题意,函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),变形可得f(2+x)=f(-x),又由f(x)为奇函数,故f(-x)=-f(x),则有f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为4的周期函数.当x∈[0,1]时,f(x)=x3+3x,故f(2

023)=f(2

024-1)=f(506×4-1)=f(-1)=-f(1)=-4.故选A.对点训练5(2023广西南宁三中一模)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+f(2-x)=4,g(x)=f(x-1)+1,若g(x+1)为偶函数,且f(2)=0,则g(2022)+g(2023)=(

)A.5 B.4

C.3

D.0解析∵f(x)+f(2-x)=4,∴f(x)的图象以点(1,2)为对称中心,且f(1)=2.∵g(x+1)为偶函数,∴g(x)的图象关于直线x=1对称,又f(x-1)=g(x)-1,即f(x-1)的图象关于直线x=1对称,∴f(x)的图象关于y轴对称,即f(x)为偶函数,且f(-2)=f(2).由f(x)+f(2-x)=4知,f(x+2)+f(x)=4,∴f(x+2)=f(2-x)=f(x-2),从而得f(x+4)=f(x),∴f(x)的周期为4,g(x)的周期为4,故g(2

022)+g(2

023)=g(2)+g(-1)=f(1)+1+f(-2)+1=2+1+0+1=4.故选B.答案

B答案BC∴f(-1)=f(4).故C正确;∵g(2+x)为偶函数,∴g(2-x)=g(2+x),∴g(x)的图象关于直线x=2对称.∵g(x)=f'(x),g(x)的图象关于直线x=2对称,构造函数f(x)=sin(πx)符合题目要求,g(x)=πcos(πx),而g(-1)=πcos(-π)=-π,g(2)=πcos

2π=π,故D错误.故选BC.对点训练6已知f(x)是定义域为R的奇函数,若f(x+1)为偶函数,f(1)=1,则f(2020)-f(2019)=(

)A.-2 B.-1 C.0 D.1D答案

ABC当k=0时,方程f(0)=0的根恰好是1,3,5,…,成等差数列,2

021在此数列中;当k=1时,方程f(x)=1的根恰好是0,2,4,…,成等差数列,2

020在此数列中;当0<k<1时,要使方程f(x)=k的根成等差数列,则公差只能为1,设方程的根依对点训练7已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且,f(0)≠0,则f(2021)=(

)A.2021 B.1

C.0 D.-1答案C

三、应用函数图象对称性的二级结论解题结论1:若函数f(x+a)是偶函数,则函数f(x)的图象关于直线x=a对称.结论2:若函数f(x+a)是奇函数,则函数f(x)的图象关于点(a,0)中心对称.解析

由题设得函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域中x≠1,答案

D

对点训练8(2023河南洛阳模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x+)为偶函数且f(1)=2,则f(2022)+f(2023)+f(2024)=(

)A.-2 B.0

C.2

D.4例9.(2023江西临川一中期末)若函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)是偶函数,f(x+3)是奇函数,则函数f(x)的一条对称轴为(

)A.x=2023 B.x=2022C.x=2021 D.x=2020答案

C解析

由f(x+1)是偶函数,得f(x)的图象关于直线x=1对称,由f(x+3)是奇函数,得f(x)的图象关于点(3,0)中心对称,∴f(x)的周期T=4|3-1|=8,∵f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f(x)的图象关于直线x=1+=5对称,∴f(x)的对称轴为x=1+8k,k∈Z或x=5+8k,k∈Z.∵2

020=252×8+4,2

021=252×8+5,2

022=252×8+6,2

023=252×8+7,∴函数f(x)的一条对称轴为直线x=2

021.故选C.对点训练9(2023河南郑州一模)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为偶函数,f(x+2)为奇函数,且满足f(1)+f(2)=2,则

f(k)=(

)A.-2023 B.0 C.2

D.2023答案

B解析∵f(x+1)为偶函数,∴f(x)的图象关于直线x=1对称,∵f(x+2)为奇函数,∴f(x)的图象关于点(2,0)中心对称,且f(2)=0,∴f(x)的周期为T=4|2-1|=4.由f(1)+f(2)=2,得f(1)=2,