适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第九章平面解析几何指点迷津八课件

指点迷津(八)第九章求曲线轨迹方程的方法曲线C与方程F(x,y)=0满足两个条件:(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.求曲线方程的基本方法主要有:(1)直接法:直接将几何条件或等量关系表示为代数方程;(2)定义法:利用曲线的定义,判断曲线类型,再由曲线的定义直接写出曲线方程;(3)代入法(相关点法):题中有两个动点,一个为所求,设为(x,y),另一个在已知曲线上运动,设为(x0,y0),利用已知条件找出两个动点坐标的关系,用所求表示已知,即(5)交轨法:引入参数表示两动曲线的方程,将参数消去,得到两动曲线交点的轨迹方程.一、直接法求轨迹方程例1.已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,O为坐标原点,动点P在圆C外,过点P作圆C的切线,切点为M.(1)若点P(1,3),求此时的切线l的方程;(2)当|PM|=|PO|时,求点P的轨迹方程.解

(1)圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4.当切线斜率不存在时,直线为x=1,满足条件;当切线斜率存在时,切线方程可以设为l:y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0.切线方程为3x+4y-15=0或x=1.(2)设P(x,y).∵|PM|=|PO|,且2|PO|2=2x2+2y2,∴|PM|2=|PC|2-|CM|2=(x+1)2+(y-2)2-4=2x2+2y2,∴x2+y2-2x+4y-1=0,∴点P的轨迹方程为(x-1)2+(y+2)2=6.名师点析直接法求轨迹方程的两种策略

对点训练1(2023山东日照统考二模)古希腊亚历山大时期一位重要的几何学家帕普斯(Pappus,公元3世纪末)在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题:即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线.今有平面内三条给定的直线l1,l2,l3,且l2,l3均与l1垂直.若动点M到l2,l3的距离的乘积是M到l1的距离的平方的4倍,则动点M在直线l2,l3之间(含边界)的轨迹是(

)A.圆

B.椭圆C.双曲线 D.抛物线答案

B

解析

由在平面内三条给定的直线l1,l2,l3,且l2,l3均与l1垂直,知l2,l3平行.不妨取直线l1为y=0,l2为x=-a,l3为x=a(a>0).设M(x,y),且动点M在直线l2,l3之间,∴-a<x<a,M到l1的距离为|y|,M到l2的距离为x+a,M到l3的距离为a-x.由动点M到l2,l3的距离的乘积与到l1的距离的平方的4倍相等,有4y2=(a-x)(a+x),即4y2=a2-x2,即x2+4y2=a2,其中-a<x<a,故动点M的轨迹为椭圆.故选B.二、定义法求轨迹方程

例2.在平面直角坐标系中,动圆M与圆x2+y2-2x+=0外切,同时与圆x2+y2+2x-=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程.方法总结利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆(或椭圆、双曲线、抛物线),如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.对点训练2(2023浙江金华模拟)折纸是很多人喜爱的游戏,通过自己动手折纸,可以激发和培养审美情趣,锻炼双手,开发智力,提高实践技能.一张圆形纸片的半径为8,圆心O到定点A的距离为6,在圆周上任取一点P,将圆形纸片折起,使得P与A重合,折痕记为直线l,直线l与直线OP的交点为Q.将此操作多次重复,则Q点的轨迹是

.(填“圆”“椭圆”“双曲线”“抛物线”)

答案

椭圆

解析

如图,在圆周上任取一点P,将圆形纸片折起,使得P与A重合,折痕记为直线l,直线l与直线OP的交点为Q,则|QP|=|QA|.由题意可知,圆O的半径为8,且|OA|=6,|QA|+|QO|=|QP|+|QO|=8>|AO|=6,即点Q的轨迹为椭圆.三、代入法(相关点法)求轨迹方程例3.在△ABC中,A(-2,0),B(2,0),AC与BC斜率的积(1)求点C的轨迹方程;(2)若P(4,0),求PC的中点M的轨迹方程.解(1)设点C坐标为(x,y),因为AC,BC存在斜率,所以x≠±2,且y≠0.方法总结利用代入法求轨迹方程的一般步骤

(1)求点N的轨迹方程;(2)当点N的轨迹为圆时,求λ的值.四、参数法求轨迹方程

例4.如图,椭圆C:

=1的右顶点为A,上顶点为B,动直线交椭圆C于M,N两点,且满足∠MON=90°,过原点O作OH⊥MN,垂足为H.求点H的轨迹方程.解

设M(x1,y1),N(x2,y2).当直线MN斜率不为零时,设直线MN的方程为x=my+t.因为∠MON=90°,所以MO⊥ON,所以x1x2+y1y2=(my1+t)(my2+t)+y1y2=(m2+1)y1y2+mt(y2+y1)+t2=0,方法总结应用消参法求轨迹方程的流程选参→求参→消参→注意消参后曲线的范围是否发生变化对点训练4已知抛物线x2=2py(p>0)上的任意一点到P(0,1)的距离比到x轴的距离大1.(1)求抛物线的方程;(2)若过点(0,2)的直线l与抛物线交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q,求△QAB重心G的轨迹方程.解

(1)由抛物线的定义可得p=2,所以抛物线的方程为x2=4y.(2)由题意可得直线AB的斜率存在,设斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AB的方程为y=kx+2.代入抛物线方程,得x2-4kx-8=0,Δ=(-4k)2-4×(-8)>0,x1+x2=4k,x1x2=-8.五、交轨法求轨迹方程例5.如图,已知椭圆C:

=1的短轴端点分别为B1,B2,点M是椭圆C上的动点,且不与点B1,点B2重合,点N满足NB1⊥MB1,NB2⊥MB2,求动点N的轨迹方程.解

(方法1)设N(x,y),M(x0,y0)(x0≠0