2024年棉城中学高二第二学期数学周练八解析版

棉城中学高二数学周练（8）

一、单选题

1.已知等比数列｛%,｝中，。2・%=4%，等差数列也,｝中，"+"=%，则数列也,｝的前9项和品等于

A.9B.18C.36D.72

【答案】B

【解析】

【分析】由等比数列的性质可得=公，求得%=4,得到"+4=4,再由等差数列的前n项和，即

可求解，得到答案.

【详解】在等比数列｛%｝中，满足电-。8=4。5，

由等比数列的性质可得出・。8=域，即£=4%，所以%=4，

又由/?4+4=。5，所以句+瓦=4

所以数列｛〃｝的前9项和S9=9”，）=9（"；砧=一=18,

故选B.

2.某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷.现要选派划

左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）

A.56种B.68种C.74种D.92种

【答案】D

【解析】根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有戏或种，有

一个“多面手”的选派方法有种，有两个“多面手”的选派方法有种，即共有

c；窗+C；C；C；+C；C：=92（种）不同的选派方法.

故选：D.

3.已知+—4］的展开式中常数项为20,则加=（）

A.-3B.3C.—D.----

33

【答案】B

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【解析】(X-%展开式中第r+1项=C"5-r(_与=(_1)，C)5-2r,

XX

,.10

当r=2时，(=C59X=10x,r=3时，7]=—Cx=---,

5x

所以[x+依—口的展开式中常数项为二xlOx—Wxx=10加—10,

IX八X)XX

所以10加—10=20,得加=3.

故选：B.

4.(1+%)2+(1+©3+(1+©4+-+(1+乃5°展开式中k的系数为()

A.C；。B.CjC.%D.C*

【答案】D

【解析】由题意可知，(1+%)”展开式中f的系数为。1

所以原式的展开式的系数为：

c；+c；+.••+「=c；+c+••.+/=cj+c：+.••+/

=C+C"…+C；。=•••=€：—：.

故选：D.

5.曲线/(x)=e'+G在点(0,1)处的切线与直线y=2x平行，则a=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】确定曲线/(x)=e*+G在点(0,1)处的切线的斜率，求出函数的导数，根据导数的几何意义，即

可求得答案.

【详解】因为曲线/(x)=e，+奴在点(0,1)处的切线与直线了=2x平行，

故曲线/(x)=e'+G在点(0,1)处的切线的斜率为2,

因为/'(X)=ex+a,所以/'(O)=e°+a=1+a=2,

所以a=1,

故选：C.

6.设aeR,若函数/(幻=d+2"+1有极值点，则。的取值范围为()

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1

A.a<0B.a>—2C.—<a<0D.a<——

22

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数存在极值点的条件得到方程，参变分离后即可求得范围.

【详解】因为/（x）=e'+2"+1,

所以/口）=1+2。，若函数/（x）有极值点,

则/'(x)=e'+2a=0有解,

方程化为。=-j<0,

2

故选：A.

二'多选题

210

7.若（x?-2x+2）=a0+«1x+a2xH-----F«10x,则下列选项正确的是（）

A.%=32B,a2=320

C.%+a,+…+=32D.|tZj|+J+…+=3093

【答案】AD

【解析】令x=0,4=25=32,所以A正确；

五项相同的因式相乘，要得到含f的项，可以是五个因式中，一个取f其他四个因式取2,或两个因式取-2x

其他三个因式取2,所以g=C；xlx24+C；x（—2^x23=400,所以B不正确；

令X=1,则。0++。2+…+。10—1,

所以6+%+…+。10=1—32=—31,所以C不正确；

+2x+2）5展开式所有项系数和为同+同+同+…+|%（）|，

令尤=1,得+|%|+|2|+…+|%o|=5'=3125,

所以同++•••+\aw|=3125-32=3093,所以D正确.

故选：AD.

8.为响应政府部门疫情防控号召，某红十字会安排甲、乙、丙、丁四名志愿者奔赴/,B,c三地参加防控

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工作，则下列说法正确的是（）

A.不同的安排方法共有64种

B.若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有42种

C.若甲必须去/地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有12种

D.若甲、乙两人都不能去4地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有14种

【答案】BCD

【解析】四人到三地去，一人只能去一地，方法数为34=81,A错；

若恰有一地无人去，则不同的安排方法数是。；（《+C+玛）=42,：6正确；

若甲必须去/地，且每地均有人去，则不同的安排方法数为A；+C；+C；=12,c正确;

若甲、乙两人都不能去/地，且每地均有人去，则不同的安排方法数为

CC+C+A14

2（33）2=,D正确.

故选：BCD.

三'填空题

9,《3+4++…+《；除以9的余数是.

【答案】8

【解析】原式=（1+1）33=233=8"=（9—1尸

=q01X911-C；!X910+••-+C；°X9x(-1)10+C；I1X(-1)11=C®x911-C；!x910+■--+C；°x9-1=9M+8(M

为正整数）.故余数为8.

故答案为：8.

10.已知A45C的内角4,B,。的对边分别为a,b,c,若cosC=J,a=2®,则cosZ=

3

【答案】j

【解答】解：因为COSC=~-M=2回,

3

a2+b2-c2Ub2+b2-c2

由余弦定理得，cosC=—

32ab2x26/

解得，c=3b,

.b2+c2-a2b2+9b2-12b21

贝ljcosA=---------

2bc2x/?x363

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故答案为：-1.

3

11.已知，(x)为奇函数，当x〉0时，/(x)=e-=1,则曲线>=/(x)在点(-1,/(-1))处的切线方程是

【答案】x+ey-e+2=0

【分析】先求出当x<0时的解析式，然后由导数的几何意义求解即可.

【详解】当x<0时，〃f)=e=l=-〃x),即〃x)=-e，+l,

.♦.f(x)=_e',.•"，(-!)=二，又

ee

则曲线y=/(x)在点(TJ(T))处的切线方程是=+

即x+qy-e+2=0.

故答案为：x+ey-e+2=0.

四、解答题

12.若(4+金>展开式中前三项的系数和为163,求：

(1)展开式中所有x的有理项；

(2)展开式中系数最大的项.

解：易求得展开式前三项的系数为1,2C：,4C；.

由题意得1+2C：+4C；=163,可得片9.

(1)设展开式中的有理项为J+1，

9-k2k18-3左

=2"C：XF-,又狂9,：.k=2,6.

18-618-18

故有理项为q=22CgX~=144/-J=26CgX~=5376-

2左C左〉2k+1。左+i[7of)

(2)设展开式中1M项的系数最大，则]2|匕；21。)，七行，

又：kGN—,故展开式中系数最大的项为乃=5376.

13.已知数列｛4｝满足：％=2,a“+i—4=2".

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(1)求数列｛4｝的通项公式;

用证明:若

(2)若数列也｝的首项为1,其前〃项和s“满足〃5“+1-(〃+1)5“=

*2bl2b22b

\/n€N,—---H---1--n->].

axa2an

【答案】⑴。"=2"

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)利用累加法求解即可；

(2)根据题中条件可得［鸟4为等差数列，继而可求得S+,bn=n,利用错误相减法求得

LnJ"2

〃+2

7；=4-广，考场其单调性即可证明.

【小问1详解】

<=2〃，%=2,

〃22时，

%=Cll+(%-。1)+(。3-％)+…+(%-2-％)+(%-%-1)

=2+21+2?+…+2"N+2"T

O(1O«-l)

又4=2符合上式，所以⑸=2".

【小问2详解】

,,、n(n+\\

由，电+1-(〃+l)S“=--—，

•••数列是以公差为1,首项为1的等差数列,

«1/«、77+1口,（

则瑛=1+——1）=——，即$=-n^——n+\\

n2V72"2

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+n(«-1)

当2时，b=S-S=n，

n]22

A=1也符合该式，，〃=72.

2b2nn

则丁=57=尹，

「厂123n

记北=吩+初+域+…+产'

123n

kk展+…+广

由<

1Tl23n

[2〃2122232〃

n

作差得一T=1H---1—5H—rH----1-----：—

2222232'TT

1-〃

22=2—"2,则[=4—+2

2"2"2"T

72+272+3n+1

T".\-T>0,

n2"T2"2"

•­•数列｛月｝在〃eN*上单调递增，（雹）1mli=工=1，

即g+&+..•+生加

14.如图所示，在四棱锥P—48CD中，侧面尸4D，底面48CD,侧棱尸/=/>£>=PALPD,底

面48CD为直角梯形，其中8C//4D,AB1AD,AB=BC=\,。为4D的中点.

（1）求直线网与平面POC所成角的余弦值;

（2）求B点到平面PCD的距离；

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（3）线段尸。上是否存在一点。，使得二面角Q-/C-。的余弦值为逅？若存在，求出冬的值；若

3QD

不存在，请说明理由.

【答案】（1）逅

3

⑵旦

3

⑶存在'且P需Q=21

【解析】

【分析】（1）根据面面垂直的性质可推得1平面48CD.根据已知得出以。为坐标原点，建

立空间直角坐标系，得出点以及向量的坐标.根据线面垂直的判定定理得出。4J_平面POC,求出而，厉的

坐标，即可根据向量法求出答案；

（2）求出平面PCD的法向量，根据向量法即可得出距离；

⑶假设存在，设而=亦5（0"<1）,得出。（0以1-％）.求出平面的法向量，根据二面角结合向量,

列出方程，求解即可得出X的值，进而得出答案.

【小问1详解】

在△P4D中，PA=PD,。为4D的中点，

所以POJ_4D.

又因为面PAD±底面ABCD,平面PADn平面ABCD=4D,POu平面PAD,

所以，平面48co.

在AP4D中，PALPD,PA=PD=41>

所以，AD=dPA?+PD?=2,OP=^AD=1.

在直角梯形/BCD中，。为的中点，

所以CM=!AD=1=5C.

2

又。4//5C,

所以四边形048。为平行四边形，0C//AB.

因为，AB1AD,所以OC_L4D.

以。为坐标原点，0c所在直线为x轴，0。所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

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如图所示,

则。(0,0,0),P(0,0,l),4(0,—1,0),5(1,-1,0),C(l,0,0),£>(0,1,0),

所以而=(1,-1,-1).

因为OALOC,OPcOC=O,OPu平面POC,OCu平面POC,

所以。4,平面R9C,

所以次=(0,-1,0)为平面尸0c的法向量.

/~DDPB，OAA/3

因为c°s的。”同向=5,

V6

V

由(1)可得而PC=(l,0,-l),PD=(o,l,-l),

设平面PCD的法向量为Z=(x,y,z),

u-PC=x-z=0

则<_,

ii-PD=y-z=0

取z=l,得〃=(1,1,1).

\PB-u\ll-l-ll73

所以，5点到平面尸CD的距离d=

|u|—V13=—]3.

【小问3详解】

假设存在，且设网=2所(ovawi).

因为丽=(0,1,-1),

所以质-砺=闻=(0",-2)，02=(0,2,1-2),0(0"』-％).

设平面CZ。的法向量为加=(Xi，%,zj,AC=(1,1,0),AQ=(0,2+1,1-A),

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m-AC=x+y,=0

则一一/、/、，

沅=++(1-X)Z]=0

取Z]=1+4,得加=(1—/l,/l—l,/l+1).

因为OP1平面ABCD，所以平面CAD的一个法向量为1=(0,0,1).

因为二面角Q—4C—D的余弦值为逅,

整理化简，得3%—i(u+3=0,解得2=；或2=3(舍去)，