第 4 章 幂函数、指数函数与对数函数 内容提要 解读与例析（3）-2021-2022学年高一上学期数学沪教版(2020)必修第一册期末复习

【学生版】《第4章幂函数、指数函数与对数函数》内容提要解读与例析【内容提要】第五章内容提要（见教材102页）1、幂函数的定义域由指数决定.随着指数的不同，幂函数的定义域是不同的.特别地，当指数取有理数时（为正整数，为整数），幂函数的定义域是使得根式有意义的的全体；2、幂函数有单调性：当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减；3、指数函数（，）的定义域是全体实数；4、指数函数（，）有单调性；当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减；5、对数函数的定义域是正数全体.6、对数函数有单调性：当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减；【例析要点】1.函数的概念：1、幂函数的定义域由指数决定.随着指数的不同，幂函数的定义域是不同的.特别地，当指数取有理数时（为正整数，为整数），幂函数的定义域是使得根式有意义的的全体；例1、已知幂函数，求此幂函数的解析式，并指出定义域。【提示】【解析】【说明】2、幂函数有单调性：当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减；例2、（1）幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？（2）23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？（3）2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？【提示】【解析】【说明】比较幂值大小的方法：（1）若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；（2）若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；（3）若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小。3、指数函数（，）的定义域是全体实数；例3、（1）函数f(x)＝eq\r(4－2x)的定义域是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．(－∞，2) D．(－∞，＋∞)（2）函数y＝eq\f(1,2x－1)的值域是()A．(－∞，1)B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C．(－1，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)【提示】【答案】【解析】【说明】4、指数函数（，）有单调性；当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减；例4、（1）已知函数，若函数在是严格增函数，则实数的取值范围是_______（2）比较下列各题中两个值的大小：①1.82.2,1.83；②0.7－0.3,0.7－0.4；③1.90.4,0.92.4；5、对数函数的定义域是正数全体.例5、（1）函数的定义域为（2）函数y＝log(5－x)(2x－3)的定义域为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，5))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))C．(4,5) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))∪(4,5)6、对数函数有单调性：当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减；例6、（1）已知在上是严格减函数，则实数的取值范围是___________.（2）函数的单调减区间是【教师版】《第4章幂函数、指数函数与对数函数》内容提要解读与例析【内容提要】第五章内容提要（见教材102页）1、幂函数的定义域由指数决定.随着指数的不同，幂函数的定义域是不同的.特别地，当指数取有理数时（为正整数，为整数），幂函数的定义域是使得根式有意义的的全体；2、幂函数有单调性：当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减；3、指数函数（，）的定义域是全体实数；4、指数函数（，）有单调性；当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减；5、对数函数的定义域是正数全体.6、对数函数有单调性：当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减；【例析要点】1.函数的概念：1、幂函数的定义域由指数决定.随着指数的不同，幂函数的定义域是不同的.特别地，当指数取有理数时（为正整数，为整数），幂函数的定义域是使得根式有意义的的全体；例1、已知幂函数，求此幂函数的解析式，并指出定义域。【提示】注意：理解幂函数的定义；【解析】因为，为幂函数，所以，m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0；当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0.故所求幂函数的解析式为，定义域为{x|x≠0}或y＝x0，定义域为{x|x≠0}；【说明】判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1；2、幂函数有单调性：当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减；例2、（1）幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？（2）23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？（3）2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？【提示】注意：理解幂函数定义域的“交集”；【解析】（1）当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减；（2）23.1和23.2可以看作函数f(x)＝2x的两个函数值，因为函数f(x)＝2x单调递增，所以23.1＜23.2；（3）2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2；【说明】比较幂值大小的方法：（1）若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；（2）若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；（3）若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小。3、指数函数（，）的定义域是全体实数；例3、（1）函数f(x)＝eq\r(4－2x)的定义域是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．(－∞，2) D．(－∞，＋∞)（2）函数y＝eq\f(1,2x－1)的值域是()A．(－∞，1)B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C．(－1，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)【提示】注意：函数起点是定义域；【答案】（1）A；（2）；【解析】（1）因为，4－2x≥0，所以，2x≤4，所以，x≤2，则f(x)的定义域是(－∞，2]，故选A．（2）因为，2x－1＞－1，且2x－1≠0，所以，eq\f(1,2x－1)＜－1，或eq\f(1,2x－1)＞0，故选B；【说明】对于y＝af(x)这类函数：（1）定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围；（2）值域问题，应分以下两步求解：①由定义域求出u＝f(x)的值域；②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域；4、指数函数（，）有单调性；当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减；例4、（1）已知函数，若函数在是严格增函数，则实数的取值范围是_______（2）比较下列各题中两个值的大小：①1.82.2,1.83；②0.7－0.3,0.7－0.4；③1.90.4,0.92.4；【提示】注意：理解指数函数的单调性；【答案】（1）；（2）①1.82.2＜1.83；②0.7－0.3＜0.7－0.4；③1.90.4＞0.92.4；【解析】（1）因为函数在是严格增函数，所以，解得或，因此实数的取值范围是.故答案为：.（2）①因为，1.82.2,1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值，因为，1.8＞1，所以，y＝1.8x在R上为增函数，则1.82.2＜1.83；②因为，y＝0.7x在R上为减函数，又因为，－0.3＞－0.4，则0.7－0.3＜0.7－0.4；③因为，1.90.4＞1.90＝1,0.92.4＜0.90＝1，所以，1.90.4＞0.92.4；【说明】比较幂值大小的方法：（1）单调法：比较同底数幂大小，构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；明确指数函数的底数与1的大小关系；最后根据指数函数图象和性质来判断；（2）中间量法：比较不同底数幂的大小，常借助于中间值1进行比较，判断指数幂和1的大小；5、对数函数的定义域是正数全体.例5、（1）函数的定义域为（2）函数y＝log(5－x)(2x－3)的定义域为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，5))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))C．(4,5) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))∪(4,5)【提示】注意：遇对数先保证有意义；【答案】（1）[2，＋∞)；（2）D；【解析】(2018·江苏卷)要使函数f(x)有意义，则log2x－1≥0，解得x≥2，即函数f(x)的定义域为[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)；（2）由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3>0，,5－x>0，,5－x≠1，))解得eq\f(3,2)<x<5，且x≠4，故选D；【说明】对于对数的定义域问题；主要是：底数大于0且不等于1，真数大于0；6、对数函数有单调性：当时，它在上严格递增；而当时，它在