2024年天津市红桥区高考数学一模试卷（附答案解析）

2024年天津市红桥区高考数学一模试卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（5分）已知全集。={-2,-1,0,1,2,3,4},集合A={-2,0,1,2},B={-1,

0,2,3},则AUCu3=（）

A.{4}B.{-2,0,1,2,4}

C.{0,2}D.{-2,1}

“於）24>产24,,的（

2.（5分）已知Z?ER,则是）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.（5分）设〃=logo.50.6,Z?=0.2503c=0.6。6,则〃，b,c的大小关系是（）

A.b'>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b

4.-4,则/（%）的图象大致为（

5.（5分）已知〃log«m=2,logz?m=3,则loga/^=（

1156

A.-B.-C.一D.

6565

6.（5分）已知某正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外接球的表面积为（

A.6TCB.8TIC.16TlD.201T

7.（5分）已知直线丁=依:与圆C：（x+2）2+『=3相切，交曲线y=2内（p>0）于点P,

若QP|=8,O是坐标原点，则以。为圆心，以p为半径的圆与圆。的位置关系为（）

A.相交B.内含C.外离D.外切

8.（5分）某中学有学生近600人，要求学生在每天上午7：30之前进校，现有一个调查小

组调查某天7：00~7：30进校人数的情况，得到如下表格（其中纵坐标y表示第x-1

分钟至第x分钟到校人数，1WXW30,xCN*,如当x=9时，纵坐标y=4表示在7：08~

7：09这一分钟内进校的人数为4人）.根据调查所得数据，甲同学得到的回归方程是y

=3.6x-27（图中的实线表示），乙同学得到的回归方程是y=0.82*&（图中的虚线表

示），则下列结论中错误的是（）

X1591519212427282930

Y13441121366694101106

120-

90

A.7：00—7：30内，每分钟的进校人数y与相应时间尤呈正相关

B.乙同学的回归方程拟合效果更好

C.该校超过半数的学生都选择在规定到校时间的前5分钟内进校

D.根据甲同学得到的回归方程可知该校当天7：09〜7：10这一分钟内的进校人数一定

是9人

71

9.（5分）将函数/（x）的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移与个单位，得到函数

g（%）=sin（2%+0）（0<0V*）的部分图象（如图所示）.对于Vxi,X2G[«,/?],且月力必

若g（xi）=g（垃），都有g（%i+小）=孚成立，则下列结论中不正确的是（）

JI

A.g（%）=sin（2x+

TT

B./（x）=sin（4x—可）

C.g（x）在卬苧］上单调递增

D.函数/（工）在［0,-g-］的零点为xi,尤2,…，X",则*1+2%2+2*3+…+2xn_-£+xn—］2

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。

10.（5分）i是虚数单位，复数上卫=__________.

1-1

11.（5分）已知二项式（2x+卷/，则其展开式中含/的项的系数为.

12.（5分）已知双曲线/—《=1与抛物线y2=8x的一个交点为A,尸为抛物线的焦点，

若|4同=5,则双曲线的渐近线方程为.

13.（5分）甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负

3

即停止比赛.已知甲每局赢的概率为g,每局比赛的结果相互独立.本次比赛到第3局才

分出胜负的概率为,本次比赛甲获胜的概率

为.

14.（5分）如图，在平行四边形ABC。中，ZABC=J,E为C。的中点，P为线段AE上

一点，且满足BP=mBA+（BC,贝|m=；若口ABCD的面积为28，

―»

则|BP1的最小值为.

15.（5分）已知函数/⑴=7°勿（久T）“1<**3有四个实数根尤1,尤2,彳3,必且

l（x-4）2,x>3

11,,,一

X1<X2<X3<X4,则-（X3+X4）%1+h的取值范围是.

4犯-----------------------

三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（14分）在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，已知acos（B-3）=6s讥4

（1）求角B的大小；

（2）若。=2,c=3,求sin（2A-B）的值.

17.（15分）如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。是边长为1的正方形，尸。,底面

ABCD,尸3与平面42。所成角为45°,E,尸分别是PC,4。中点.

（I）求证：OE〃平面PFB；

（II）求平面PFB与平面EDB夹角的正弦值.

P

18.（15分）已知际为数列｛◎｝的前〃项和，且满足S"=2a”+r其中r€R,且rWO.

（I）求数列｛加｝的通项公式；

（II）设“=（-1尸+1*，若对任意的"6N*,都有：本笠1仇，求实数

m的取值范围.

x2y21

19.（15分）已知椭圆C：-+^-=1（a>b>0）过点（2,0）,且椭圆C的离心率为一.

a2b22

（I）求椭圆C的方程；

（II）若动点尸在直线尤=-1±,过P作直线交椭圆C于M,N两点，且尸为线段

中点，再过P作直线/LMN.证明：直线/恒过定点，并求出该定点的坐标.

20.（16分）已知函数/（久）=竺"的图象在（1,/（I））处的切线经过点（2,e）.

（1）求a的值及函数/（x）的单调区间；

（2）若关于尤的不等式短仇久—伍x+N+q—l）x—'20在区间（1,+8）上恒成立，求

正实数入的取值范围.

2024年天津市红桥区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)已知全集U=(-2,-1,0,1,2,3,4},集合A={-2,0,1,2],B={-1,

0,2,3},则AUCuB=()

A.{4}B.{-2,0,1,2,4}

C.{0,2)D.{-2,1}

【答案】B

【分析】由题意先求出CuB={-2,1,4},再求并集可得结果.

【解答】解：因为U={-2,-1,0,1,2,3,4},B={-1,0,2,3},所以CuB={-

2,1,4},

因为A={-2,0,1,2},所以AUCuB={-2,0,1,2,4).

故选：B.

【点评】本题主要考查并集和补集，属于基础题.

2.(5分)已知a,bER,则“a>b”是aa2024>b2024w的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合特殊值法，即可求解.

【解答】解：令。=2,b=-3,满足但“2。24<户024,故充分性不成立，

(-2)2024>12024,但-2<1,必要性不成立，

故“a>b”是“。2°24〉.°24”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

【点评】本题主要考查暴函数的性质，属于基础题.

3.(5分)设a=logo.50.6,b=O.25~03,c=O.6~06,则a,b,c的大小关系是I)

A.b>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b

【答案】c

【分析】利用暴函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可.

【解答】解：因为y=logo.5尤在(0,+°°)上单调递减,

所以10go.51Vlogo.50.6<logo.50.5,即0<a<l.

因为y=x0-6在(0,+8)上单调递增，又0.25/3=0.5/6=2。.6,06-。・6=(|尸6,

又2〉|>1,所以2。，6〉(1)。6>1。.6,故Qc>i,所以6>c>q.

故选：C.

【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题.

【答案】A

【分析】根据题意，利用特殊值，函数的对称性对选项一一判断、排除，即可得出答案.

【解答】解：根据题意，函数〃久)=土与-4,

(%—2)

|0-2|「2

因为f(0)=fP—4=J-4V0,故C错误；

(0-2)’4

p|—x+4-2|p|-x+2|p\x-2\

又因为f(一%+4)=2-4=2-4=---2-4=/(%)>

(―x+4—2)(―x+2)(%—2)

故函数/(x)的图象关于x=2对称，故5错误；

\x—2\

当x趋近2时，*一21趋近1,5-2)2趋近0,所以f(x)=f—^—4趋近正无穷，故。

(无一2)

错误.

故选：A.

【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数值的计算，属于基础题.

5.(5分)已知次?#1,logam=2,\ogbm=3,则log血n=()

【答案】D

【分析】利用换底公式及对数运算法则即可求解.

【解答】解：因为loga/n=2,log""=3

11

kJ\logmct=2，logmb=于

所以，O0n。+logmb=大,

即Zog„1ab=1,

所以Zoga即=f.

故选：D.

【点评】本题考查对数的运算，属于中档题.

6.（5分）已知某正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外接球的表面积为（）

A.6nB.8nC.16nD.20n

【答案】D

【分析】确定正六棱柱的外接球球心为上下底面中心连线的中点，计算半径可得到表面

积.

【解答】解：正六棱柱的所有棱长均为2,故正六棱柱的外接球球心为上下底面中心连线

的中点，

故,=12+22=5,表面积为5=4互/=2011：.

故选：D.

【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运

算求解能力，属基础题.

7.（5分）已知直线〉=依与圆C:（X+2）2+y2=3相切，交曲线y2=2px（0>0）于点P,

若|。尸|=8,。是坐标原点，则以P为圆心，以P为半径的圆与圆C的位置关系为（）

A.相交B.内含C.外离D.外切

【答案】C

【分析】根据点到直线的距离求得k,再联立直线与抛物线方程得点P坐标及圆方程,

再考虑圆心距即可.

【解答】解：圆C：（x+2）2+y2=3的圆心为（-2,0）,半径为百,

由直线和圆相切可得导=y/3,解得k=±V3,

结合抛物线的对称性，只需考虑攵=遮的情形，

联立卜=中，解喊:］或「=枭，

所以10P|=J（学）2+（亨）2=竽=8,解得p=6,

此时点P（4,4V3）,圆尸的方程为4>+（y—4次>=36,

因为圆C和圆P的圆心距d=J（-2-4）2+（0-4V3）2=2V21>V3+6,

所以两圆外离.同理当k=-W时，两圆也外离.

故选：C.

【点评】本题考查圆的方程和直线与圆、圆与圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，

属于中档题.

8.（5分）某中学有学生近600人，要求学生在每天上午7：30之前进校，现有一个调查小

组调查某天7：00~7：30进校人数的情况，得到如下表格（其中纵坐标y表示第x-1

分钟至第x分钟到校人数，1WXW30,xCN*,如当x=9时，纵坐标y=4表示在7：08~

7：09这一分钟内进校的人数为4人）.根据调查所得数据，甲同学得到的回归方程是y

=3.6x-27（图中的实线表示），乙同学得到的回归方程是y=0.82e°」6x（图中的虚线表

示），则下列结论中错误的是（）

X1591519212427282930

Y13441121366694101106

120-

90

A.7：00~7：30内，每分钟的进校人数y与相应时间尤呈正相关

B.乙同学的回归方程拟合效果更好

C.该校超过半数的学生都选择在规定到校时间的前5分钟内进校

D.根据甲同学得到的回归方程可知该校当天7：09〜7：10这一分钟内的进校人数一定

是9人

【答案】D

【分析】对于A，根据散点图判断；对于3，由图象结合函数的图象特征判断；对于C,

由回归方程得到的只能是估计值判断；对于。，根据统计表判断.

【解答】解：对于4根据散点图知，7：00~7：30内，每分钟的进校人数y与相应时

间x呈正相关，故A正确；

对于8,由图知，曲线y=0.82e0・⑸的拟合效果更好，故乙同学的回归方程拟合效果更好，

故3正确；

对于C,全校学生近600人，从表格中的数据知，7：26~7：30进校的人数超过300,

故C正确，

对于D,表格中并未给出对应的值，而由甲的回归方程得到的只能是估计值，不一定就

是实际值，故。错误.

故选：D.

【点评】本题主要考查线性回归方程，属于中档题.

77

9.(5分)将函数/(x)的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移］个单位，得到函数

g(%)=sin(2%+w)(。V0V刍的部分图象(如图所示)•对于Vxi，及€［。，b］,且羽力必

若g(xi)=g(%2),都有+小)=孚成立，则下列结论中不正确的是()

A.g(%)=sin(2x+电

77

B./(x)=sin(4x—可)

C.g(x)在［兀，上单调递增

D.函数/(X)在［0,粤］的零点为xi,无2,…，%，则Xi+2%2+2x3d----F2/i-i+xn=

【答案】C

【分析】根据题意可得g(x)在区间团，田上的对称轴为x="2结合g(0)=g(%+

刀2)=字，可得隼的大小，从而可得g(x)解析式，即可判断人由函数图象的平移变

换可得/(x)的解析式，即可判断B；由正弦函数的单调性即可判断C；由正弦函数的性

质计算即可判断。.

【解答】解：对于A,由题意可知函数g(x)=5讥(2%+9)(0〈9法)的图象在区间团，

切上的对称轴为直线久=

又g(%i+%2)=所以g(0)=gg+x2)=孚,

所以sin(p=5，

又因为0<9U，所以隼=*

故。(%)=sin(2x+5)，故A正确；

对于8,g(%)=si7i(2%+号)向右平移g个单位长度得到函数y=s讥(2%-号)的图象，

再将其横坐标缩短为原来的夕导到/(x)=s》(4］-金的图象，故3正确；

对于C,令—今+2/CTT<2,x+2内i,左CZ,

^-77--TT

得一^-2+kn<%<-^2左EZ,

当k=l时，—<x<三"，所以g(X)在［碧，^上单调递增，

而［TT,岑］&［居，>故C错误;

对于D,令1=4%—基则?€［—,5TT］,

函数y=sin/在［一亨，5兀］上有6个零点九，t2,…，t6,

则"+也=71,/2+/3=311,/3+由=5h，M+/5=7lT,/5+/6=9H,

故/1+2/2+2/3+2/4+2/5+/6

=4(%I+2X2+2X3+2X4+2X5+%6)-10x2=25TI,

857r

所以尤1+2X2+2X3+2尤4+2X5+X6=故D正确.

故选：C.

【点评】本题主要考查函数y=Asin（3x+（p）的图象变换，正弦函数的图象与性质，考

查运算求解能力，属于中档题.

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。

4+2i

10.（5分）i是虚数单位，复数一r=l+3z.

l-i

【答案】l+3i.

【分析】由已知结合复数的四则运算进行化简即可求解.

……54+2i(4+2i)(l+i)2+6i

【解答】解：百=万方有=h="3工

故答案为：l+3i.

【点评】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题.

11.（5分）已知二项式（2支+2）6,则其展开式中含1的项的系数为4320.

【答案】4320.

【分析】求出展开式的通项公式，然后令x的指数为2,由此即可求解.

【解答】解:二项式的展开式的通项公式为=甯（2比）6-（。）『=凄.26—•3”6一%,

r=0,1,…，6,

令6-4r=2,解得r=3,

则%2的系数为俏•23-33=4320.

故答案为：4320.

【点评】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题.

12.（5分）已知双曲线/—《=1与抛物线y2=8x的一个交点为A,尸为抛物线的焦点，

若|AF|=5,则双曲线的渐近线方程为y=±V3x.

【答案】y=±V3x.

【分析】由抛物线的焦半径公式求得尸点坐标后，代入双曲线方程得参数相值，然后可

得渐近线方程.

【解答】解：设AGo,yo）,则%0+2=5,x0=3,yl=8x0=24,

又A在双曲线上，所以9一竟=Lm=3,

双曲线方程为%2—专=1,a=1/b=V3,

所以渐近线方程为y=±V3x.

故答案为：y=±y/3x.

【点评】本题考查了双曲线的性质，属于基础题.

13.（5分）甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负

3

即停止比赛,已知甲每局赢的概率为？每局比赛的结果相互独立.本次比赛到第3局才

1281

分出胜负的概率为—,本次比赛甲获胜的概率为—.

Z5TZ5

【答案】见试题解答内容

【分析】利用古典概型、排列组合，能求出结果.

【解答】解：到第3局才分出胜负，则前两局甲、乙各赢一局，其概率为6x|x|=||.

若甲获胜，分2种情况：

339

①甲连赢2局，其概率为二x-=—,

5525

②前两局甲、乙各赢一局，第三局甲赢，其概率为&x|x"卜患.

93681

故甲获胜的概率为不+=777.

25125125

一代―1281

故答案为：—;石

【点评】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

14.（5分）如图，在平行四边形ABC。中，^ABC=E为C£＞的中点，P为线段AE上

一点，且满足BP则机=,；若口ABC。的面积为2百，则|BP|的最小值为

4V3

亍.

【分析】利用平面向量基本定理以及线性运算，结合向量相等，求出根的值，利用平行

四边形的面积，求出|BC||B4|=4,由模的运算性质以及基本不等式求解最值即可.

【解答】解：BP=BA+AP=BA+kAE=BA+k(DE-DA)=(1一/)BA+kBC,

[f->T)T

所以(1一处)B4+/cBC=mB2+^BC,

1-5k=mn7?—o-*

1,所以相=呈所以BP=，4+，C,

因!为nA2CD的面积为2/，

所以访扁|•苧=2后

—>—>

则18cliBA|=4,

―>4T4T8♦T2-T12

2灰Ba2+16+4>X4+4-

-BC-Bx-Bx--万2--V2

所以IBP|=9993F3

4V3

丁，

T

当且仅当|BC|=2时取等号,

-4V3

则18P|的最小值为一^—.

24日

故答案为：•

33

【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用，向量数量积的应用以及向量模的求解，

利用基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.

15.（5分）已知函数/（X）=（>92（%-1）1，1<%"3有四个实数根小羽，必％4且

1（%—4）2,x>3

11109

XlVx2Vx3Vx4,则一（X3+X4）Xld的取值范围是（一，一）.

4%232

【答案】（孚|）.

32

【分析】根据题意，作出分段函数的图象，讨论根的范围，得工=1-3,进而求出工（无3+X4）

%2X14

XI+3的取值范围.

x2

【解答】解：由分段函数知：

1<无W2时，f(%)e(一8,0]且递减;

2c尤W3时，f(x)G[0,1]且递增;

3V%V4时，f(x)G(0,1)且递减；

入24时，f(x)e[0,+oo)且递增；

.V(x)的图象如下：f(x)=〃有四个实数根XI,X2,X3,X4且XlVx2Vx3Vx4,

由图知：0<〃<1时，/(x)=〃有四个实数根，且1VX1V2VX2V3<X3V4<X4<5,又

X3+X4=8,

由对数函数的性质：(X2-1)=XIX2-(X1+X2)+1=1,

可得一=1一白，

汽2xl

11113

「・令一(X3+X4)xi4=2xH=2x1----\-1=t,且一<xi<2,

4x2x2X12

133i

由g(x)=2x一一+1在(一，2)上单增，可知g(-)<2x一一+l〈g(2),

工22%

10Q

所以7TVt<亍

32

109

故答案为：(77，-).

32

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，是函数图象和性质的综合应用，难度中

档.

三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.(14分)在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，已知acos(B-3)=6si加4

(1)求角B的大小；

(2)若a=2,c=3,求sin(2A-B)的值.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等变换，即可求得8的值；

(2)利用余弦定理和三角恒等变换，即可求得sin(2A-B)的值.

【解答】解：(1)△ABC中,acosQB-^)=bsinA,

由sinAcos(B—7")=sinBsinA,

6

TT

cos(5-a)=sin8,

7171

cosBcos-+sinBsin-=sinB,

66

V31.

cosi5-77sin8=0,

22

TT

)

cos(8+N6=0,

又加(0,IT),

解得B=J

(2)TXABC中，a=2,c=3,B=

由余弦定理得b=yja2+c2-2accosB=V7，

由加inA=〃cos(B—5),得sinA=噌，

6V7

.2

.".COSA=-j=,

sin2A=2sinAcosA=

21

cos2A=2cosA-1=q，

・•/exn、•nAr>D4v511y/33A/3

..sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2Asm8=-x方—77x/=~rr-

/LIL

【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是中档题.

17.(15分)如图，在四棱锥尸-ABC。中，底面ABC。是边长为1的正方形，尸。,底面

ABCD,P8与平面ABC。所成角为45°,E,尸分别是PC,A。中点.

(I)求证：OE〃平面PFB；

(II)求平面PFB与平面EDB夹角的正弦值.

p

【分析】（I）以。为坐标原点，DA,DC、OP所在直线分别为无轴，y轴，z轴，建立

空间直角系，利用向量法能证明。E〃平面PFB-.

（II）求出平面PFB的法向量和平面EDB的法向量，利用向量法能求出平面PFB与平

面瓦小夹角的正弦值.

【解答】解：（I）证明：在四棱锥尸中，底面ABC。是边长为1的正方形，PD

_1_底面ABCD,

PB与平面ABC。所成角为45°,E,歹分别是PC,中点，

：.PD=BD=V2,

以。为坐标原点，DA,DC、。尸所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角系，

1-

F(-,0,0),B(1,1,0),P(0,0,V2),

2

BF=-1,0),SP=(-1,-1,V2),

设平面力咕的法向量为1=（x,y,z）,

—»

n•BF=—TTX—y=0、厅

TT2〃,取尸1,得九=(-2,1,—竽),

n-BP=-x—yV2z=0

tTT

,：DE-n=0,DEC平面PFB,

，r)E〃平面PFB-,

(II)平面尸网的法向量为£=(-2,1,—孝)，

DB=(1,1,0),

设平面EDS的法向量为/=(a,b,c),

,|m-DB=a+b=0„〃-V2

贝H-->i/n，取a=l,得m=(1,-1,—),

Im-DE=+^-c—02

设平面PFB与平面EDB夹角为9,

—>—>

贝mi!lJcosn0=±1血一•几十I

|m|-|n|囿

平面PFB与平面EDB夹角的正弦值为singV1-cos26=Jl-喘：尸=1||2.

【点评】本题考查线面平行的判定与性质、二面角正弦值等基础知识，考查运算求解能

力，是中档题.

18.（15分）已知S,为数列｛斯｝的前w项和，且满足S”=2而+r其中r6R,且rWO.

（I）求数列｛痴｝的通项公式；

（II）设%=（—1尸+13，若对任意的吒N*,都有：岑笠1bi<m<£包］瓦,求实数

m的取值范围.

n

【答案】（I）an=-r-2-\

（II）（-1,2）.

【分析】（I）根据即与S,的关系求解即可;

（II）易得加=（―1尸+】+（-2严，再分别求得万肾1bj,£得瓦，利用数列的增减

性即可得解.

【解答】解：（I）由Sn—2an+r,

当”=1时,ai=Si=2ai+r,所以ai=-r=0；

当W22时，Cln=SnSn-1=2dn-2a”-1,

所以a”=-1,

所以数列｛斯｝是以2为公比的等比数歹!J,

所以厮=-r-2n-1；

n

（II）由（I）得％=-「屋”）=r（i-2）,

贝%=（-l）n+1^?=（-l）n+1（l-2n）=（一1严1+（-2）n.

故/】y…+...+.「1+-2忆/k上”

洛仇=瓦+历+...+/=0+芈导1=土哈上，

1

而用/瓦=一（-2广+1=二要随n的增大而减小，

]

所以（用「1仇）max=^^=—1，

£盟1瓦=-（-2）71-2=24^2随n的增大而增大，

所以。盟1仇）就“=串上=2,

1

因为对任意的"CN*,都有小笠bt<m<^比,

所以-1<机<2,即实数机的取值范围为（-1,2）.

【点评】本题考查数列通项公式的求法以及数列的求和，数列的增减性，考查运算求解

能力，属于中档题.

X2V2、1

19.（15分）已知椭圆C：—+—=1（a>b>0）过点（2,0）,且椭圆C的禺心率为一.

a2b22

（I）求椭圆C的方程；

（II）若动点尸在直线尤=-1上，过尸作直线交椭圆C于M,N两点，且尸为线段MN

中点，再过尸作直线证明：直线/恒过定点，并求出该定点的坐标.

【答案】见试题解答内容

【分析】（I）点（2,0）在椭圆上，将其代入椭圆方程，又因为c=表解方程组得到a,

b,由此能求出椭圆方程.

（II）点P在直线x=-l上，则可得P（-l,*）,当直线MN的斜率存在时设斜率为

k,得到直线MN中点，根据点尸的横坐标解得公由可得直线/的斜率及其含参

数”的方程，分析得直线是否恒过定点，注意还要讨论直线MN的斜率不存在的情况.

【解答】（I）解：：点（2,0）在椭圆上，

40

，下■+—=1,解得a2=4,

1c1

・••椭圆c的用心率为m，

a2-b21

丁=7解倚°9=3,

%?y2

...椭圆c的方程为了+可=1.

(ID证明：设尸(-1,yo),y0e(-1,1),

①当直线MN的斜率存在时,

设直线MN的方程为y-yo=A(x+1),M(尤i,ji),N(x2,y2),

由|4+3-1

.y-y0=k(x-1)

22222

得：(3+4fc)%+(8ky0+8k)x+(4y0+8ky0+4k—12)=0,

2

.,_Sky0+8k

••Xi+%2-5，

3+4/

为MN中点，：.X1+X2=-1,即一丝空咚=-2,

23+4fc2

.3

•・^MN=。，

'/ZJ_LMN,•*,ki=—

直线l的方程为y—y0=-学（x+1）,

即y=-¥(%+》,

.•.直线/恒过定点（一，0）.

4,

②当直线MN的斜率不存在时,

直线MN的方程为工=-1,

此时直线/为X轴，也过点（一4,0）.