2024届上海市上海中学东校区高二年级上册数学期末考试试题 含解析

2024届上海市上海中学东校区高二上数学期末考试试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若工<工<0,则下列不等式①a+b<ab；②|。|>同；③a<b；④2+4〉2中，正确的不等式有（）

abab

A.O个B.l个

C.2个D.3个

2.已知根则下列说法中一定正确的是（）

A.m2>n2B.—<—

mn

C.mn>4D.y/—m<G

3.已知4—4=ln3,hc

人一3=ln—,c-2=ln-,其中aw4,b丰3,cw2,贝！I()

432

\.c<b<aB.c<a<b

C.a<b<cD.a<c<b

4.在（4-2）5的展开式中，的系数为（）

A.-5B.5

C.-10D.10

5.设S”是数列｛4｝的前〃项和，已知S“="（〃eN*）,则数列｛4｝（）

A.是等比数列，但不是等差数列B.是等差数列，但不是等比数列

C.是等比数列，也是等差数列D.既不是等差数列，也不是等比数列

6.已知函数Ax）在x=x0处的导数为广（飞），则处①+曾一""=（）

42广（飞）B.-27（不）

C.；/'（x（））D.一；广（%）

7.甲烷是一种有机化合物，分子式为CH-其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成分.如图所示的为甲

烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离盘不（H-H键长）相等，碳原子到四个氢原子的距离4-H（C-H

键长）均相等，任意两个H-C-H键之间的夹角为（键角）均相等，且它的余弦值为-g,即cosZHCH=-g,若盘刃=。，

则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为（）

,8^/3ci8A/3^

A.--------B.-------

279

「80n8缶

-----------

279

8.加斯帕尔•蒙日（图1）是18〜19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂

22

直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）.则椭圆。：上+匕=1的

54

蒙日圆的半径为（）

9.某校初一有500名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，学校要求他们从四大名著中选一本阅读，其中有200人选

《三国演义》，125人选《水浒传》，125人选《西游记》，50人选《红楼梦》，若采用分层抽样的方法随机抽取40名学

生分享他们的读后感，则选《西游记》的学生抽取的人数为（）

C.12D.15

22

10.已知"，N为椭圆L+匕=1上关于短轴对称的两点，A、8分别为椭圆的上、下顶点，设，k［、心分别为

43

直线M4,7VB的斜率，则——+的最小值为（）

4勺k2

A.正B.在

32

11.已知命题P：3x0>0,/。-3%+1W0,则命题P的否定为（）

A.Vx<0,e'—3x+l>0B.Vx>0,ex-3x+l>0

C.Vx>0,靖一3x+lWOD.3%>0,ex-3x+l>Q

12.中国历法推测遵循以测为辅，以算为主的原则.例如《周髀算经》里对二十四节气的辱影长的记录中，冬至和夏至

的辱影长是实测得到的，其它节气的号影长则是按照等差数列的规律计算得出的.二十四节气中，从冬至到夏至的十三

个节气依次为：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至•已知《周髀算

经》中记录某年的冬至的辱影长为13尺，夏至的辱影长是1.48尺，按照上述规律，那么《周髀算经》中所记录的立

夏的辱影长应为（）

A.3.4尺B.4.36尺

C.5.32尺D.21.64尺

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在一村庄正西方向120km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为26km/h,距台风中心100km

以内的地区将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则村庄所在地大约有小时会受到台风的影响.（参

考数据：近“2.6）

14.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线=4》上的点尸到该抛物线焦点的距离为5,则点尸的纵坐标为

15.已知数列｛%｝的前"项和为S“="2+2n,则该数列的通项公式an=.

22

16.已知点尸是椭圆二+与=1（。〉6〉0）上的一点，耳,耳分别为椭圆的左、右焦点，已知/与尸鸟=120°,且

a~b"

\PFt\=3\PF2\,则椭圆的离心率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知椭圆C：工+亡1(«>。〉0）的一个焦点坐标为（1,0）,离心率受

/b22

（1）求椭圆。的方程；

（2）设。为坐标原点，椭圆。与直线丫=依+1相交于两个不同的点A、B,线段A5的中点为M.若直线0M的斜率

为-1,求线段A5的长；

（3）如图，设椭圆上一点R的横坐标为1（R在第一象限），过尺作两条不重合直线分别与椭圆。交于P、。两点、

若直线PR与QR的倾斜角互补，求直线PQ的斜率的所有可能值组成的集合.

18.（12分）已知椭圆C:「+y=1（。＞1）的焦点与双曲线。：=1（/〉0）的焦点相同，且D的离心率为乎.

（1）求C与。的方程；

（2）若P（0,l）,直线/：y=—x+m与C交于A,B两点,且直线BL,的斜率都存在.

①求m的取值范围.

②试问这直线”1,尸3的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

19.（12分）已知｛4｝是公差不为0的等差数列，55=20,且%，生，％o成等比数列

（1）求数列｛4｝通项公式；

（2）设仇=4+2",求数列也｝的前〃项和S.

20.（12分）如图，在三棱锥S—ABC中，侧面为等边三角形，ABC^90，AB=BC=2,平面5AB，平

面ABC,。为AC的中点.

(1)求证：AB±SD；

(2)若P(j=2SP，求二面角S—A3—尸的大小.

21.(12分)如图，在四棱锥P—A6CD中，底面A3CZ>是边长为1的菱形，且NB4D=60。，侧棱Q4=2,

ZB4D=ZB4B=45°,M是PC的中点，设筋="，AD=b，AP=c

(1)试用q,b>c表示向量3M;

(2)求3M的长

22.(10分)已知ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且8,A,C成等差数列.

(1)求A的大小；

(2)若a=J7,且一ABC的面积为38,求一ABC的周长.

2

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解题分析】由条件工<工<0,可得利用不等式的性质和基本不等式可判断①、②、③、④中不等式的

ab

正误，得出答案.

【题目详解】因为工(工<0,所以6<a<0.

ab

因此a+b<0,aZ?>0,且网〉同，且②、③不正确.

所以a+b<0<ab,所以①正确，

由6<。<0得自、区均为正数，所以2+q〉2/2.q=2,(由条件占<。<0,所以等号不成立)，所以④正确.

abab\ab

故选：C

2、B

【解题分析】AD选项，举出反例即可；BC选项，利用不等式的基本性质进行判断.

【题目详解】当机=一1,〃=2时，满足加<0<〃，此时/</,故A错误；因m<0<n,所以,<0,->0,

mn

—,B正确；因为根<0<〃，所以根〃<0,加之>o,故rrm<n^,C错误；当m=—2,〃=1时，满足

mn

y/—m=A/29yfri=19所以>\[n，D错误.

故选：B

3、C

【解题分析】先令函数〃x)=x-Inx,求导判断函数的单调性，并作出函数/(%)的图像，由函数/(%)的单

调性判断f(c)>f(b)>f(a)9再由对称性可得a<b<c.

【题目详解】由a-4=lnS,贝!)Q-lnQ=4-ln4,同理/?-lnb=3-ln3,c-lnc=2-ln2,

4

1Y—1

令〃x)=x—Inx,则/(力=1——=-—,当八x)<0,0<x<l；当/'(x)>0,尤>1,.•./(x)在(0,1)上单调

XX

递减，(1,内)单调递增，所以〃4)>〃3)>/(2),即可得〃a)>/0)>/(c),又"4,b手3,c/2

由图的对称性可知，a<b〈c.

故选：c

4、C

【解题分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定/的系数即可.

【题目详解】(«—2『展开式的通项公式为：=

5—r1

令丁=2可得：r=l,则炉的系数为：(―2)=(—2)x5=—10.

故选：C.

【题目点拨】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通

项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中”和r的隐含条件，即"，r均为非负整数，且也r,如常数

项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项

5、B

【解题分析】根据4与S”的关系求出通项，然后可知答案.

22

【题目详解】当”=1时，％=，=1,当时，an=Sn-Sn_,=n-(n-1)=2n-1,

综上，｛。,｝的通项公式为。“=2〃-1,

册一%7二2〃-1—[2(n—1)—1]=2

二数列｛4｝为等差数列

同理，由等比数列定义可判断数列｛%｝不是等比数列.

故选：B

6、C

【解题分析】利用导数的定义即可求出

【题目详解】ilimf(xo+M-/(xo)1

7

■f。2Ax2、-。(x0+Ax)-x02'

故选：C

7、A

【解题分析】利用余弦定理求得程一H，计算出正四面体的高，从而计算出正四面体的体积.

【题目详解】设d3H=x，则由余弦定理知：/=/+/_2/解得％=受£,

故该正四面体的棱长均为其电

3

由正弦定理可知：该正四面体底面外接圆的半径厂=

故选：A

8、A

【解题分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.

22

【题目详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆C:土+乙=1的两条切线X=6,y=2的交点

54

在圆上，

所以R=J5+4=3,

故选：A

9、B

【解题分析】根据分层抽样的方法，列出方程，即可求解.

125

【题目详解】根据分层抽样的方法，可得选《西游记》的学生抽取的人数为40x=二=10

500

故选：B.

10、A

【解题分析】设出点“，N的坐标，并表示出两个斜率左1、左2,把代数式3+3转化成与点河的坐标相关的代

4klk2

数式，再与椭圆有公共点解决即可.

22

【题目详解】椭圆亍+餐=1中：40,6），3（0,-百）

设知"则…办则『春‘-生I,

11m—m(5A/3-3n)m_5y/3-3n

——十一

〃-百)4(n-V3)(n+73)-3m

4%k24(n+6

令k=5道—3n,则3〃成+3〃_5百=o它对应直线3履+3y—5出=0

3m

3kx+3y-5y/3=0

由(炉,2整理得(9+12/)/_40百履+64=0

[43

22

由判别式A=(―4。6上『—4x64(9+12Zr2)20解得陶2§百

即5牛3n则上+；的最小值为2月

3m34匕左23

故选：A

11、B

【解题分析】根据特称命题的否定变换形式即可得出结果

【题目详解】命题P：3x0>0,1―3%+lWO,

则命题，的否定为Vx»0,ex-3x+l>0

故选：B

12、B

【解题分析】根据等差数列定义求得公差，再求解立夏的辱影长在数列中所对应的项即可

【题目详解】设从冬至到夏至的十三个节气依次为等差数列｛4｝的前13项，则q=13,。埼=148

所以公差为d=后片义(L48—13)=—0.96,

则立夏的辱影长应为q0=4+(10—l)d=13—9x0.96=4.36(尺)

故选:B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4

【解题分析】结合勾股定理求得正确答案.

【题目详解】如图，设村庄为4,开始台风中心的位置为8,台风路径为直线/,

因为点A到直线I的距离为60^/2<100，

村庄所在地受到台风影响的时间约为：2敢100)2—(60后)2=40心4(小时).

2626

本卷包括必考题和选考题两部分.第17题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答

第22题〜第23题为选考题，考生根据要求作答

14、4

【解题分析】根据抛物线的定义，列出方程，即可得答案.

【题目详解】由题意：抛物线d=4y的准线为y=-l,设点尸的纵坐标为先，

由抛物线定义可得%+勺为+1=5,解得％=4,

所以点P的纵坐标为4.

故答案为：4

15、2n+l

【解题分析】由4=S“-Si(n>2)计算，再计算可可得结论

2

【题目详解】由题意时，an=Sn-Sn_x=rr+2n-(n-X)-2(n-V)=2n+l,

又。i=S]=3适合上式，

所以a,=2〃+l

故答案为：2"+1

【题目点拨】本题考查由S.求通项公式，解题根据是a〃=S〃-S,T522),但要注意此式不含%,4=，

V13

l1fbi>---

4

【解题分析】设归周=可。胤=3尤,2。=4%,由余弦定理知(2c)?=13/,所以工=半，故填乎.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

r2

17、(1)—+y2=1；

2

【解题分析】(1)根据给定条件求出椭圆长半轴长a即可计算得解.

⑵将y=履+1代入椭圆C的方程，再结合给定条件求出左值即可计算出AB的长.

(3)设出直线尸R的方程，再与椭圆C的方程联立求出点尸坐标，同理可得点。坐标，计算尸。的斜率即可作答.

【小问1详解】

依题意，椭圆。的半焦距c=l,而2=e=徨,解得q=则廿=/一°2=1,

a2

尤2

所以椭圆。的方程是：—+y2=l.

2

【小问2详解】

y=Ax+1°。4k

由j3+2y2_2消去y并整理得：(2左+l)x+4履=0,解得再=0,々=一道打，

于是得线段A5的中点M(-直线OM斜率为-：=-1,解得人=

乙K十±乙K十£乙K/

,1

_____I；-4x-2六

因此，IAB|=，］+左2\x2—x1|=J1+(7)2X----—=—-—,

V22x0)2+13

所以线段A8的长为

3

【小问3详解】

由(1)知，点依题意，设直线尸R的斜率为直线尸R方程为：y-^=t(x-l)，

,0、

由…i-丁消去y并整理得，(2/+1)/_49—曰)》+2产—2M—1=0,

x2+2y2=2

设点尸(xp,»),则有马=恐第二1,显然直线。尺的斜率为V,设点。(％,为)，同理有q=竺妥善1

2产一2万-12产+2万一1

心厂1)+«”1)J(—2入]+2入]—'—4?A/2

于是得直线PQ的斜率kPQ=匕迎

Xp—XQ2厂一2\[^t一12厂+2\[^t—1-4万一2

2产+12入1

所以直线PQ的斜率的所有可能值组成的集合

【题目点拨】方法点睛：求椭圆的标准方程有两种方法：①定义法：根据椭圆的定义，确定片,〃的值，结合焦点

位置可写出椭圆方程

②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a,b-,

若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论.

22

18、(1)C：?+12=］；£>:—>2=1；(2)①—<根<"7^且加。±1；

②见解析.

【解题分析】(1)根据。的离心率为母，求出/从而求出双曲线。：5-。=1«〉0)的焦点，再由椭圆

222

C：.+y2=l(a〉l)的焦点与双曲线。：］_—,=1。〉0)的焦点相同，即可求出片,即可求出。与。的方程;

(2)①根据题意容易得出mw±l,然后联立方程，消元，利用A>0即可求出m的取值范围；

②设4(%,%),5(9,%)，由①得：%+为=警，%%=%心，计算出左PA^PB，判断其是否为定值即可.

【题目详解】解：(1)因为。的离心率为直，即=如，

2V22

解得：t=l,

2

2

所以。的方程为：y-y=l；焦点坐标为(±6,0),

又因椭圆。：二十/=1(〃>1)的焦点与双曲线°=1"〉0)的焦点相同,

a

所以4―1=3,所以片=4,

2

所以C的方程为：—+y=l；

4-

（2）①如图:

因为直线/：y=-X+m与C交于A,B两点,且直线B4,尸5的斜率都存在,

所以7九W±1,

(X2_

联立1丁+了2，消X化简得：5y2—2小y+H?—4=0,

y=—x+m

所以A=47%2—20(77?—4)＞。，解得—若＜m＜y/5,

所以-石＜m＜y/5且/九w±1;

②设A（jq,y1）,B（x2,y2）,

r+G组苏一4

由1①得：%+%=2m7，%%=--—

诉］”,=(%-1)(，2-1)=++1=-T

所以总PB-石々一(f+7〃)㈠2+加厂4®+l)'

故直线协，P3的斜率之积不是是定值.

【题目点拨】本题考查了求椭圆与双曲线的方程、直线与椭圆的位置关系及椭圆中跟定直有关的问题，难度较大.

19、(1)an=3n-5

37

(2)S=2n+i+-n2——n-2

22

【解题分析】(1)设等差数列｛4｝的公差为d,依题意得到方程组，解得生、d,即可求出数列的通项公式；

(2)由(1)可得d=(3"-5)+2",再利用分组求和法求和即可；

【小问1详解】

解：设等差数列｛4｝的公差为d,

%+%+/+〃4+=5〃1+10J=20

由题意，得＜/、/、/、2，

(%+2d)(q+9d)=(q+4d)

©=4CL——2

解得?八或二o,

a=0[d=3

因为dwO,所以4=-2+3(〃-1)=3"-5

【小问2详解】

解：当q=3”—5时，d=(3〃—5)+2",

2

GKi｝i„,,7—2+3〃—52(1—2)]37.

所以S=b、+b、++b=-------------n-\——--------=2+—n~n—2

n12n21-222

20、(1)证明见解析

⑵-

6

【解题分析】(1)取AB中点E,由面面垂直和线面垂直性质可证得SELA5,结合由线面垂直判定可

证得平面SDE,由线面垂直性质可得结论；

(2)以上为坐标原点可建立空间直角坐标系，由向量数乘运算可求得P点坐标，利用二面角的向量求法可求得结果.

【小问1详解】

取AB中点E,连接SE,OE,

为等边三角形，E为A3中点，.,.SELA3,

平面平面ABC,平面必31平面ABC=AB,SEu平面ABC,

平面ABC,又ABi平面ABC,.•.SELAB；

。,£分别为4045中点，，£)£〃48,又/ABC=90，：.AB±DE，

£>E,SEu平面SDE,DESE=E,.•.AB，平面SDE,

又SZ)u平面SDE,，AB_LS£).

【小问2详解】

以E为坐标原点，EB,ED,ES为苍Xz轴可建立如图所示空间直角坐标系，

则A（-1,0,0）,5（1,0,0）,S（0,0,aC（l,2,0）,AB=（2,0,0）,

设P（x,y,z）,则尸C=（l一x,2—y,—z）,SP=x,y,z-

1

x=—

1-x=2x3

(122退、

2'即小区亍

由PC=2SP得：＜2-y=2y,解得:y=—

3

-z=2（z-6）7

273