2023-2024学年八年级下期末考试数学试卷含答案

2023-2024学年八年级下期末考试数学试卷

选择题（共8小题，每小题3分，共24分）

1.下列代数式中，x能取一切实数的是（）

A.RB.EC.底D.V^T4

2.锐角为45°的两个平行四边形的位置如图所示，若Nl=a,则N2=（）

3.以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是（）

A.2,2,3B.1,V5,3C.1,V3,2D.2,3,4

4.如图，在RtZXABC中，ZBAC=90°,D、E分别是A3、8c的中点，尸在CA延长线上,

ZFDA=ZB,AC=6,AB=8,则四边形AEZW的周长为（）

A.16B.20C.18D.22

A.3B.-2C.-3D.2

7.如图，四边形A8CD的对角线交于点。，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的是

（）

----------------

O

BC

A.AB=CD,AD=BCB.ZABC=AADC,AB//CD

C.OA=OC,OB=ODD.AB//CD,AD^BC

8.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A,

C都在横线上.若线段A3=3,则线段的长是（）

23

A.—B.1C.一D.2

32

二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

9.如图，尸是口ABC。内一点，且S△用B=6,S△加。=2,则阴影部分的面积为

10.已知菱形的一边与两条对角线的夹角之差是18°,则此菱形的各个内角分别

是.

11.如图，已知，平行四边形ABCD中，BELCD于E,BE=AB,ZDAB=60°,ZDAB

的平分线交BC于F,连接EF.则ZEFA的度数等于.

12.如图，在AABC中，D为BC上一点，BC=,AB=3BD,则AD：AC的值

为_______________________.

13.如图，正方形ABC。是由四个全等的直角三角形围成的,若AE=5,BE=12,贝！］EF

的长为

三.解答题（共10小题，共78分）

15.已知久=2—百，求代数式久2+（2+次）x的值.

16.如图，AH是△ABC的高，是△ABC的中线，AH=CD,DE//AC,BE//CD,直线

AH交CO于点交CE于点N.

（1）求证：四边形BDCE是平行四边形；

（2）求/BCD的度数.

17.观察下列等式:

第1个等式：1—卜焉；

4,1X41

131

第2个不等式：---=——；

272X7

131

第3个等式：---=-

3103x10

131

第4个等式：---=-

4134X13

根据你观察到的规律，解决下列问题：

(1)请写出第5个等式：；

(2)请写出第”个等式(用含〃的等式表示)，并证明.

18.如图，过口ABC。对角线AC与8。的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边A3、BC、

CD、D4于点尸、M、0、N.

(1)求证：△P8E取△QZJE；

(2)顺次连接点尸，M,Q,N,求证：四边形PMQN是菱形.

19.在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中由

于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取

水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH,测得CB=3千米，CH=2.4千米，

H8=1.8千米.

（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过

计算加以说明；

（2）求原来的路线AC的长.

一4

20.如图，在平面直角坐标系中，直线/i：y=可式与直线/2：y=Ax+Z?相交于点A,点A的

横坐标为3,直线/2交y轴于点3,且。4=*1。艮

(1)试求直线/2的函数表达式；

(2)若将直线人沿着无轴向左平移3个单位，交y轴于点C,交直线/2于点D试求△

21.如图，正方形ABC。中，BC=12,M是48边的中点，连接。M,点E在。C上，点F

在DM1..

(1)若点尸是。M的中点，DM与AC交于点P,则此时与尸尸的数量关系是？说

明理由.

(2)若NDFE=45°,PF=亚,EF与AC不平行，则此时CE的长度是多少？

22.定义：对于一次函数yi=ax+b、yi=cx+d,我们称函数>=机（ax+b）+nCcx+d）Qma+nc

WO）为函数yi、”的“组合函数”.

（1）若机=3,n=\,试判断函数y=5x+2是否为函数中=无+1、yi=2x-1的“组合函

数”，并说明理由；

（2）设函数yi=x-p-2与yi=-x+3p的图象相交于点P.

①若7”+”>1,点尸在函数yi、y2的''组合函数”图象的上方，求p的取值范围；

②若函数yi、”的“组合函数”图象经过点P.是否存在大小确定的初值，对于

不等于1的任意实数p,都有“组合函数”图象与x轴交点。的位置不变？若存在，请

求出机的值及此时点。的坐标；若不存在，请说明理由.

23.在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形

沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似

轴对称.例如：如图1,先将△ABC以点A为位似中心缩小，得到再将

沿过点A的直线I翻折，得到△AFG,则AABC和△AFG成自位似轴对称.

角形：①△ABC和②△BAC和△BCD；③4c和其中成自位似轴对

称的是;(填写所有符合要求的序号)

(2)如图3,在△A8C中，。是8c的中点，E为△ABC内一点，ZABE=ZC,/BAE

=NCAD,连接DE,求证：DE//AC.

24.请在以下小正方形边长为1的方格纸中作图.

(1)请在方格纸中，以48为边构造等腰直角△A8C,使/AC8=90°；

(2)将△ABC绕着点A逆时针旋转90°,画出对应的△A8C.

2023-2024学年八年级下期末考试数学试卷

参考答案与试题解析

选择题（共8小题，每小题3分，共24分）

1.下列代数式中，x能取一切实数的是（）

A.B.Vx^lC.V3xD.Vx2+4

解：根据二次根式的意义，可知x的取值范围分别是：

A、x>0；

B、

C、120；

D、工取任何实数.

故选：D.

2.锐角为45°的两个平行四边形的位置如图所示，若Nl=a,则N2=（）

A.a-45°B.90°-aC.135°-aD.180°-2a

解：如图，过点。作。石〃A3,则C

・・,平行四边形的锐角为45°,

ZADF=135°,

'JAB//DE,

.*.Zl+ZAZ)E=180°,

■:CF//DE,

：.Z2=ZEDF,

.*.180°-a+Z2=135°,

Z2=a-45°,

故选：A.

3.以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是（）

A.2,2,3B.1,V5,3C.1,V3,2D.2,3,4

解：A.因为22+22=8W32,所以2,2,3不能组成直角三角形，故A选项不符合题意.

B.因为12+（b）2=6彳32,所以1,V5,3不能组成直角三角形，故B选项不符合题

,意*

C.因为12+（遍）2=4=22,所以1,V3,2能组成直角三角形，故。选项符合题意.

D.因为22+32=13W42,所以2,3,4不能组成直角三角形，故。选项不符合题意.

故选：C.

4.如图，在RtZkABC中，NA4c=90°,D、E分别是A3、的中点，尸在C4延长线上，

NFDA=/B,AC=6,AB=8,则四边形AEZm的周长为（）

A.16B.20C.18D.22

解：在RtZXABC中，

VAC=6,AB=8,

：.BC=10f

・・・石是的中点，

：.AE=BE=5,

:・NBAE=NB,

NFDA=NB,

：.ZFDA=ZBAE,

：.DF//AE,

•・・£＞、E分别是A3、5c的中点,

1

：.DE//ACfDE=^AC=3

・・・四边形AEDF是平行四边形

・•・四边形A皮甲的周长=2X(3+5)=16.

故选：A.

5.下列图象不能表示y是1的函数关系的是（）

解：选项A、B、。对于每个自变量x的值，函数y都有唯一确定的值与其对应，都能表

示y是％的函数；

选项。的图象作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象可能会有两个交点，所

以该图象不能表示y是％的函数.

故选：C.

6.点尸(2〃+1,4)与P(1,3Z7-1)关于原点对称，则2〃+8=()

A.3B.-2C.-3D.2

解：・・,点尸(2〃+1,4)与P(1,3b~1)关于原点对称，

・・・2。+1=-1,3b-1=-4,

解得：2a=-2,b=-1,

2a+b=-2-1=-3,

故选：C.

7.如图，四边形ABC。的对角线交于点O,下列不能判定四边形ABC。为平行四边形的是

()

B.ZABC=ZADC,AB//CD

C.OA^OC,OB=ODD.AB//CD,AD=BC

解：A、\"AB=CD,AD=BC,

四边形ABC。是平行四边形，故选项A不符合题意;

B、'：AB//CD,

，ZBAD+ZADC=ZABC+ZBCD=180°,

又；ZABC=AADC,

：.ZBAD=ZBCD,

四边形ABC。是平行四边形，故选项B不符合题意；

C、'：OA^OC,OB=OD,

四边形ABC。是平行四边形，故选项C不符合题意；

D、'JAB//CD,AD=BC,

四边形ABCD是等腰梯形或平行四边形，故选项D符合题意;

故选：D.

8.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A,B,

C都在横线上.若线段AB=3,则线段8c的长是（)

3

C.一D.2

32

解:过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D,交点C所在的平行横线于

E,

^ABADrr3

则—=—,即—=2,

BCDEBC

2

解得：BC=

故选：C.

二.填空题(共6小题，每小题3分，共18分)

9.如图，P是nABC。内一点，且5凄8=6,SAPAD=2,则阴影部分的面积为」^

S^ADC-SAPCD=SAPAB，

贝！IS^PAC=SMCD-SAPCD-S^PAD

=S^PAB-S△出。

=6-2

=4.

故答案为：4.

10.已知菱形的一边与两条对角线的夹角之差是18°,则此菱形的各个内角分别是108。，

72°,108°,72°.

解：设这两个夹角分别为X,»则;暮,解喊=黑

(x—y=18(y=36

•••对应的菱形的内角度数为108°,72°

故菱形的各个角的度数为108°,72°,108°,72°.

故答案为108°,72°,108°,72°.

11.如图，己知，平行四边形A3CD中，BE_LCD于E,BE=AB,ZDAB^60°,ZDAB

的平分线交BC于F,连接EF.则ZEFA的度数等于45°.

：.AD//BC,

：.ZDAF^ZAFB,

：4尸平分//£>46,

1

：.LDAF=Z.BAF=^DAB=30°,

：.ZBAF=ZAFB=30°,

:・AB=BF,

•：BE=AB,

:,BE=BF,

:./BEF=/BFE,

9：BELCD,

：.ZBEC=90°,

,：DAB=60°,

：.ZC=ZDAB=60°,

AZEBF=30°,

1

=^(180°-30°)=75°,

：.ZEFA=ZBFE-ZBFA=45°,

故答案为：45°.

LV3

12.如图，在△ABC中，。为BC上一点，BC=«AB=3BD,则A。：AC的值为一

-3'

BCAB

：.—=—二«r3,

ABDB

•:/B=/B,

：.AABCsADBA,

ACBCr

・•・一=—=V3,

ADAB

：.AD:AC=苧，

故答案为：—.

13.如图，正方形A8C0是由四个全等的直角三角形围成的，若AE=5,BE=12,则E/

的长为7V2

V正方形ABCD是由四个全等的三角形围成的,

：.AE=BG=CF=DH=5,AH=BE=CG=DF='2,Z£)AB=90°,ADAHZABE

：.EG=GF=FH=HF=1,ZABE+ZBAE=90°,

四边形EGFH是菱形,且NAEB=90°

四边形EGEFZ是正方形

：.EF=V2EG=7V2

故答案为：7/

14.函数y=ax+b的图象如图，不等式ax+bW2的解集为x20

解：从图象可知：函数>="+6与y轴的交点坐标是（0,2）,

所以不等式ax+bW2的解集是x20,

故答案为：x^O.

三.解答题(共10小题，共78分)

15.已知x-2-V3,求代数式/+(2+代)式的值.

解：-：x=2-V3,

：.x2+(2+A/3)X

=(2-V3)2+(2+V3)(2-V3)

=4+3—4A/3+4—3

=8—4V3.

16.如图，AH是△ABC的高，CD是△ABC的中线，AH=CD,DE//AC,BE//CD,直线

AH交CD于点交CE于点N.

(1)求证：四边形BOCE是平行四边形；

(2)求/BCD的度数.

(1)证明：\'DE//AC,

：.NCAD=NEDB,

•：BE〃CD,

:.NCDA=NEBD,

：CD是△ABC的中线，

：.AD=BD,

在△AOC和△D8E中，

/.CAD=乙EDB

AD=BD,

./-CDA—乙EBD

：.AADC^ADBE(ASA),

:.CD=BE9

•:BE"CD,

四边形BDCE是平行四边形；

(2)解：取8”的中点G,连接。G,如图所示:

：8是△ABC的中线,

.♦.OG是△ABH的中位线,

1

：.DG=^AHfDG//AH,

•・•AH是△ABC的高，

：.DG±BCf

：.ZCGD=90°,

■:AH=CD,

1

：.DG=^CD,

：.ZDCG=30°,

即N3CD=30°.

17.观察下列等式：

第1个等式：1—确=占;

第2个不等式：|31

7—2X7；

第3个等式：|31

103X10

第4个等式［-卷1

4X13

根据你观察到的规律，解决下列问题:

131

（1）请写出第5个等式：；

—5165x16—

131

（2）请写出第〃个等式一一""-=—""-（n^l,且〃是整数）（用含〃的等

—n3n+ln（3n+l）-------------------

式表示），并证明.

解：⑴第5个等式U1

5X16

工会占位131

故答案为：g--

5X16

131

（2）第n个等式：-(〃21,且"是整数）,

n3TI+1n(3n+l)

证明：左边=悬*3n

n(3n+l)

]

n(3?i+l)'

二.左边=右边,

1

（心1,且〃是整数）.

n3n+ln(3n+l)

故答案为：-（〃21,且〃是整数）.

n3n+ln(3n+l)

18.如图，过口ABC。对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、

CD、D4于点尸、M、Q、N.

（1）求证：

（2）顺次连接点P,M,Q,N,求证：四边形PMQN是菱形.

证明：（1）:四边形ABC。是平行四边形,

；.EB=ED,AB//CD,

；.NEBP=NEDQ,

在APBE和△QDE中，

Z.EBP=Z-EDQ

EB=ED,

、乙BEP=（DEQ

：./\PBE^/\QDE（ASA）；

（2）如图所示：

由（1）得：/^PBE^^QDE,

:.EP=EQ,

同理：4BME%ADNE（ASA）,

：.EM=EN,

四边形PMQN是平行四边形，

•；PQ工MN,

平行四边形PMQN是菱形.

Ml

19.在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AC,由

于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取

水点H(A、H、B在一条直线上)，并新修一条路CH,测得CB=3千米，CH=2A千米，

HB=L8千米.

(1)问是否为从村庄C到河边的最近路？(即问：CH与A8是否垂直？)请通过

计算加以说明；

(2)求原来的路线AC的长.

解：(1)是，

理由是：在△CHB中，

CH2+BH-=(2.4)2+(1.8)2=9

BC?=9

CH2+BH2^BC2

：.CH±AB,

所以S是从村庄C到河边的最近路

(2)设AC=x

在RtZ\AC”中，由已知得AC=x,AH=x-1.8,CH=2A

由勾股定理得：AC2=AH2+CH2

；.7=(x-1.8)2+(2.4)2

解这个方程，得x=2.5,

答：原来的路线AC的长为2.5千米.

20.如图，在平面直角坐标系中，直线/i：y=%与直线/2：、=爪+。相交于点A,点A的

横坐标为3,直线h,交y轴于点B,且OA=^OB.

(1)试求直线/2的函数表达式；

(2)若将直线/1沿着x轴向左平移3个单位，交y轴于点C,交直线/2于点D试求△

BCD的面积.

解：(1)根据题意，点A的横坐标为3,代入直线/i：y=g久中，

得点A的纵坐标为4,即点A(3,4)；

即。1=5,又|。4|=抑5].

即03=10,且点5位于y轴上，

即得8(0,-10)；

将A、8两点坐标代入直线/2中，得4=3%+。；

-10=》；

14

解之得，k=-y,b=-10;

即直线b的解析式为y=争:-10；

(2)根据题意，平移后的直线/1的直线方程为y=+3)久+4；

联立直线/2的直线方程，解得尤=昔，y=考,

r-2148

即点D(―,—);

又点、B(0,-10),如图所示：

故△BCD的面积S=}x彦x14=学.

21.如图，正方形ABC。中，BC=U,M是AB边的中点，连接DW,点E在。C上，点f

在。加上.

(1)若点尸是。M的中点，DM与AC交于点P,则此时PM与PF的数量关系是？说

明理由.

(2)若NDFE=45°,PF=4,EP与AC不平行，则此时CE的长度是多少？

解：（1）:正方形ABC。中，BC=U,

：.AB=BC=12,

是AB边的中点，

1

：.AM=^AB=6,

9：AB//CD,

：.AAPM^ACPD,

tAMPM61

•*CD~PD—12-2’

12

：.PM=^DM,PD=|DM,

•・•点/是QM的中点，

1

：.DF=FM=^DM,

211

：.PF=PD-FD=§3DM-^zDM=o：DM,

1

PM

•••一_Wi___-_乙o，

PF-DM

6

；・PM=2PF；

故答案为：PM=2PF；

（2）当点尸在点尸的上面时,

•・•四边形A5CD是正方形，

：.AD=AB^BC=DC=12,ZDAM=90°,AB//DC,

•・・M为A3边的中点，

：.AM=BM=6,

：.DM=7AM2+Z"=64,

9：AB//CD,

：.ZCDP=ZPMA,/DCP=/MAP,

:.ADCPsAMAP,

DCDP

•・•—_―4_,n

AMMP

2

：.DP=^DM=4V5,

,:PF=V5,

：.DF=3V5,

,/四边形ABCD是正方形，ZDFE=45

：.ZDCP=ZDFE=45°,

,：ZCDP=ZFDE,

:.ADCPs丛DFE,

.DCDF

••—,

DPDE

.,DP・DF4/5x3西匚

••DnEc=-^=12=5

：.CE=n-5=7；

当点方在点尸的下面时，如图，

Dc

AP

/\F

A1Z---------、--\B

M

•・,四边形ABC。是正方形，

：.AD=AB=BC=DC=12,ND4M=90°,AB//CD,

•・・M为AB边的中点，

：.AM=BM=6.

：.DM=y/AM2+AD2=6V5,

'：AB//CD,

：.ZCDP=ZPMA,ZDCP=ZMAP,

:・ADCPsAMAP,

DCDP

•••—_—_乙n,

AMMP

2

：.DP=^DM=4V5,

,:PF=V5,

：.DF=5V5,

:四边形ABCD是正方形，NDFE=45°,

；./DCP=NDFE=45°,

；/CDP=NFDE,

：.ADCPsADFE,

.DCDF

••—,

DPDE

.「厂DP-DF475x57525

-DE=~D^=12=T'

2s11

ACE=12-m=节，

11

故答案为：7或

22.定义：对于一次函数yi=〃x+。、y2=cx+d,我们称函数>=相(ax+b)+n(cx+J)(ma+nc

WO）为函数刃、户的“组合函数数

(1)若加=3,n=l,试判断函数y=5x+2是否为函数yi=x+l、y2=2x-1的“组合函

数”，并说明理由；

(2)设函数yi=x-p-2与y2=-x+3p的图象相交于点P.

①若m+〃>1,点尸在函数刀、”的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；

②若pWl,函数yi、”的“组合函数”图象经过点尸.是否存在大小确定的相值，对于

不等于1的任意实数p,都有“组合函数”图象与x轴交点。的位置不变？若存在，请

求出机的值及此时点。的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)函数y=5x+2是函数yi=x+l、”=2x-1的“组合函数”，理由如下：

V3(x+1)+(2x-1)=3x+3+2x-l=5x+2,

.•.y=5x+2=3(x+1)+(2x-1),

二・函数y=5x+2是函数yi=x+l、y2=2x-1的“组合函数”；

(2)①由「='-葭2得『=2p*l,

(y=—x+3p(y=p—1

:.P(2p+Lp-1),

,.•yi、”的“组合函数”为y=m(x-p-2)+n(-x+3p),

.•・x=2p+l时，y=m(2p+l-p-2)+n(-2/?-l+3p)=(p-1)(m+n),

・・,点尸在函数尹、"的“组合函数”图象的上方，

.,.p-1>(p-1)(m+n),

(p-1)(1-m-n)>0,

Vm+n>l,

1-m-〃V0,

；・p-l<0,

•,•/?<1;

②存在m=