人教版八年级数学上册教案：第十二章 全等三角形

第十二章全等三角形

12.1全等三角形

教材分析

全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，全等三角形既是研究封

闭图形的开端，又是研究相似三角形、四边形的基础，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习.

备课素材

新课导入设讦:

【置疑导入】

1.师生各自展示课前收集到的形状、大小相同的实物图形及自制的三角形模型.

2.教师演示课件(动态展示下面四组图案)，提出问题，学生观察思考、相互交流.

(1)图1中2022年北京一张家口(第24届)冬奥会的会徽的两张照片形状、大小相同吗？放在一起能完全重合吗?

(2)图2中球门框上相对的两个四边形形状、大小相同吗？放在一起能完全重合吗？

(3)图3中同种颜色的三角形形状、大小相同吗？放在一起能完全重合吗？

图1图2图3

【说明与建议】说明：本环节意在说明现实生活中存在着大量形状、大小相同的图形.建议：在选材上选择

贴近学生生活的图片激发学生探究的兴趣，为全等图形的学习做好铺垫.

㈡命题热点)

命题角度1利用全等形的概念进行全等图形的识别

1.下列各选项中的两个图形属于全等形的是(A)

CD

命题角度2利用全等三角形的性质找全等三角形的对应元素

2.如图，已知△ABCgZ^CDE,其中AB=CD,那么下列结论中，不正确的是(C)

A.AC=CEB.ZA=ZECD

C.ZACB=ZECDD.ZB=ZD

命题角度3利用全等三角形的性质解决线段或角的问题

3.如图，△ABCg/\A，B，。，其中/A=37。，3C'=23°,则NB=(C)

A.60°B.100°C.120°D.135°

4.如图△ABCgzYDEC,其中BE=3,AE=4,则DE的长是(D)

A.4B.5C.6D.7

教学设计

课题12.1全等三角形授课人

L了解全等形及全等三角形的概念.

2.理解全等三角形的性质.

素养目标

3.会用数学语言表达全等三角形的性质.

4.会用全等三角形的性质解决实际生活中的问题.

教学重点探究全等三角形的性质.

教学难点理解全等三角形边、角之间的对应关系.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

在前面我们学习了三角形及多边形的有关知识，请同学们回顾一下三角形的回顾旧知，为讲解

回顾

元素有哪些？(三个顶点、三个内角、三条边)新知识做准备.

活动一：创【课堂引入】丰富的图形和问

设情境、导观察下列图形，它们的形状、大小有什么关系？题容易引起学生

入新课的注意，使他们能

illA*很快地投入到学

操作并交流：将一两张纸重叠2E一起，剪出两张三角形，观察它们的特征，你习的情境中同时

有何发现？引出本节要讨论

学生活动：先进，行剪纸操作行号动，然后观察思考，再与同学合作交流.的内容.

讨论交流：同学，们，像上述主工样”一模一样，，的例子，生活还有许多，你能再

举出一些例子吗?

学生活动：分组一时论交流.

教师点拨：像这;种，，一模一样’的两个图形，我们称为全等形，本节课我们就

来学习和研究全1等形的有关矢口识.

【探究新知】

通过【课堂引入】讨论发现：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能

够完全重合的两个图形叫做全等形.

同学们能够根据全等形的定义给全等三角形也下一个定义吗？

师生共同总结：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

活动二：实1.如下图，△ABC与△DEF完全重合（PPT演示重合过程）.

践探究、交AD

流新知------EN-----------、

这时，点A与点D重合.点B与点E重合，我们把这样互相重合的一对点

叫做对应顶点；AB边与DE边重合，这样互相重合的边就叫做对应边；ZA

与ND重合，它们就是对应角.AABC与ADEF全等，我们把它记作

“△ABC^ADEF,\读作“△ABC全等于△DEF”.

注意：记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上.

问题：你能找出其他的对应点、对应边和对应角吗？1.本活动主要是加

点C与点F是对应点；BC边与EF边是对应边，CA边与FD边也是对应边；深学生对全等三

/B与/E是对应角，/C与NF也是对应角.角形概念的理解，

活动二：实

教师引导学生归纳在全等三角形中找对应元素的方法：（1）全等三角形对应角以及动手操作能

践探究、交

所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边.（2）全等三角形对应边力的培养.

流新知

所对的角是对应角；两条对应边所夹的角也是对应角.2.经过观察、操

2.在图1中，把△ABC沿直线BC平移，得到ADEF;在图2中，把△ABC作可以发现，全等

沿直线BC翻折180。，得到ADBC;在图3中，把△ABC绕点A旋转，得到三角形可以经过

△ADE.各图中的两个三角形全等吗？平移、翻折、旋转

A得到，变化前后对

AA4。2A应角相等、对应边

DBC相等.教师要组织

图1图2图3学生观察、归纳，

△ABC^ADEF△ABC^ADBC△ABCADE引导学生归纳全

得出结论：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小等三角形的性质.

都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.

你能说出图2中的对应顶点，对应边、对应角.

学生回答：

对应顶点：点A和点D,点B和点B,点C和点C；

对应角：/A与ND,NABC与NDBC,NACB与NDCB；

对应边：AB与DB,AC与DC,BC与BC.

教师提问：对于图1中，△ABC丝4DEF,那么对应边有什么关系？对应角

呢？

得出结论：

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.

【典型例题】

例1下列四组图形中，与如图图形全等的是(B)

1.运用全等形的定

义及全等三角形

的性质解题，巩固

ABCD

全等的概念.

例2如图，△ABN^AACM,ZB和NC是对应角，AB和AC是对应边，

活动三：开2.计算一条边的

则下列结论中一定成立的是(D)

放训练、体长度或一个角的

A

现应用zdK度数时，可以借助

于三角形全等的

BMNC

性质将其转化为

A.NBAM=NMANB.AM=CN

它的对应边或对

C.ZBAM=ZBD.AM=AN

应角来计算.

【变式训练】

1.如图所示，两个三角形全等，则/a等于(D)

AA

忌。72,/_______必

h。

A.72°B.60°C.58°D.50°

2.一个三角形的三边长分别为2,5,x,另一个三角形的三边长分别为y,2,

6,若这两个三角形全等，则x+y=(A)

A.11B.7C.8D.13

师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和

帮助，最后由教师完成解答.

【课堂检测】

1.下列关于全等三角形的说法，不正确的是(A)

A.形状相同的三角形是全等三角形

B.全等三角形的形状相同

C.全等三角形的大小相等

D.全等三角形的对应边相等

2.如图，若AOADgZkOBC,ZCOD=65°,ZC=20°,则/OAD的度数

为(D)

针对本课时的主

A

要问题，从多个角

活动四：课度、分层次进行检

堂检测测,达到学有所

A.65°B.75°C.85°D.95°成、了解课堂学习

3.如图，4ACB之ZXADB,4ACB的周长为20,AB=8,则AD+BD=12.效果的目的.

C

D

4.如图，在图中的两个三角形是全等三角形，其中点A和点D、点B和E

是对应点.

(1)用符号表示两个三角形全等，并写出图中相等的线段和角；

(2)写出图中一组平行的线段，并说明理由.

B

E

解：(1)AABC^ADEF,AB=DE,BC=EF,AC=DF,AF=DC,ZA=ZD,

NB=NE,NACB=NDFE,NBCD=NEFA.

(2)VAABC^ADEF,

・・・NA=ND.，AB〃DE.

师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.

1.课堂小结：小结环节的设置

(1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？能够让学生养成

课堂小结(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？自主归纳课堂重

2.布置作业：点的习惯，提高学

教材第33页习题12.1第1,2,3,4题.生的学习能力.

12.1全等三角形

1.全等三角形的定义

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.提纲挈领，重点突

板书设计

2.全等三角形的性质出.

全等三角形的对应边相等，对应角相等.

反思，更进一步提

教学反思

升.

经典导学设计

详见电子资源

12.2三角形全等的判定

第1课时用“SSS”判定三角形全等

教材分析

本节课是三角形全等判定的第一课，主要讲的是如何利用“边边边”的条件证明两个三角形全等.本节课的内容

是在学习了全等三角形的概念、全等三角形的性质后展开的，是证明两个三角形全等的重要方法之一.全等三角形

是两个三角形最简单、最常见的关系，它不仅是学习后面知识的基础，而且也是证明线段相等、角相等的重要依据,

学生只有很好的掌握了全等三角形的判定方法，并且能灵活地运用它，才能为以后学习四边形、圆等知识打下良好

的基础.

备课素材

，新课导入设计:

【置疑导入】

探究一：请各位同学用课前准备好的长度分别为3cm,4cm,6cm的细棒拼成三角形（如图），和邻桌同学比较,

探究二：先任意画出一个4ABC,再画出一个△AB，。，使A，B，=AB,B，C=BC,人，。=人（2.把画好的仆A,B,C,

剪下，放到△ABC上，它们全等吗？

【说明与建议】说明：通过学生拼接、画图、观察、比较、交流等，初步探索出两个三角形全等的条件，同

时增强学生的动手操作能力.建议：本环节要注重学生的操作过程，让学生体会利用“SSS”判定三角形全等，为后

面进一步探究做好铺垫.教师鼓励学生大胆猜测分析，尽量让学生自主、充分地探究.

㈡命题热点）

命题角度1根据“SSS”补充条件判定全等三角形

1.如图所示，已知AB=CD,则再添加下列哪一个条件，可以判定△ABC之△DCB（C）

A.ZA=ZDB.ZABC=ZACB

C.AC=BDD.BC=CD

命题角度2直接利用三角形全等的判定方法——SSS证明两个三角形全等

2.如图，AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证：△ABC丝/kDEF.

A,D

BEC.

证明：：BE=CF,；.BE+EC=CF+EC,即BC=EF.

AB=DE,

在AABC和△DEF中，＜BC=EF,

、AC=DF,

AABC^ADEF(SSS).

命题角度3通过添加辅助线利用SSS证明两个三角形全等

3.如图，已知AC,BD相交于点O,AD=BC,AC=BD.求证：/A=/B.

证明：如图，连接CD,

AD=BC,

在^ADC和4BCD中，＜AC=BD,

、DC=CD,

AADC^ABCD(SSS)..*.ZA=ZB.

教学设计

课题12.2第1课时用“SSS”判定三角形全等授课人

1.掌握“边边边”的判定方法内容.

2.能初步应用“SSS”条件判定两个三角形全等.

素养目标

3.会作一个角等于己知角.

4.会用归纳推理的数学思维探究三角形全等的条件.

教学重点“边边边”判定方法的使用.

教学难点探索三角形全等的条件.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

回顾通过前面的学习，我们知道完全重合的两个三角形全等.回顾旧知，为讲解

已知△ABC^ADEF,你能得到哪些结论？新知识做铺垫.

教师引导学生回答：对应边相等，对应角相等.

【课堂引入】

如图，己知△ABC之△ABC，，你能找出其中相等的边与角吗？

AA'

提出问题，明确探

活动一：创设情

究方向，激发探究

境、导入新课图中相等的边：AB=AE,BC=BC,AC=A'C'；

欲望.

相等的角：/A=/A1/B=NB-/C=NC.

问题：通过上例我们知道符合三个角、三条边均对应相等的两个三角形

是全等三角形.那么是否一定需要六个条件才能判定两个三角形全等

呢？满足上述六个条件中的一部分能否保证两个三角形全等呢？

【探究新知】

问题1：

(1)AABC和^AB。满足上述六个条件中的一个有几种情况？满足上述

六个条件中的两个有几种情况？

(2)先任意画一个△ABC,再画△A,B,C,,使4ABC与^A,B,C,满足上述1.通过观察和试验，

六个条件中的一个或两个，你画的△ABC与△ABC，一定全等吗？试一培养学生合作交流

试.的意识.

教师引导学生分别从“角，，和“边，，的角度分析一个条件、两个条件各有几种2.教师明确已知三

情况.边画三角形的方

活动二：实践探

教师引导学生共同完成一个条件的情况的探究，然后指导学生分组操作.法，明确判定三角

究、交流新知

得出结论：只给出一个或两个条件时，不能保证所画的两个三角形一定形全等需要三个条

全等.件.学生作图并比

问题2：较得出结论：三边

(1)满足上述条件中的三个条件，能保证△ABC与△全等吗？我们分别相等的两个三

可以分情况讨论有哪几种情况？角形全等.

教师先提问，引导学生回答出满足三个条件的四种情况，教师再明确探

究任务，指导学生进行画图探究，获取“SSS”条件.

(2)我们先探究两个三角形三边分别对应相等的这种情况：先任意画一个

△ABC,再画△ABC，，使AB=A，B，，BC=B,C,,CA=C,A,.

(3)你能画出满足上述条件的△吗？应该怎样画呢？

在画图中，教师可以先让学生试着画图，再让学生发现存在的问题，最

后给出正确的画法.

(4)把画好的△ABC，剪下，放到△ABC上，它们能重合吗？

教师要关注学生在阐述结论时语言是不是规范.

(5)上面的探究反映了什么规律？

师生活动：在思考、实践的基础上可以归纳出判定两个三角形全等的方

法：三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”).

【典型例题】

例1(教材第36页例1)在如图所示的三角形钢架中，AB=AC,AD是

连接点A与BC中点D的支架.求证：△ABD^AACD.

A

BBC

证明：：D是BC的中点，

,>.BD=CD.1.培养学生逻辑思

在4ABD和4ACD中，维能力，学会用

“SSS”条件判断三

fAB=AC,

<BD=CD,角形全等.

活动三：开放训[AD=AD,

2.规范尺规作图的

练、体现应用

AABD^AACD(SSS).步骤，体会其中蕴

例2已知：NAOB.求作：ZA'O'B',使NAQE=NAOB.含的数学知识，加

44-

深对尺规作图方法

与原理的理解.

作法：(1)如图，以点0为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,OB于

点C,D.

(2)画一条射线O7V,以点O,为圆心，OC长为半径画弧，交O7V于点CI

(3)以点C，为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相较于点D。

(4)过点D，画射线OB,则ZA'O'B'=ZAOB.

【变式训练】

如图，已知AB=CD,DA=BC.求证：ZA=ZC.

AKD

证明：连接BD,在AABD和ACDB中,

AB=CD,

BD=DB,

lDA=BC,

.•.△ABD^ACDB(SSS).

；.NA=NC.

师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指

导和帮助，最后由教师完成解答.

【课堂检测】

1.如图，在△ABC中，AB=AC,EB=EC,则由“SSS”可以直接判定(B)

A.AABD^AACDB.△ABE四△ACE

针对本课时的主要

C.ABDE^ACDED.以上答案都不对

问题，从多个角度、

2.如图，已知AB=AD,CB=CD,ZB=30°,ZBAD=46°,则NACD

活动四：课堂检分层次进行检测，

的度数是(C)

测达到学有所成、了

解课堂学习效果的

目的.

A.120°B.125°C.127°D.104°

3.如图,已知OA=OB,AC=BC,Nl=30。，则NACB的度数为飨.

4.如图,若AB=CD,AE=CF,那么用“SSS”判定ABE之ZXCDF需要

添加的一个条件可以是答案不唯一，如BE=DF或BF=DE.

三

CD

5.如图，已知AB=AC,BE=CE,BD=CD.

(1)图中有几对全等三角形？请分别写出来；

(2)请选择一对全等三角形并进行证明.

B

C

解.(1)一共有3对全等三角形，AABEgZXACE,AABD^AACD,

△BED^ACED.

⑵选^ABE^AACE,

证明：在△ABE和△ACE中，

fAB=AC,

<BE=CE,

[AE=AE,

AABE^AACE(SSS).

师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.

1.课堂小结：

小结环节的设置能

(1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？

够让学生养成自主

(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？

课堂小结归纳课堂重点的习

2.布置作业：

惯，提高学生的学

教材第37页练习第1,2题.

习能力.

12.2三角形全等的判定

第1课时用“SSS”判定三角形全等

提纲挈领，重点突

板书设计一、回顾复习

出.

二、探究新知

三、典型例题

四、课堂检测

五、课堂小结

反思，更进一步提

教学反思

升.

经典导学设计

详见电子资源

第2课时用“SAS”判定三角形全等

教材分析

本节课是探索三角形全等条件的第二课时，是在学习了全等三角形的判定1——SSS之后展开的.它不仅是下

节课探索三角形全等其它条件的基础，还是证明线段相等、角相等的重要依据，同时也为今后探索直角三角形全等

的条件以及三角形相似的条件提供很好的模式和方法.因此，本节课的知识具有承前启后的作用，占有相当重要的

地位.

备课素材

e新课目入限E

【情景导入】

小名作业本上画的三角形的一边被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的三角形，他该怎么办呢？请你帮

助小名想一个办法，并说明你的理由.

问题：三角形有六个要素，我们从这个残损的图形中能得到几个呢？（两边及其夹角）

£

引导学生观察分析，继而引导学生分析“SAS”是否能确定唯一的三角形.

【说明与建议】说明：通过残损图形引起学生的兴趣,使学生无法确定三角形的三边,为学习新课做好铺垫.建

议：尽量让学生充分探究“$5《“公人$”，公5人”是否能确定唯一的三角形，注意把握好度，探究出“SSA”不能确定唯一

的三角形即可，判定方法“AAS”“ASA”可让学生课后思考.

同命题热点〕

B

C,

命题角度1依据“SAS”补充判定两个三角形全等的条件

1.如图，已知AD平分NBAC,要使AABD丝Z\ACD,根据“SAS”需添加条件AB=AC.

命题角度2利用“SAS”及全等三角形的性质进行证明

2.如图，C是AB的中点，AE=BD,NA=/B.求证：ZE=ZD.

证明：：C是AB的中点，，AC=BC.

在4ACE和小BCD中，

AE=BD,

NA=NB,

、AC=BC,

・•・AACE^ABCD(SAS).

・・・NE=ND.

命题角度3利用“SAS”及全等三角形的性质进行计算

3.如图，点A,B,C,D在一条直线上，AE〃DF,AE=DF,AB=CD.

(1)求证：AAEC丝ZkDFB.

(2)若NA=40。，ZECD=145°,求NF的度数.

解：(1)证明：・・・AE〃DF,・・.NA=ND.

VAB=CD,・・・AC=DB.

在^AEC和aDFB中，

AE=DF,

<ZA=ZD,

、AC=DB,

:•△AEC丝△DFB(SAS).

(2)VZECD=145°,ZA=40°.

JNE=ZECD-NA=105°.

VAAEC^ADFB,

・・・NF=NE=105。.

国数学文化拓展阅读

1979年，拿破仑发动政变建立了拿破仑帝国，他不仅是一位将军，同时也是一位数学天才.在一次战斗中，他

指挥的部队与敌军在莱茵河两岸形成对峙，只见他站在岸边，面向敌军方向站好，调整好自己的帽子，使视线通过

帽檐正好落在敌军的阵地上，然后他便测量出敌军阵地的距离，命令炮火攻击，炮弹像长了眼睛似的落在敌人的阵

地上，打破了僵局，赢得了胜利.你知道拿破仑测出距敌军阵地距离的道理吗？

教学设计

课题12.2第2课时用“SAS”判定三角形全等授课人

素养目标1.掌握“边角边”的判定方法.

2.能初步应用“SAS”条件判定两个三角形全等.

3.会用“SAS”判定三角形全等解决生活实际中的问题.

教学重点“边角边”判定方法的使用.

教学难点探索三角形全等的条件.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

1.什么是全等三角形？

回顾旧知，为讲解

回顾2.全等三角形的性质有哪些？

新知识做铺垫.

3.“SSS”的具体内容是什么?

【课堂引入】

小刚到小名家去玩，发现小名正拿着一只玻璃容器苦思冥想，原来他想测

量一下它的内径是多少，但是无法将刻度尺伸进去直接测量.小刚帮他想

使学生经历将实

出一个办法：把两根长度相等的小木条AB,CD的中点连在一起，木条

际问题转化为数

活动一：创设情可以绕中点0自由转动，如下图所示，这样只要测量A,C之间的距离，

学问题的建模过

境、导入新课就可以知道玻璃容器的内径.你想知道为什么吗？

程，激发学生学习

A一—一一C

新知的强烈欲望.

内

比——半

【探究新知】1.进一步学习三

1.已知△ABC,画一个△ABC，，使AB=AE,ZB=ZB\BC=B,C,.角形的画法，从实

教师画一个△ABC.践中体会三角形

活动二：实践探先让学生按要求讨论画法，再给出正确的画法，全等的条件.

究、交流新知操作：2.使学生认识到

(1)把画好的三角形剪下和原三角形重叠，观察能重合在一起吗？“边边角”不能判

(2)上面的探究说明什么规律？定两个三角形全

总结：判定两个三角形全等的方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三等，只有两边和它

角形全等，简写成“边角边”或“SAS