人教版八年级数学下册单元测试卷第18章平行四边形

第18章平行四边形（培优篇）

一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8,DB=6,DHDAB于H,则DH等于（

C.5D.4

55

2.在口ABC/中，BC=2AB,COLAB于点。，点E为A/的中点，若440£=50。，贝（J/3

的度数是（)

A.50°B.60°C.70°D.80°

3.如图，在口ABC。中，ZABC./BCD的平分线5£、C尸分别与4。相交于点及F,BE

与CF相交于点G,若，AB=6,BC=W,C/=4,贝I」BE的长为（）

A.4x/2B.8C.8拒D.10

4.如图，在平行四边形ABC。中，过点A作AG_LBC于G，作A"CD于,且NGA”=45。,

AG=2,AH=3,则平行四边形的面积是（）

A.6石B.1272C.6D.12

5.如图，直线PQ是矩形ABCD的一条对称轴，点E在AB边上，将DADE沿DE折叠,

点A恰好落在CE与PQ的交点F处，若SADEC=4褥，则AD的长为（）

C.4/D.2后

6.如图，已知“BC中，UACB=90°,AC=BC=2,将直角边/C绕/点逆时针旋转至工。,

连接6。，E为2。的中点，连接C瓦则CE的最大值为（）.

CB

A.75B.V2+1C.&+1D.6+1

22

7.矩形NBC。与ECPG如图放置，点B,C,尸共线，点C,E,。共线，连接NG,取/G

的中点H,连接若AB=CF=4,BC=CE=2,贝!］即=()

A.y/2B.2C.百D.石

8.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,恰好得到菱形AECF,若AB=3,则菱形AECF

的面积为()

9.如图，点0(0,0),A(0,1)是正方形OAAjB的两个顶点，以OA1对角线为边作正

方形OA1A2B],再以正方形的对角线OA?作正方形OA2A3B2，…，依此规律，则点Az。"

的坐标是()

A.(0,21008)B.(21008,21008)C.(21009,0)D.(21009,—21009)

10.如图，正方形ABCD的边长为6,点E、F分别在AB,AD上,若CE=3",且□ECF=45。,

则CF长为（）

A.2MB.375C.D.

33

11.如图，在矩形ABCD中，点。为对角线的交点，点E为CD上一点，沿BE折叠，点C

恰好与点O重合,点G为BD上的一动点，则EG+CG的最小值m与BC的数量关系是（）

A.>/3m=>j5BCB.m=72BCC.>/3m=77BCD.2m=s/7BC

12.如图，在正方形ABCD和正方形。斯G中，点G在CD上，DE=2,将正方形。EFG绕

点。顺时针旋转60。,得到正方形DE尸G。此时点G，在ZC上，连接C9,则CE'+CG=（）

A.y/2+y/6B.^3+1C.石+石D.y/3+46

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

13.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AB=0B,点E、点F分

别是0A、0D的中点，连接EF,DCEFM50,EM^BC于点M,EM交BD于点N,FN=>/io,

则线段BC的长为.

14.如图，在用中，ZACB^90°,斜边过点C作以48为边作

菱形A8EF，若NF=30。，则放AABC的面积为.

15.在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是平行四边形

ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE,ZD=102°,贝UNBAC的大小是.

16.如图，在四边形ABCD中，ADDBC,AD=4,BC=12,点E是BC的中点.点P、Q分

别是边AD、BC上的两点，其中点P以每秒1个单位长度的速度从点A运动到点D后再返

回点A,同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发向点B运动.当其中一点到达终

点时停止运动.当运动时间t为秒时，以点A、P,Q,E为顶点的四边形是平行四边

形.

AD

B

EQ

17.如图，□MAN=90。，点C在边AM上，AC=4,点B为边AN上一动点，连接BC,AA-BC

与△ABC关于BC所在直线对称，点D,E分别为AC,BC的中点，连接DE并延长交AB

所在直线于点F,连接A，E.当AA，EF为直角三角形时，AB的长为.

18.如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AMBN,连接AC交BN

于点E,连接DE交AM于点F,连接CF,若正方形的边长为6,则线段CF的最小值是.

三、解答题(本大题共6小题，共60分)

19.(8分)如图，在口ABCD中，分别以边BC,CD作等腰DBCF,DCDE,使BC=BF,

CD=DE,DCBF=DCDE,连接AF,AE.

(1)求证：DABFDDEDA；

(2)延长AB与CF相交于G,若AFDAE,求证BF1BC.

20.(8分)如图1,在48CD中，口。=45。，E为8c上一点，连接NC,AE,

(1)若AB=2&,AE=4,求BE的长；

(2)如图2,过C作CMU4。于M,F为AE上一点,CA=CF,Si.UACF=UBAE,求证:

AF+AB=QAM.

21.（10分）在口4BC中，点。、E分别在边/C、8c上（不与点4B、C重合），点尸是

直线上的任意一点（不与点48重合）.设口产£%=力DPEB=y,JDPE=m,HC=n.

（1）如图，当点P在线段上运动，且”=90。时

口若PDQBC,PEDAC,则加=；

口若加=50。，求x+y的值.

22.（10分）如图，矩形A8C。中，点E在边CO上，将ABCE沿3E折叠，点C落在A。边

上的点尸处，过点尸作PG/CD交BE于点G,连接CG.

（1）求证：四边形CEFG是菱形；

（2）若AB=6,AO=10,求四边形CEFG的面积.

23.（12分）（1）如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，DEAF=45O,求

证：EF=BE+FD;

（2）如图2,四边形ABCD中，口：6人口¥90。，AB=AD,□B+DD=180°,点E、F分别在边

BC、CD上，则当DEAF与DBAD满足什么关系时，仍有EF=BE+FD,说明理由.

(3)如图3,四边形ABCD中，EIBADT^O。,AB=AD,AC平分DBCD,AEE1BC于E,AFEICD

交CD延长线于F,若BC=8,CD=3,则CE=.（不需证明）

24.（12分）（1）【发现证明】

如图1,在正方形A8CD中，点、E,尸分别是BC,CD边上的动点，且NE4尸=45。，求证：

EP=DF+8E.小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90。至AAOG,使A8与A。重合

时能够证明，请你给出证明过程.

（2）【类比引申】

□如图2,在正方形ABCD中，如果点E,尸分别是,DC延长线上的动点,且ZEAF=45。，

则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出E7LBE,。尸之间的数量关系（不

要求证明）

□如图3,如果点E,歹分别是BC,CD延长线上的动点，S.ZEAF=45°,则EF,BE>DF

之间的数量关系是（不要求证明）

（3）【联想拓展】如图1,若正方形ABCD的边长为6,AE=30求A尸的长.

参考答案

1.A

【分析】根据菱形性质求出AO=4,OB=3,□AOB=90°,根据勾股定理求出AB,再根据

菱形的面积公式求出即可.

【详解】

□四边形ABCD是菱形，

口AO=OC,BO=OD,ACQBD,

□AC=8,DB=6,

口AO=4,0B=3,口AOB=90。，

由勾股定理得：AB=,32+42=5,

IS菱形BC5]XACXBD=ABxDE,

lx8x6=5xJDH,

2

24

□DH=y,

故选：A.

【点拨】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形ABCD

=1><ACxBD=ABxDH是解此题的关键.

2

2.D

【分析】连结CE,并延长CE,交氏4的延长线于点N,根据已知条件和平行四边形的性质

可证明所以NE=CE,NA=CF,再由已知条件于。，NADE=

50°,即可求出的度数.

【详解】

解：连结CE,并延长CE,交由的延长线于点N,

N

・・・四边形ABCF是平行四边形,

：.AB//CF,AB=CF,

：.ZNAE=ZF,

丁点E是的4尸中点,

:.AE=FE,

在△儿4£和4。庄1中，

"/NAE=/F

<AE=FE,

ZAEN=ZFEC

：.ANAE^/\CFE(ASA)f

：.NE=CE,NA=CF,

\9AB=CF,

：.NA=AB,即BN=24B,

,;BC=2AB,

:・BC=BN,ZN=ZNCBf

•：CDL4B于D,即NNZ)C=90°且NE=CE,

：.DE=LNC=NE,

2

:・/N=/NDE=5C=ZNCB,

：.ZB=SO°.

故选：D.

【点拨】本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作

出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答.

3.C

【分析】根据平行四边形两组对边分别平行可得□4508=180。，再根据角平分线的性

质可得口砂。+□/。5=90。，可得BEUCF；过/作□/C,交BC于M,交BE于O,证

明口45£是等腰三角形，进而得到50=50,再利用勾股定理计算出£。的长，进而可得答

案.

【详解】

解：□四边形45CQ是平行四边形，

UABUCD,

□nABC+UBCD=\^°,

UUABC.QBCD的平分线BE、CF分别与相交于点后F,

□□EBC+□尸C5=JDABC+i-\JDCB=90°,

22

DEBDFC,

□□尸G5=900.

过4作⑷/□产C,交BC于M,交BE于O,如图所示：

UAMUFC,

□\JAOB=UFGB=90°,

□BE平分口/BC,

\J\JABE=nEBC,

HADDBC,

\J\JAEB=UCBE,

\J\JABE=DAEB,

口AB=AE=6,

口4ODBE,

UBO=EO,

在口4。8和：WO8中，

ZAEO=AMBO

<EO=BO,

NAOE=/MOB

UUAOEUDMOB(ASA),

UAO^MO,

HAFUCM,AMDFC,

□四边形4MC户是平行四边形，

\JAM=FC=4,

口40=2,

□E0=y]AE2-AO2=/62-22=4s/2，

□BE=8正.

故选：C.

【点拨】此题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判

定和性质以及勾股定理；证明49=MO,8O=EO是解决问题的关键.

4.A

【分析】设NB=x,先根据平行四边形的性质可得ND=/B=x,ZBAD=180°-x,AB=CD,

再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得x=45。，然后根据等腰直角三角形的判定

与性质、勾股定理可得A2=2近，从而可得CD=2石，最后利用平行四边形的面积公式即

可得.

【详解】

设N3=x,

四边形ABCD是平行四边形，

:.ZD=ZB=x,/BAD=180°-ZB=l80°-x,AB=CD,

•/AG1BC,AH1CD,

:.ZBAG=900-ZB=90°-x,ADAH=90°-ZD=90°-xf

又・・•ABAG+ZGAH+ZDAH=ABAD=180°-x,ZGAH=45°,

/.90°-x+45°+90°-x=180°-%,

解得％=45。,

即4=45。，

.•.RSABG是等腰直角三角形，

BG=AG=2,AB=4AG?；BG2=2五，

:.CD=,

・•・平行四边形ABCD的面积是4".。=3*2>/1=6点，

故选：A.

【点拨】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的两锐角互余、等腰直角三角形的判定

与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键.

5.D

【分析】根据矩形的性质和折叠的性质可得□ADE=DEDF=DCDF=30。，再根据三角形面

积公式可求AD的长.

【详解】

解：□四边形ABCD是矩形，

□□A=90°,

□直线PQ是矩形ABCD的一条对称轴，

JJDGF=90°,CDJPQ,DG=1AD,

2

由折叠得□EFD=：1A=9O。，DF=AD,口EDF=dADE,

□□CFD=90。，

□EF=CF,

□□EDF=DCDF,

□DADE=nEDF=□CDF=30°,

[EF=3DF,

3

□EC=—AD,

3

IS^EC—4出，

□ADx到AD+2=4",

3

解得AD=26.

故选：D.

【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形

状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.解决本题的关键是求出

□ADE=OEDF=DCDF=30°.

6.B

【分析】取48的中点连接CM,EM,当CE=CA什W时，CE的值最大，根据旋转的

性质得到NC=/C=2,由三角形的中位线的性质得到根据勾股定理得到

AB=2g,即可得到结论.

【详解】

取的中点连接CM,EM,.•.当CE=CAaEM时，CE的值最大.

•；将直角边/C绕/点逆时针旋转至DAC'=AC=2.

JE^jBC的中点，口放=工/。=1.

2

□□/C3=90。，/C=8C=2,MB=28,UCM=^AB=j2,QCE=CM+EM=+1

故选B.

【点拨】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出

辅助线是解题的关键.

7.A

【分析】延长GE交AB于点R,连接AE,设AG交DE于点M,过点E作ENOAG于N,

先计算出RG=6,DARG=90°,AR=2,根据勾股定理求出AG=2碗，得至UHG=而，利

用S=-EGAR=-AGEN,求出硒=口但，即可利用勾股定理求出NG、EH.

AEG225

【详解】

如图，延长GE交AB于点R,连接AE,设AG交DE于点M,过点E作ENDAG于N,

□矩形N8C。与ECFG如图放置，点8,C,尸共线，点C,E,。共线，

□RG=BF=BC+CF=2+4=6,□ARG=90°,AR=AR-CE=4-2=2,

AG=xlAR2+RG2=J2z+62=2>/10，

□H是AG中点，

□HG=M，

_S=-EGAR=-AGEN,

JEG22

□4x2=2V10EAf,

一硒子

在RtDENG中，NGZEGZ-ENZ

5

口NH=NG-HG=^~

5

EH=>JNH2+EN2=>/2

故选：A.

B

【点拨】此题考查矩形的性质，勾股定理，线段中点的性质，三角形面积法求线段长度，熟

记矩形的性质及熟练运用勾股定理是解题的关键.

8.C

【分析】根据菱形AECF,^DF^nECO,再利用□ECO―ECB,可通过折叠的性质，结

合直角三角形勾股定理求得BC的长，则利用菱形的面积公式即可求解.

【详解】

解：口四边形AECF是菱形，AB=3,

□假设BE=x,贝1|AE=3-x,CE=3-x,

□四边形AECF是菱形，

□□FCO=DECO,

□□ECO=DECB,

□OECO=DECB=QFCO=30°,

2BE=CE,

□CE=2x,

□2x=3-x,

解得：x=l,

□CE=2,利用勾股定理得出：

BC2+BE2=EC2,

BC=,《EC2-BE2=5/22-12=6，

XDAE=AB-BE=3-1=2,

则菱形的面积是：AEBC=26.

故选C.

【点拨】本题考查折叠问题以及勾股定理.解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于

轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等.

9.B

【分析】根据正方形性质和平面直角坐标系特点，观察点的坐标规律即可解答.

【详解】

解：观察,发现：4（0,1）、

4（1,1）4（2,0）4（2,—2）4（0,-4）4（-4,-4）4（-8,0）4（-8,8）4（0,16）4（16,16）…，

\2A^i+l（2w,24n）（«为自然数）；

□2017=252x8+1,

□420/7（2252*4,2252*4）,即点^^^＞（21008,21008）.

故选B.

【点拨】本题考查了正方形性质和平面直角坐标系特点，属于规律型题目，熟练掌握正方形

的性质、找准规律是解题的关键.

10.A

【分析】如图，延长FD到G,使DG=BE,连接CG、EF,ffiDGCFDDECF,得到GF=EF,

再利用勾股定理计算即可.

【详解】

解：如图，延长FD到G,使DG=BE,连接CG、EF

口四边形ABCD为正方形，在4BCE与ADCG中，DCB=CD,nCBE=OCDG,BE=DG,

□OBCEnnDCG（SAS）

□CG=CE,□DCG=DBCE

□□GCF=45°

在AGCF与AECF中

□GC=EC,□GCF=DECF,CF=CF

□□GCFDQECF(SAS)

□GF=EF

□CE=3、«,CB=6

[BE=yjcE2-CB2=7(375)2-62=3

□AE=3,设AF=x,贝ijDF=6-x,GF=3+(6-x)=9-x

□EF=y]AE2+x2=19+x2

□(9一X)2=9+X2

□x=4,即AF=4

□GF=5

□DF=2

[CF=Jc£>2+£>.2=正+22=2、庇

故选A.

【点拨】本题考查1.全等三角形的判定与性质；2.勾股定理；3.正方形的性质，作出辅

助线构造全等三角形是解题的关键.

11.C

【分析】AOBC是等边三角形，延长E。交48于K,连接CK交于G,连接GE,由题

意E、K关于8。对称，推出GE+GC=GK+GC,当K、G、C共线时，GE+GC的值最

小，最小值为KC的长.

【详解】

如图，由题意ZBOE=ZBCE=90。，OB=BC=OC,

AOBC是等边三角形，

延长EO交AB于K,连接CK交20于G,连接GE,

由题意E、K关于80对称，

GE+GC=GK+GC,

:.当K、G、C共线时，GE+GC的值最小，最小值为KC的长,

设BC—a,CK=m,

在RfABOK中，VZKBO=3Q°,OB=a,

BK=OB+cos30°=a,

3

在及ACBK中，BC2+BK2=CK2,

(243Y

。2+I---3--aJ=mi,

3m2=7a2,

'Jim='j^a-

故选：C.

【点拨】本题考查轴对称-最短问题，翻折变换，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添

加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型

12.A

【详解】

试题解析：作G7DCD于/,G7?OBC于R,ETfQ&C交8C的延长线于连接应三则四

边形RC/G，是正方形.

□□Z)GP=UGR=90°,□□DG'A□夫G'F',在口67八和□G'RF中，口6'£>=G'F,GDG'I=URG'F',

G'I=G'R,WG'IDQQG'RF,WG'ID=HG'RF'=90°,□点尸在线段3c上，在氏口£/〃中，

0E'F'=2,口£发"=30°,UE'H=^-E'F'=1,F'H=J3,易证DAG尸□□HF®,URF'=E'H,

2

RG'RC=F'H,QCH=RF'=E'H,UCE=6,nRG'=HF'=^,□CG'=&RG'=>/?,UCE'+CG'=

壶76.

故选A.

13.4五

【分析】设EF=x,根据三角形的中位线定理表示AD=2x,ADDEF,可得□CAD="EF=45。，

证明AEMC是等腰直角三角形，则E1CEM=45。，证明△ENFETOMNB,则EN=MN=Lx,

2

BN=FN=VW,最后利用勾股定理计算x的值，可得BC的长.

【详解】

设EF=x,

□点E、点F分别是OA、OD的中点，

□EF>AOAD的中位线，

□AD=2x,ADDEF,

□□CAD=nCEF=45°,

□四边形ABCD是平行四边形,

□ADDBC,AD=BC=2x,

□□ACB=QCAD=45°,

□EMDBC,

□□EMC=90°,

□□EMC是等腰直角三角形，

□□CEM=45°,

连接BE,

□AB=OB,AE=OE

□BEDAO

□□BEM=45°,

□BM=EM=MC=x,

□BM=FE,

易得2kENF口口MNB,

□EN=MN=：x,BN=FN=>/w,

R3BNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2,

□()2=X2+(-X)2,

2’

x=2后或-2后(舍)，

□BC=2x=4折.

故答案为46.

【点拨】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定

与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题.

14.L

2

【分析】如下图，先利用直角三角形中30。角的性质求出HE的长度，然后利用平行线间的

距离处处相等，可得CG的长度，即可求出直角三角形ABC面积.

【详解】

如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB,垂足为点H、G,

□根据题意四边形ABEF为菱形，

□AB=BE=72，

又□□ABE=30°

□在RTdBHE中，EH=也，

2

根据题意，ABOCF,

根据平行线间的距离处处相等，

□HE=CG=—,

2

□虫45。的面积为、&正」.

222

【点拨】本题的辅助线是解答本题的关键，通过辅助线，利用直角三角形中的30。角所对直

角边是斜边一半的性质，求出HE,再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到HE=CG,

最终求出直角三角形面积.

15.26°.

【分析】设DBACnx,然后结合平行四边形的性质和已知条件用x表示出DEBA、DBEC、

□BCE,HBEC、口DCA、ODCB,最后根据两直线平行同旁内角互补，列方程求出x即

可.

【详解】

解：设DBACux

□平行四边形A8CD的对角线

□DC//AB,AD=BC,AD//BC

□ODCA=DBAC=x

□AE=BE

□□EBA=QBAC=x

□□BEC=2x

QAD^AE=BE

□BE=BC

□□BCE=DBEC=2x

□□DCB=OBCE+DDCA=3x

1AD//BC,ND=102°

□□D+DDCB=180°,即102°+3x=180°,解得x=26°.

故答案为26°.

【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质，运用平行四边形结

合已知条件判定等腰三角形和掌握方程思想是解答本题的关键.

16.2或上14.

3

【分析】分别从当Q运动到E和B之间与当Q运动到E和C之间去分析，根据平行四边形

的性质，可得方程，继而可求得答案.

【详解】

解：:E是BC的中点，

/.BE=CE=-BC=—x12=6,

22

□当Q运动到E和C之间，设运动时间为t,则AP=t,DP=AD-AP=4-t,CQ=2t,EQ=CE-CQ=6-2t

t=6-2t,

解得:t=2;

□当Q运动到E和B之间,设运动时间为t,则AP=t,DP=AD-AP=4-t,CQ=2t,

EQ=CQ-CE=2t-6,

t=2t-6,

解得t=6(舍)，

□P点当D后再返回点A时候，Q运动到E和B之间,设运动时间为t,

贝l」AP=4-(t-4)=8-t,EQ=2t-6,

cc,14

8-t=2t-6，t=—,

3

14

当运动时间t为2、§秒时似点P,Q,E,A为顶点的四边形是平行四边形.

故答案为：2或宁14.

【点拨】本题主要考查平行四边形的性质及解一元一次方程.

17.4石或4

【详解】

分析：当AA，EF为直角三角形时，存在两种情况：

□当□A，EF=90°时，如图1,根据对称的性质和平行线可得：A'C=A'E=4,根据直角三角形斜

边中线的性质得：BC=2A'B=8,最后利用勾股定理可得AB的长；

□^□A'FE=9O°0t-如图2,证明AABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4.

详解：当aAEF为直角三角形时，存在两种情况:

□当口ATT^gO。时，如图1,

□□ABC与2kABC关于BC所在直线对称,

□AfC=AC=4,□ACB=DA,CB,

□点D,E分别为AC,BC的中点，

□D、E是^ABC的中位线，

□DEDAB,

□□CDE=DMAN=90°,

□□CDEnDAEF,

口ACDAR

□□ACB=nA!EC,

□□ACBRAFC,

□A，C=A旧=4,

R3ACB中，DE是斜边BC的中点，

□BC=2A,E=8,

由勾股定理得：AB2=BC2-AC2,

□AB=j8242=4。;

□^□A'FE=90°Bf,如图2,

□□ADF=DA=DDFB=90°,

□□ABF=90°,

□□A，BC与9BC关于BC所在直线对称，

□□ABC=OCBA'=45°,

□□ABC是等腰直角三角形，

□AB=AC=4；.

综上所述，AB的长为4后或4；

故答案为4/或4.

点睛：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、

直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题.

18.375-3

【分析】先判断出RtaADMDR3BCN（HL）,得出/DAM=/CBN,进而判断出ADCE」

ABCE（SAS）,得出/CDE=/CBE,即可判断出NAFD=90，根据直角三角形斜边上的

中线等于斜边的一半可得0F=；AD=3,利用勾股定理列式求出0C,然后根据三角形的三

边关系可知当0、F、C三点共线时，CF的长度最小.

【详解】

如图,

在正方形ABCD中，AD=BC=CD,ZADC=ZBCD,NDCE=/BCE,

在RUADM和Rt^BCN中，

{A^=BfeN,

RtiADMRLBCN（HL）,

.-.ZDAM=ZCBN,

在ADCE和ABCE中，

BC=CD

-ZDCE=ZBCE,

CE=CE

.'.ADCEABCE（SAS）,

.-.ZCDE=ZCBE,

r.NDAM=NCDE,

ZADF+ZCDE=ZADC=90,

ZDAM+ZADF=90,

.-.ZAFD=180-90=90,

取AD的中点O,连接OF、OC,

贝IJOF=DO」AD=3,

2

在RSODC中，OC=jDO2+DC2=3"，

根据三角形的三边关系，OF+CF>OC,

.•.当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，

最小值=OC-OF=3"-3,

故答案为3所-3.

【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等

于斜边的一半的性质，三角形的三边关系等，综合性较强，有一定的难度，确定出CF最小

时点F的位置是解题关键.

19.(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【详解】

分析：(1)证明AB=DE,FB=AD,□ABF=：3ADE即可解决问题；

(2)只要证明FBDAD即可解决问题.

详(1)证明：□四边形ABCD是平行四边形，

□AB=CD,AD=BC,DABC=OADC,

□BC=BF,CD=DE,

□BF=AD,AB=DE,

□□ADE+DADC+DEDC=360°,□ABF+CABC+nCBF=360°,□EDC=QCBF,

□□ADE=DABF,

在［ZABF与DEDA中，

□AB=DE,DABF=OADE,BF=AD

□□ABFOnEDA.

(2)证明：延长FB交AD于H.

a

□AEQAF,

□□EAF=90°,

□□ABFOOEDA,

□□EAD=DAFB,

□□EAD+DFAH=90°,

□□FAH+DAFB=90°,

□□AHF=90°,即FB口AD,

□ADDBC,

□FBDBC.

点睛：本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题

的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.

20.(1)2/-2；(2)见解析

【分析】(1)如图(1),过4作4〃口5。于〃，解直角三角形即可得到结论；

(2)如图(2),在/河上截取在&CF内以力耳为底边作等腰直角三角形/方尸,

连接。尸，根据平行线的性质函数三角形的内角和得到口。/心口刃C,求得口/。。=□尸尸。=

3600-90°

竺产-=135。=山1NC,根据全等三角形的性质得到于是得到结论.

2

【详解】

解：(1)如图(1),过4作4HOBC于H,

在/BCD中，口。=口5=45。，AB=2茎,

□AH=BH=2点,

□ZE=4,

□EH=JAE2—AH2=2,

QBE=BH-EH=2y/3-2；

(2)如图(2),在41/上截取初V=MC,在&CF内以4方为底边作等腰直角三角形

连接CP

□□^FC+Q7^C+n^CF=180°,nB+nFAC+nBAF+nCAN=lSO°,

□\JAFC=nB+nCAN=45°+nCAN,

□\JFAC=UFAP+nPAC=45°+nR4C,UUFAC=UAFC,

U^CAN=UPAC,

3600-90°

□nAPC=UFPC=----------=\350=DANC,

2

^QAPCnUANC(AAS)f

DAP=AN,

DAM=AN+MN,

□V2AM=无AN+拒MN=AF+CD=AF+AB,

即AF+AB=S[2AM.

【点拨】考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性

质，正确的作出辅助线解题的关键.

21.(1)口90。，0140°；(2)详见解析

【分析】(1)□证明四边形DPEC为平行四边形可得结论；□根据四边形内角和为360。，列

等式求出x+y的值；

(2)根据P、D、E位置的不同，分五种情况：Qy-x=m+n,如图2,点尸在8/的延长线上

时，根据三角形的内角和与外角定理列等式，化简后得出结论；口/产™-〃，如图3,点P在

BA的延长线上时，根据三角形的内角和与外角定理列等式，化简后得出结论；Qx+y=m+n,

如图4,点尸在线段A4上时，根据四边形的内角和为360。列等式，化简后得出结论;“少=加+〃,

如图5,同理得出结论；□y-x=w7-〃，如图6,同理得出结论.

【详解】

解：(1)口如图1,

^PDDBC,PEGAC,

□四边形DPEC为平行四边形,

EHDPEWC,

^BDPE=m,0C=H=9O°,

回加=90。；

UmADP=x,\JPEB=y,

[?]DCDP=180o-x,\JCEP=\S0°-y,

□□C+□CDP+UDPE+□CEP=360°,00=90°,□DPE=50°,

□90°+180o-x+50o+180o-y=360°,

□x+y=140°；

(2)分五种情况：

Uy-x=m+n,如图2,

□UDFP=n+UFEC,UFEC=180°-y,

\J\JDFP=n+\SO°-y,

□x+加+口£>"=180°,

□x+m+n+180°-y=180°,

\Jy-x=m+n；

Ux-y=m-n,如图3,

同理得：m+180°-X=H+180°-y,

□x-y=m-n；

Dx+y=m+n,如图4,

图4

理由是：

由四边形内角和为360。得：180°-龙+加+180°-尹”=360°,

Qx+y=m+n；

□x-y=m+n,如图5,

图5

理由是：

同理得：180。=加+〃+尹180。-刀,

□x-y=m+n；

□y-x=m-n,如图6,

图6

理由是：

同理得："+180°-产加+180°-y,

□y-x=m-n.

【点拨】本题考查了三角形综合及平行四边形的判定，熟练掌握三角形外角的性质及平行四

边形的判定与性质是解题的关键.

22.(1)详见解析；(2)彳

【分析】(1)根据题意可得因此可得/G=EC,又尸G||CE,则可得四边

形CEFG是平行四边形，再根据CE=FE,可得四边形CEFG是菱形.

(2)设所=x，则CE=x,OE=6-x,再根据勾股定理可得x的值,进而计算出四边形CEFG

的面积.

【详解】

(1)证明：由题意可得，

:.^BCE=^BFE,

□ABEC=/BEF,FE=CE,

□FG||CE,

□ZFGE=ZCEB,

口NFGE=NFEG,

□FG=FE,

\JFG=EC,

□四边形CEFG是平行四边形，

又□比二在，

□四边形CEFG是菱形；

(2)□矩形A5CQ中，AB=6,AD=1Q,BC=BF,

□ZBAF=90。,A。=BC=BF=10,

□A尸=8,

□DF=2,

设EF-x,则CE=x,DE=6-x,

\ZFDE=90°,

J22+（6-X）2=X2,

解得，x，

JCE=—,

3

1四边形CEFG的面积是：CE-DF=—*2=—.

33

【点拨】本题主要考查菱形的判定，关键在于首先证明其是平行四边形，再证明两条临边相

等即可.

23.（1）详见解析；（2）□BAD=2nEAF,理由详见解析；（3）5.5.

【分析】（1）将口48后绕点/旋转使得N2与40重合，然后证明口/八7口口/用，再利用全

等三角形对应的边相等的性质不难证明；

（2）首先延长C5至使即/=£＞尸，连接4W,构造□NBA/口口/。尸，再证明□"£■口口吊4£,

最后将相等的边进行转化整理即可证明.

【详解】

解（1）把口485绕点/逆时针旋转90。至口406,如图1所示：

BEC

图1

贝!ICUDGCIMBE,

UAG=AE,DDAG=nBAE,DG=BE,

又□口E4F=45°,BPnDAF+UBAE=UEAF=A5°,

V\\^GAF=UFAE,

AG=AE

在口64斤和口£4£中，＜ZGAF=ZFAE,

AF=AF

DDAFGUDAFE(SAS).

口GF=EF.

又UDG=BE,

UGF=BE+DF,

\2BE+DF=EF.

(2)UBAD=2DEAF.理由如下：

如图2所示