2024山西天一大联考高三阶段性测试数学试题及答案

绝密★启用前【山西专版】天一大联考2023—2024学年高三年级阶段性测试（定位）数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2A0，B2，则UAB1．设全集U，集合=121,2C．D．2A．B．82x2．的展开式中常数项为x3A．112B．56C．28D．1632yfx在点fxa3xa2xa1xax0R3．已知函数若对任意曲线x,fx0x,fx和处的切线互相平行或重合，则实数a=C．2D．3000A．0B．14壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子，第二年为“乙丑，第三年为“丙寅，…，排列到“癸酉后，天干回到“甲重新开始，即“甲戌20242124年为A．丁辰年B．癸未年C．甲午年D．甲申年5．将一个圆台的侧面展开，得到的扇环的内弧长为4π，外弧长为8π，外弧半径与内弧半径之差为m，若28该圆台的体积为，则m=3A．4B．3C．2D．16z和z在复平面内对应的向量分别为OP和OQOw112z2A．∥B．D．C．7αβγsincos的最大值为tansinsincos=53A．B．C．1D．15ab3log267，则c8．已知实数a，b，c满足，，7A．cabB．bacC．acbD．abc二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．Mx,y的焦点为F，点00在C上，若∠MOF=45°（Oy24x9．已知抛物线C：3x40y405D．A．B．C．5fxAxA0的部分图象如图所示，则10．函数A．A2B．0的图象关于点0fx对称C．5kZf4x1的解集为2k,2kD．不等式P22222，且11．在四棱锥中，已知，，则233P的体积的取值范围是A．四棱锥B．PB2的取值范围是723,723PC．四棱锥的外接球的表面积的最小值为8π5D．PB与平面PAD所成角的正弦值可能为7三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．M8,612．已知圆C经过点______．，且有一条直径的两个端点分别在x，y轴上，则圆C的面积的最小值为13．甲、乙两名足球运动员进行射门比赛，约定每人射门3次，射进的次数多者赢，一样多则为平局．若32甲每次射门射进的概率均为，乙每次射门射进的概率均为，且每人每次射门相互独立．现已知甲第一43次射门未射进，则乙赢的概率为______．x2a2b2y211ab0F1F的直线l经过点且交2F14C：，21△1F1F的面积的3倍，则C的离心率为2C于A，B两点（点A在第一象限），若______．的面积是2四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1513分）某学校准备订做新的校服，有正装和运动装两种风格可供选择，为了解学生和家长们的偏好，学校随机调查了200名学生及每名学生的一位家长，得到以下的2×2列联表：更喜欢正装120更喜欢运动装家长学生8040160（Ⅰ）根据以上数据，判断是否有99%的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异；（Ⅱ55人中任选2人，记这2人中更喜欢正装的家长人数为X，求X的分布列和数学期望．n(bc)2附：2．(abcd)(acbd)0.12.7060.050.010.0013.8416.63510.8281615分）如图，A是以BC为直径的圆O上的点，PA⊥平面ABC，D，E分别是线段PA，PB上的点，且满足01，2．（Ⅰ）求证：；1（Ⅱ）若二面角BD的正弦值为，求λ的值．21715分）x22y22已知双曲线C：1ab0的渐近线与圆x2ya2的一个交点为A3．2ab（Ⅰ）求C的方程．（ⅡA作两条相互垂直的直线l和ll与C的左、右支分别交于BD两点，l与C1212分别交于EF能否成立．若能，求该式成立时直线1说明理由．1817分）已知函数fxeaxbxabx，a0，b0．1a，b1在区间2fx（Ⅰ）若，讨论上的单调性；2（Ⅱ）设t为常数，若abt”’是“1917分）fx在R上具有单调性”的充分条件，求t的最小值．nnN*a，则称为“有界变差数naM0k1kM对于数列，若存在，使得对任意，总有nk1列．a（Ⅰ）若各项均为正数的等比数列为有界变差数列，求其公比q的取值范围；n1b，证明：是有界变差数列；nb满足b2，且b2（Ⅱ）若数列nn11nnn10，证明：xyy是有界变差数列．（Ⅲ）若，均为有界变差数列，且nnyn天一大联考2023—2024学年高三年级阶段性测试（定位）数学（山西专版）答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案C命题意图本题考查集合的表示与运算．解析A由已知易得ð2，所以ðAIB．UU2．答案A命题意图本题考查二项式定理的应用．22x解析常数项为C28x6382．3．答案C命题意图本题考查导数的几何意义和函数的奇偶性．解析由题意知fx3a3x22a2xa1为偶函数，则a2．4．答案D命题意图本题考查等差数列的应用．解析天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于，故100年后天干为甲，由于8LL44100年后地支为“辰后面第四个，即“申，所以2124年为甲申年．5．答案B命题意图本题考查圆台的有关计算．解析易知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为m．设圆台的高为h，根据题意可知该圆台11244Vhr2R2h222h5，的体积为，解得则333m(42h222(5)3．26．答案D命题意图本题考查复数的几何意义以及平面向量的运算．解析设za，zc，w，其中a，b，c，d，kR，且a，b不同时为0，c，d不同时12为0，k0，由题意ac，所以(a,b)(c,d)0，所以．7．答案B命题意图本题考查三角恒等变换及基本不等式的应用．2222sin解析由基本不等式可得，，222232sincos，三式相加，可得sinsincos，当且仅当，β，αγ232sin(sincos)2tantansin(sincos)均为时等号成立，所以4，则．sin22218．答案C命题意图本题考查指数函数和对数函数的综合性质．1ln(xxfx(x，则解析由已知得ae5，b8，c7．令76xx(xxfxfxfxf6f7，即，显然0，即单调递减，所以x(xx)217ln816578exx1，可得e1log675log6666，亦即，cb．由5，而，676756log67ac．综上可知．acb所以，所以5二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．答案AC命题意图本题考查抛物线的方程与性质．0y404x401y204x0解析若∠MOF=45°或AB错0y40022242355C41，25故D错误．10．答案ABD命题意图本题考查三角函数的图象与性质．3fxA2T561解得T8，故1解析设的最小正周期为T，由图象可知，4fx2sinx2sin2，所以，将2代入解析式，得，则8444fx2sinxAB112sin2C错f2sin4442241f4x1即x1，2sinx误；为得，得425kxkkZ，得kxkkZ，故D正确．64611．答案BCD命题意图本题考查棱锥的结构以及棱锥与球的综合问题．解析由已知可得，四边形ABCD是上底为1，下底为2，底角为60°的等腰梯形，所以33334S22，．441333P2对于A，当PD⊥底面ABCD时，四棱锥于B，在中，2，的体积最大，最大体积为，故A错3423，，用余弦定理可知2的取值范围是723,723，故B正确；P的外接球的半径等于对于C，当PD⊥平面ABCD时，四棱锥的外接圆的半径，此时外222接球的半径最小，为，故外接球的表面积的最小值为，故C正确；2255对于DPB与平面PAD所成角为θPD⊥平面ABCDsin75P靠近平面ABCD时，θ趋向于0，所以存在某个P点，使得sin，故D正确．7三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．答案25π命题意图本题考查圆的方程与性质．解析因为圆C的一条直径的两个端点分别在x，y轴上，所以该圆一定过原点O．又圆C经过点M8,68262C的面积最OM为圆CC22小值为．10921613．答案命题意图本题考查概率的乘法公式．解析若乙射进1次，则他赢的概率为32222311112次，则他赢的概率33472223223728C2311为为33；若乙射进3次，则他赢的概率为．故乙赢的概率436327178109．723627216514．答案4命题意图本题考查椭圆与直线的位置关系．解析因为△12的面积是1F的面积的3yA3yC的半焦距为Bcc02x2ycb2aybb0x2yc2224线l：，联立方程可得消去x得22，则即b2x2a2y2ab2b2cb4yAyyAyByByAyyyyB2，，又，ABa2b2ABa2b2yAyB22bca2b214c21c2e21523e，解得，化简可得，得．b433a2b23a2c25e234a2b2四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．命题意图本题考查独立性检验的应用以及超几何分布．22，解析（Ⅰ）由题可知200200280因为，所以有99%的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异．（Ⅱ）座谈的家长中更喜欢正装的人数为5由题意可得X的所有可能取值为0，1，2，3，更喜欢运动装的人数为52．C22521C125C1335C323PX0PX1PX2则，，，252故X的分布列为X0121353P1336EX012所以X的数学期望．10510516．命题意图本题考查空间位置关系的推理与证明、二面角的计算．解析（Ⅰ）因为A是以BC为直径的圆O上异于B，C的点，所以，因为PA⊥平面ABC，所以．又A，所以AB⊥平面PAC，因为，所以∥，所以DE⊥平面PAC，因为CD平面PAC，所以．（Ⅱ）分别以AC，AB，AP所在的直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设2，1，则点B2,0，C1,0,0，P0,0,2，D0,0,21，，0(，E2,2121，则，2,21，nx,y,z设平面CDE的法向量为nCDx21z0n21,0,1．则取nCEx2y21z0mp,q,r设平面BCE的法向量为，mBCp2q0m．则取mCPp2r012BCED因为二面角的正弦值为，41411nm3cosn,m所以，nm22216125解得或217．命题意图本题考查双曲线的性质，双曲线与直线的位置关系．2a132，解析（Ⅰ）由题可知ba3b23，，1x2y21．故C的方程为412（Ⅱ）不能成立．l1llyk(x3，直线的方程为l2显然直线，的斜率均存在，设直线的方程为211y(x3Bx,yDx,y，，6分）k1122ykx13l(3k2)x22k(k3)xk22k150得，联立与C的方程可得12y2123xl3k3，因为与C的左、右支分别相交，所以1133333kk3*）同理因为，解得，或k332kxx123k231k23kABAD(xx)1k2xx21k2所以，12122231k22311AEAF同理可得．1kk13kABAFADAEABADAEAF，若，则231k2231k23232k1k只需即可，解得，，23kk1kk都不符合（*2显然所以，1ABAFADAE不能成立．18．命题意图本题考查利用导数研究函数的单调性．解析由题可知fxeaxbxa222bxb，即fxeaxbxbxbxab2222．12131xxa，b1fxexx（I），则．222121由fx0得0xxfx0得x0，即x0，即或；由332x．333,2因此fx在,上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．333（Ⅱ）若fx具有单调性，则bxbxab2不变号．222设ux，则1u1，即gub2u2a2b2不变号，由于b0gu，因此是二次函数．ga102b0由于，，所以该情形不成立．a0b0gu00若若即在在恒成立，则即a2b0g1010g10gbgu恒成立，则或11101bb111ab2bab0b或a．24212b,0b由于tab，因此thb恒成立11b2,b42121211414120bhbbbb当时，（当时等号成立），当时，24111414hb，因此，hb12224b2b41故t的最小值为．419．命题意图本题考查数列的综合问题．a1，，a0q0解析（Ⅰ）因为的各项均为正数，所以naaaqaaq1，k1kkkkn当当q1时，k1k0，k1k0，任取M0a即可，所以n为有界变差数列．k