2024年山西省运城市高三下学期二模数学试题及答案

运城市2024年高三第二次模拟调研测试数学试卷类型：A考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本卷命题范围：高考范围。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足4z1，则z（）5152525A.B.C.D.552.已知圆锥的侧面积为12，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为（）3A.6B.C.6D.333.已知向量a和b满足a3，b2，ab7，则向量b在向量a上的投影向量为（）131A.aB.aC.aD.a3x22y221ab0的两条渐近线均和圆C：x2y8x70相切，且双曲线的左24.已知双曲线ab焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）x2y24x24y2A.C.1B.D.197974x24y2x2y21179794的图象向右平移5.将函数fx2sin3x0个单位长度，得到函数gx的图象，若函数gx在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（）124412A.,B.,124412C.,D.,6.“五一”假期将至，某旅行社适时推出了“晋祠”“五台山”“云冈石窟”“乔家大院”“王家大院”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“乔家大院”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足.现有小张、小胡、小李、小郭这四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路.则不同的报名情况总共有（）A.360种B.316种C.288种D.216种a7.已知等差数列a的前n项和为Sn，若0，0，则2的取值范围是（）n167A.,6B.,78767C.,,78613D.,,7152PCPD2最小值为28.已知正方形ABCD的边长为2，点P在以A为圆心，1为半径的圆上，则PB（）A.1882C.1983B.1883D.1982二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9..某实验基地有两块面积相等的试验田，在种植环境相同的条件下，这两块试验田分别种植了甲、乙两种水稻，连续试验5次，水稻的产量如下：甲（单位：kg）250240240200270乙（单位：kg）250210280240220则下列说法正确的是（）A.甲种水稻产量的极差为70B.乙种水稻产量的中位数为240C.甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产量的平均数D.甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差10.已知函数fx的定义域为Rx,yRfyxf22下列说法正确的是（）A.f10B.fx的图象关于y轴对称f2i202322D.f2202422iC.i1i111.如图，在棱长为2的正方体ABCDABCD中，点P是侧面A内的一点，点E是线段CC上1111111的一点，则下列说法正确的是（）A.当点P是线段AD的中点时，存在点E，使得AE平面D111194B.当点E为线段CC的中点时，过点A，E，D的平面截该正方体所得的截面的面积为11C.点E到直线BD1的距离的最小值为2D.当点E为棱1的中点且22时，则点P的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。313N3，Bxxx12723xm01ABAB的子集的个数12.已知集合Ax为__________.113.已知tan2tan，sin，则sin__________.4x22y2214.已知椭圆C：的左、右焦点分别为F，F，过F的直线与C交于A，B两点，1ab0122ab3AB且AFAB，若的面积为b2，其中O为坐标原点，则的值为___________.11612四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）BC55在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，csin（1）求sinA的值；bsinCcsinCB.242（2）如图，a65，点D为边AC上一点，且25，ABD，求△ABC的面积.216.（本小题满分15分）长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的7-8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到以下2×2列联表：喜欢不喜欢合计男生120女生100合计22080200200400100180（1）试根据小概率值0.050的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联?（2）为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求X的分布列；（3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为Y，求Y的数学期望.2nadbc附：2，其中nabcd.abcdacbd0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82817.（本小题满分15分）如图1，在△ABC中，ACBC4，42，点D是线段AC的中点，点E是线段上的一点，且，将△沿翻折到△的位置，使得PEBD，连接PB，，如图2所示，点F是线段PB上的一点.图1图2（1）若BF2PF，求证：CF∥平面PDE；4（2）若直线CF与平面PBD所成角的正弦值为18.（本小题满分17分），求线段的长.已知抛物线C：y22pxp0的准线与圆O：x2y1相切.2（1）求C的方程；（2）设点P是C上的一点，点A，B是C的准线上两个不同的点，且圆O是△PAB的内切圆.①若25，求点P的横坐标；②求△PAB面积的最小值.19.（本小题满分17分）xaexxaaR.已知函数fx（1）若a4，求fx的图象在x0处的切线方程；（2）若fx0对于任意的x恒成立，求a的取值范围；2a1且nN，记数列a的前n项和为Sn，求证：*（3）若数列a满足1n1nnnn21Snn1n2.3运城市2024年高三第二次模拟调研测试·数学参考答案、提示及评分细则1414442111.A因为复数z满足4z1，所以zi，所以25252211252525z.故选A.5r2.B设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则rl，，解得r2，l6，所以此圆锥的l3116hl2r242，所以此圆锥的体积V2242.故选B.高33223.A因为ab7a2abb7a3，b292ab47ab3，ab3321设a与b的夹角为，则cos，所以向量b在向量a上的投影向量为2ab13abcosa.故选A.ab4.D双曲线的一条渐近线方程为yx，所以bxay0.圆C：x2y28x70的标准方程为abbx42y29，所以圆心为C4,0，r3，所以3，又a2b216，解得a7，a22x2y2b3，所以双曲线的方程为1.故选D794的图象向右平移0个单位长度，5.C将函数fx2sin3x442sin3x3得到y2sin3x，所以gx2sin3x3，444时，3x当x，,4又函数gx在区间上恰有两个零点，所以，解得，4124124即的取值范围是,.故选C.6.C若小张、小胡、小李、小郭这四人中，没有人选择“乔家大院”线路，则报名情况有C24A34144种.144种.1423241“乔家大院”所以不同的报名的情况总共有144+144=288种.故选C.CCA1517.B由题意知S15a0，所以a0，882161又S8aa0，892所以aa0，所以aa0.8998设等差数列a的公差为d，则d980，naa7d1d2所以a0.所以81所以，1aaa7da8d2a15d711589111a211d1d613a2167所以1,，即的取值范围是,.故选B.17158.D以A为坐标原点，，AD所在的直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示.设Px,y，所以xy21，又B2,0，C2,2，D0,2，22222222所以PBPCPDx2y2x2y2x2y2，198xyt令xyt，即xyt0，所以直线xyt0与圆x2y21有公共点，所以1，11解得2t2，2221982.故选D.所以9.ABD由表中数据可知，甲种水稻产量的极差为270-200=70，故A正确；210220240250280240，故B正确；1对于C，甲种水稻产量的平均数为250240240200270240，乙种水稻产量的平均数为51250210280240220240，所以甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数，故C5错误；甲种水稻产量的方差为122222250240240240240240200240270240520，5乙种水稻产量的方差为1(250240)2(210240)2(280240)2(240240)2(220240)2600，5所以甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差，故D正确.故选ABD.10.AC令x1，y1，得f1f1f1，解得f10，故A正确；令x1，y1，所以f1f1f10，解得f0，令y1，所以fx1fxfx，所以fx是奇函数，所以fx的图象关于原点对称，故B错误；2n1f22f2n1，令af2f2nf2n1nnNn12nnN*，因为n则a2a2n*，所以2nn2n1n11，n2nn，则nn11，令n又b2121，所以b是首项为1，公差为1的等差数列，1n所以nb1，所以ann2n，n1nnnSnf2kaaaa12222323n2n，令k12nk1k1，n2nn2n1则2Sn122223324所以Sn22223n2n12n212n2n2n11n2n1，12所以Snn12n1，2f2202322，故C正确，D错误.i所以i1故选AC.11.ACD以D为坐标原点，，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.1则D0,0,0，D0,0,2，A2,0,2，B2,2,2，11当点P是线段AD的中点时，P0,1，1设E0,2,a0a2，所以0,1，2,1，AE2,2,a2，111假设存在点E，使得AE平面D，111则PDAE2a20，PBAE24a20，1111解得a0，所以存在点E，使得AE平面D，此时点E与点C重合，故A正确；111取的中点F，连接BC，，FA，，DE，如图所示.111则EF∥BC，∥，所以AD∥EF，1111又易得AD22，2，AFDE5，11所以梯形AD1EF的面积为2ADEF2222229292ADEF1AF215，2222所以过A，E，1点的平面截该正方体所得的截面的面积为，故B错误；2又B2,0，设E0,2,m0m2，2，2,0,m，所以BD1所以点E到直线BD1的距离dBEsinBD,BEBE12BD,BE112BDBE22BE21m2，3BD1所以d2，此时m1，所以点E到直线BD1的距离的最小值为2，故C正确；取1的中点G，连接EG，EP，，易得GE平面AADD，又GP平面AADD，11112所以GEGP，所以PE222222，2则点P在侧面AADD内运动轨迹为以G为圆心，半径为2的劣弧，11分别交AD，AD于P，P，1121则PGDPGD，则PGP，1121233所以点P的轨迹长度为2，故D正确.33故选ACD.13N3x1270,1，又1AB，12.8由题意知Ax所以1B，所以13m0，解得m2，2Bxx23x201,2，所以AB2，所以AB的子集的个数为28.3所以1sincossin13.因为tan2tan，即2，12所以sin2sincos，14因为sinsinsin，1116所以3cossin，解得cossin，sin，412111所以sinsinsin.126122333314.因为OAF1的面积为b2，所以△122b2b2，3663在△AFF中，设FAF，0,，12122222AFAFcos，12由余弦定理可得12AF2124c22AFAF2AFAF2AFAFcos即1212124a22cosAFAF，12则22AF124a24c2b2，1sin1cos33所以△FAF的面积SAFAFsinb2b2，12122所以3sincos1，1，所以66即sin，由于,.6263又AFAB，所以△AFB是等边三角形，即AFBFAB，11114由椭圆的定义可得4a，所以AFa，111322a则AFa，，所以FF，221233AB2212233则2tanAFF.1212BC5515.1）因为csinbsinCcsinCB，242由正弦定理得BC55sinCsinsinBsinCsin2CB24255sinBsinCcosCsinCB22255，sinCsinBCsinCsinBCsinCB22BC5A5又sinC0，所以sin，所以sinsinBCsinA，2222A5AA所以sinA5sin，2222A，cos0，所以sin2AA5AA25又，1sin2，2225225AA45所以sinA2sin.22，又25，（2）设DB2xx0所以5x，AsinA245.2654x225x222BC245在△BDC中，由余弦定理得cosBDC，2DB22x5x解得x2，所以4，10，445又sinA，所以DA5，ACDADC15，AB2BD2AD2，所以AB3，又114所以△ABC的面积SABsinA31518.22516.1）零假设为H0：学生对长跑的喜欢情况与性别无关联.根据列联表中的数据，经计算得到4001201008010024009924.0403.841，200200220180根据小概率值0.050H0此推断犯错误的概率不大于0.050.（2）从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，其中男生的人数为：808010094人，10080100女生人数为：95人.X的所有可能取值为0，1，2，3，CC34391C24CC1550所以PX，PX，213914C14CC251021C3539523PX，PX，39C42X的分布列为：XP0123155144211（3）由题意知，任抽1人喜欢长跑的概率p，2011所以Y~B，所以EY12201133.20517.（1）证明：过点C作CHED，垂足为H，1在PE上取一点M，使得1PMPE，连接HM，，3如图所示.111因为PMPE，，所以∥且，3331因为D是AC的中点，且，所以CH∥EB且CHEB，3所以CH∥且CH，所以四边形CFMH是平行四边形，所以CF∥HM，又CF平面PDE，平面PDE，所以CF∥平面PDE.（2）解：因为PEED，PEBD，EDBDD，ED,平面BCDE，所以PE平面BCDE，又BE平面BCDE，所以PEBE，225.2又EBED，所以EB，，EP两两垂直，故以E为坐标原点，EB，，EP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.所以B32,0,0，D2,0，P2，C2,22,0.设平面PBD的一个法向量nx,y,z，又BP32,2，32,2,0，nBP32x2z所以nBD32x2y令x1，解得y3，z3，所以平面PBD的一个法向量n3.设32,0,2，01所以CFCBBF22,22,032,0,22232,22,2，设直线CF与平面PBD所成角的大小为，所以sinn,CFnCFnCF4243857，2221992232222171775解得或，所以5或BFBP105.2102pp18.1）由题意知C的准线为x，又C的准线与圆O：x2y1相切，所以1，222解得p2，所以C的方程为2y4x.y0m01ymx1，（2）设点Px,y，点Am，点Bn，直线PA方程为00化简得ymx01yy0mmx0.00又圆O是△PAB的内切圆，y0mm011，所以圆心O0,0到直线PA的距离为1，即22y0mx10m22222故yx1y0m2mymx1mx1，00000易知x1，上式化简得，x1m2y0m200，0020同理有01n2y0n0，20所以m，n是关于t的方程x1t2y0t0的两个不同的根，00012y0，01所以所以mn.4y2040012mn2mn2AB4，2x01又点P是C上的一点，所以y2040，4001x01160240所以AB2.22x1x010x20401①若25，则225，021解得x3或xP的横坐标为3.00201的距离d01，②因为点Px,y到直线x0所以△PAB的面积202401121x20401x1Sd2x10，20x22x0110t4t24tt24016，则S令01tt0t2t32，2t2tt16164040因为t22t28，t2t40，t2t2tt当且仅当t