2024届北京巿通州区数学高一年级上册期末考试试题含解析

2024届北京市通州区数学高一上期末考试试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,

请将正确答案涂在答题卡上.)

1.已知tana=2,则sin?tz+sin。cosa的值为()

6

A-B.1

5

42

C.-D.一

53

14

2.已知正数了、》满足x+y=l,则一+；一的最小值为

x1+y

9

A.2B.一

2

14~

C.—D.5

3

3.设山、“是不同的直线，a、§、/是不同的平面，有以下四个命题：

(1)若。〃，、aPy,则，y(2)若ma,则7九_1_尸

(3)若m_La、m，，则(4)若〃zn,〃ua,则ma

其中真命题的序号是

()

A.(1)(4)B.(2)(3)

C.(2)(4)D.(1)(3)

4.定义在R上的奇函数八X)以5为周期，若"3)=0,则在(0,10)内，/(无)=0的解的最少个数是

A.3B.4

C.5D.7

5.已知/(x)是偶函数，且在(-8,0)上是减函数，又则%"(%)〈。的解集为()

A.(―Q0,—1)u(1,+oo)B.(f—1)50」)

c.(-1,0)51,+8)D.(-1,0)J(0,1)

6.已知sin2a>0,且cosa<0,则角a的终边位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

4

7.函数〃x)=21nx——的零点位于区间()

X

A.(O,l)B.(l,2)

C.(2,3)D.(3,4)

8.命题：BneN,"2>3"+5，则该命题的否定为()

n2>3n+5BNneN,n2<3H+5

C.BneN,n2<3n+5D.BneN,n2<3n+5

9.在(0,2不)内，使sinx>cosx成立的％的取值范围是

10.函数y=tan[x—3，》€卜已1^的值域为()

A.(-1,73)

C.(―00,—+8

11.光线由点P(2,3)射到直线x+y=-1上，反射后过点Q(1,1),则反射光线所在的直线方程为

A.4龙-5y+l=0B.一元+y=0

C.3x-4y+1=0D.5x-4y-l=0

12.我国东汉数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图％它是由

四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若A8=a，AD=b，

—.3

AE=-AF则所=()

4f

D

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）

x2+y2+8x—10y+5=0,

13.若方程组22有解，则实数/的取值范围是__________

%+y+2x-2y+2-r=0

14.如图所示，正方体ABC。-4耳£。的棱长为1,线段上有两个动点区F,且EF等,则下列结论中正

确的是

①所〃平面ABC。；

②平面ACF，平面BEF；

③三棱锥£-A斯的体积为定值；

④存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30°

15.已知％>0,y>0,x+y=4,则移有最大值为

16.不等式9—2%>0的解集为

三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）

17.已知集合人=｛丫凶=（!产42—1且*61<｝和集合8=仄|丫=不1寸｝.

2Vl-2x

(I)求ADB；

(II)若全集U=R,集合C={x|log2(2x—a)<l},且CCQB”*,求a的取值范围

18.已知两条直线4:(a-l)x+2y+l=0,Z2:x+ay+3=0

⑴若LL，求实数。的值；

(2)若3,求实数。的值

19.已知/(x)=2cos2学+6sin@c+a(。>0)的图象上相邻两对称轴的距离为

(1)若xeR,求/(元)的递增区间；

(2)若xe［0,J2T］时，若/(x)最大值与最小值之和为5,求。的值.

2

20.在AABO中，|。4|=6,|。,=3,且Q4与QB的夹角为60°，BP=2PA-

(1)求OPAB的值；

(2)若OQ=3QA,PQnxOA+yOB,求尤,V的值.

21.设是定义在［-M］上的偶函数，g(x)的图象与Ax)的图象关于直线1=1对称，且当％e［2,3］时，

g(x)=2a(x-2)-4(x-2)2

(1)求/"(x)的解析式

(2)若/(尤)在(0,1］上为增函数，求。的取值范围

(3)是否存在正整数。，使/'(x)的图象的最高点落在直线y=12上？若存在，求出。的值；若不存在，请说明理由

22.某港口水深了(米)是时间“0WK24,单位：小时)的函数，下面是水深数据：

f(小时)03691215182124

y(米)10.013.09.97.010013.010.17.010.0

据上述数据描成的曲线如图所示，该曲线可近似的看成函数y=Asin女+b的图象

(1)试根据数据表和曲线，求丁=Asina+6的解析式;

（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7

米，那么该船在什么时间段能够安全进港？

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,

请将正确答案涂在答题卡上.）

1、A

•2,

【解析】知切求弦，利用商的关系sin?e+sinacosa=‘11r+,血”：os.,即可得解.

sina+cosa

si•n2a+si•nacosatan2a+tana_4+2_6

【详解】sin2a+sinacosa=

si•n7a+cos2atan2a+14+15

故选：A

2、B

14

【解析】由f=l得，+i=2,再将代数式x+Q+y）与丁石相乘,利用基本不等式可求出

14

丁石的最小值

【详解】％+丁=1,所以，％+（i+y）=2,

、「r、、

则rts2/1(TT47)=[x+("刈i(/—=4)==4x+—1+V+5_.2_,江・山+5=9,

xl+y1+yx+yx

149

所以‘

2

4x_1+yX=

3

当且仅当1+yx，即当；时，等号成立,

x+y=ly=

3

149

因此，一+;---的最小值为大,

x1+y2

故选B

【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题

3、D

解：(1)若,a//y,购3介,根据面面平行的性质定理和判定定理可证得，故正确

■AZJXLY(2)若,仪_1_6则m〃。或m与万相交,故不正确

ITOEjh*1

(3)•)〃仇”内有一直线［与小平行，而桁_1”，贝,luB,根据面面垂直的判定定理可知“_1万，故正确

(4)m/fnt〃Ua贝UmUa或,故不正确

故选D.

4、D

【解析】由函数的周期为5,可得f(x+5)=f(x),由于f(x)为奇函数，f(3)=0,若xG(0,10),则可得出

f(3)=f(-2)=-f(2)=0,即f(2)=0,/.f(8)=f(3)=0,.*.f(7)=f(2)=0.在f(x+5)=f(x)中，令x=-2.5,

可得f(2.5)=f(-2.5)=-f(2.5),Af(2.5)=f(7.5)=0.再根据f(5)=f(0)=0,故在(0,10)上，y=f(x)的

零点的个数是2,2.5,3,5,7,7.5,8,共计7个.

故选D

点睛：本题是函数性质的综合应用，奇偶性周期性的结合，先从周期性入手，利用题目条件中的特殊点得出其它的零

点，再结合奇偶性即可得出其它的零点.

5、B

【解析】根据题意推得函数/'(X)在(0,+8)上是增函数，结合/⑴=0,确定函数值的正负情况，进而求得答案.

【详解】f(x)是偶函数，且在(-8,0)上是减函数，又/⑴=0,

则/(-1)=0,且/(无)在(0,+8)上是增函数，

故xe(-oo,-l)U(l,+8)时，/(%)>0,xe(-1,0)1(0,1)时，/(%)<0,

故x-/(%)<0的解集是(-a),-l)o(0,l),

故选：B.

6、C

【解析】根据二倍角公式可得到2sinecoscr>0,又因为cosa〈0,故得到sina<0进而得到角所在象限.

【详解】已知sin2a>0,2sincrcoscr>0,又因为cosa〈0,故得到sina<0,进而得到角是第三象限角.

故答案为C.

【点睛】本题考查象限角的定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号是解决问题的关键，属于基础题

7、C

【解析】先研究y=/(x)的单调性，利用零点存在定理即可得到答案.

【详解】/(x)=21n^--定义域为(O,+8).

X

因为丁=2111%和丫=—△在(0,+oo)上单增，所以〃x)=21nx—士在(0,+8)上单增.

XX

当xf0+时，/(%)<0;/(1)=-4<0；/(x)=21n2-2=2(ln2-l)<0；

而/(3)=21n3—g>2—g>0；/(4)=21n4-l>0,

由零点存在定理可得：函数/(x)=21nx-3的零点位于区间(2,3).

JC

故选：C

8、B

【解析】根据特称命题的否定可得出结论.

【详解】由特称命题的否定可知，原命题的否定为：\/n^N,rr<3n+5.

故选：B.

【点睛】本题考查特称命题否定的改写，解题的关键就是弄清特称命题的否定与全称命题之间的关系，属于基础题.

9、C

【解析】

直接画出函数图像得到答案.

715万

【详解】画出函数图像，如图所示：根据图像知xe

【点睛】本题考查了解三角不等式，画出函数图像是解题的关键.

10、A

7T

【解析】首先由X的取值范围求出X-：的取值范围，再根据正切函数的性质计算可得

6

（7t7171nn

【详解】解：因为％w[一石,石,所以九一

o

7171

因为y=tanx在上单调递增，所以tanx-看

即辿-1,6）

故选：A

11、A

【解析】设点P关于直线x+y=-1的对称点为（a，b）,则

a+2b+31

------+-------=-1

,解得a=-4,b=-3,即对称点为（T，—3）,

y+3-3-1

则反射光线所在直线方程-TK

即：4x-5y+l=0

故选A

12、C

【解析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可

—•3一

【详解】VAE=-AF

4

：.EF=AF-AE=-AF

4

'：AF^AB+BF^AB一一DE=AB一一（AE-Ao]=AB+-AD一一AE=AB+-AD——AF

44、/44416

253

：.—AFAB+-AD

164

._16，12

••AF=-ABD+—AD，

14343

EF=—AF=——AB+—AD=—a+—b

425252525

故选:C

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）

13,[1,121]

x2+y2+8%一10y+5=0,(x+4p+(y—5)2=36

【解析】化为'、1)、；，要使方程组有解，则两圆相交或相切,

%?+y?+2x—2y+2—Z—0(x+1)+(y-l)=t

r>0

t>Q

.\<y[t<6=>1W/W36或

6-77<^(-l+4)2+(l-5)2<6+77

t>0

<〃>6n36</W121,.-.l<r<121,故答案为[1,121].

y/t-6<5<6+y/t

14、①②③④

【解析】在①中，由EF〃BD,得EF〃平面ABCD；在②中，连接BD,由ACLBD,AClDDi,可知AC上面BDDB,从而得

到面ACFL平面BEF；在③中，三棱锥E-ABF的体积与三棱锥A-BEF的体积相等，从而三棱锥E-ABF的体积为定值;

在④中，令上底面中心为0,得到存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30。

【详解】由正方体ABCD-AACD的棱长为1,线段BD上有两个动点E、F,且EF=叵,知：

2

在①中，由EF〃BD,且EFC平面ABCD,BDu平面ABCD,得EF〃平面ABCD,故①正确；

在②中，连接BD,由AC_LBD,AC±DDi,可知AC上面BDDB,

而BEu面BDDiBi,BFu面BDDiB”...AC_L平面BEF,

；ACu平面ACF,...面ACF_L平面BEF,故②正确；

在③中，三棱锥E-ABF的体积与三棱锥A-BEF的体积相等，

三棱锥A-BEF的底面积和高都是定值，故三棱锥E-ABF的体积为定值，故③正确;

在④中，令上底面中心为0,当E与Di重合时，此时点F与。重合，

则两异面直线所成的角是N0BG,可求解N0BG=30°,

故存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30。，故④正确

故答案为①②③④

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题

15、4

【解析】分析：直接利用基本不等式求xy的最大值.

详解：因为x+y=4,所以生2而，所以而W2,.•.孙W4.故答案为4.

点睛：(1)本题主要考查基本不等式，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.(2)利用基本不等式求最值时，一定要

注意“一正二定三相等”，三者缺一不可.

16、(―oo,0)(2,+oo)

【解析】把不等式/-2x>0化为x(x-2)>0,求出解集即可

【详解】不等式/-2x>0可化为

x(x-2)>0,

解得xVO或x>2；

二不等式的解集为或x>2}

故答案为(y,。)、(2,+8)

【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目

三、解答题(本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)

17、(I)(-8，*；(II)a<-l.

【解析】(I)由函数的定义域及值域的求法得A,B,可求AuB；

aIO1

(11)先求解3再由集合的补集的运算及集合间的包含关系得——<-,解得。

22

【详解】(I)由y=(gyx,x>-l,得0<y<4,即A=(0,4],

解不等式1—2x>0,得x<g，即B=1一

所以AuB=(—oo,4],

aa+2)

(II)解不等式3注-a)<l得：：<x<宥，即©=

5丁)

又C(jB=5，+°°]>

又Cc&B)=.,

a91

所以——<—，解得：a<-l,

22

【点睛】本题考查了函数的定义域及值域的求法，考查了集合的交集、补集的运算及集合间的包含关系，属于简单题

18、(1)2,-1；(2)a=~.

3

【解析】(1)本小题考查两直线平行的性质，当两直线的斜率存在且两直线平行时，他们的斜率相等，注意截距不相

等；由a(a—1)—2x1=0,得。=2或-1,经检验，均满足；(2)本小题考查两直线垂直的性质，当两直线斜率存在

时，两直线的斜率之积为-1,注意斜率不存在的情况；由于直线4的斜率存在，所以-一1—：［=—1，由此即可

求出结果.

试题解析：

(1)因为直线4：(a—l)x+2y+l=0的斜率存在，

又•••/他，

(2~11

.•・——=——,：.a=-l或a=2,两条直线在V轴是的截距不相等，

-2CL

所以〃=-1或。=2满足两条直线平行；

⑵因为两条直线4:(a—l)x+2y+1=0,l2:x+ay+3=0互相垂直，且直线4的斜率存在，所以―一1一g)=一1，

即(a—l)xl+2a=0,解得a=§.

点睛：设平面上两条直线的方程分别为乙：qx+伪y+q=0」2：。2%+打，+。2=0；

比值法:

/刖相交一/£(%也皿

4和4平行：—=(%也勺。。);

乙和/2垂直o岫+a2b2=0；

/0202

/1和/2重合•：：5=，=5(。2也，。2彳0)

“2,2'2

斜率法：

lx:y=k,x+bx=O.Z2:=k2x+b2=0(条件：两直线斜率都存在，则可化成点斜式)4与乙相交。女尸心

/］与(平行=勺=左2，4与4重合=勺=左2，"1=%；4与4垂直O左1此=J；

JITT

19、⑴增区间是［加一一，加+-］,左GZ(2)。=1

36

【解析】(1)首先根据已知条件，求出周期不，进而求出。的值，确定出函数解析式，由正弦函数的递增区间

——+2k7t,—+2kn,(左eZ),即可求出/(光)的递增区间

(2)由确定出的函数解析式，根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出函数的最大值,

即可得到。的值

解析：已知/(X)=2COS2，『+GS;:in<®x+a-2sin[ox+?)+a+1

,T7i2%

由一=一,贝n!r|T=TI=,/.w=2

22w

/.=2sin[2x+?)+a+l

TTTTTTTTIT

(1)令----|-2/rn<2xH----<----\-2kJt则----\-kn<x<----\-kn

26236

JTjr

故f(x)的增区间是同——,kn+—],kUZ

36

TTjrJT7

(2)当x£[0,—]时，一42x+—4—%

2666

।711

..sin(2x+—)E[——,1]

u2

+X

/(x)maxf()min=2+。+1+。=5.，.Q=1

点睛：这是一道求三角函数递增区间以及利用函数在某区间最大值求得参数的题目，主要考查了两角和的正弦函数

公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域和值域，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，属于中档题

20>(1)—9；(2)x=y=—.

4

31

【解析】(1)选取向量QA,OB为基底，根据平面向量基本定理得。尸=—OA+—03,又AB=O8—。4,然后根

44

据向量的数量积的运算量可得结果；(2)结合向量的线性运算可得PQ=-‘04-工03,然后与

44

7>。=》・。4+门03对照后可得工=丁=一：

【详解】选取向量04,03为基底

——33/-\3--1

(1)由已知得OP=03+3P=03+—•=03+—。4—03=—04+—03,

44、'44

AB=OB-OA>

AOPAB^\^OA+^OB^(OB-OA

3-2121

=——OA+-OB+-OAOB

442

=-12+1+2

=-9

(2)由(1)得PQ=OQ—8=！04—々OA—=—

24444

又PQ=xOA+y-OB,

1

J.x=y=——

4

【点睛】求向量数量积的方法

(1)根据数量积的定义求解，解题时需要选择平面的基底，将向量统一用同一基底表示，然后根据数量积的运算量求

解

(2)建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，将数量积的问题转化为数的运算的问题求解

—2tzx+4%3,-1(%«0?

21、(1)/(%)=3；⑵a>(6x)max=6；(3)见解析.

2tzx-4x,0<x<l.

【解析】分析：(1)当龙目―1,0］时，2-xe［2,3］,f(x)=g(2-x)=-2ax+4x\

当尤e(O,l］时，/(x)=/(-x)=2ta-4x3,从而可得结果；(2)由题设知，/'(%)>0对尤e(0』恒成立，即

2

2a—12/>。对％«0川恒成立，于是，a>6x,从而。>(6必入「6；(3)因为/(x)为偶函数，故只需研究

函数/(X)=2融-4三在的最大值，利用导数研究函数的单调性，讨论两种情