类比专题之新题型类比与推理-沪教版（上海）高中数学2019-2020学年高三数学二轮复习教案（教育机构专用）

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学二轮复习专题之高考中的新题型类比与推理教学目标1、掌握类比思想在具体解题中的应用2、掌握不同题型中的不同的类比原则知识梳理生活中，类比思想是处处存在的，惠更斯提出的波动说，是与水波、声波类比而受到的启发。英国医生詹纳发现的种牛痘可以预防天花，就是从挤奶女工感染了牛痘而不患天花中得到启发，从树叶的锯齿形状发明了锯，从雄鹰的飞起到制造飞机上天等。数学中，类比思想在等差和等比数列的研究中，在函数与数列的研究中处处都可以体现典例精讲数列中的类比推理例1（★★★）在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式成立.分析本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是：等差数列用减法定义性质用加法表述（若且则）；等比数列用除法定义性质用乘法表述（若且则）.由此，猜测本题的答案为：事实上，对等差数列，如果，则.所以有：）（）.从而对等比数列，如果，则有等式：成立.评注本题是一道小巧而富于思考的妙题，主要考查观察分析能力，抽象概括能力，考查运用类比的思想方法由等差数列而得到等比数列的新的一般性的结论。例2（★★★）设函数，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得的值为.分析此题利用类比课本中推导等差数列前项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，尝试着计算：，，，发现正好是一个定值，，.评注此题依据大纲和课本，在常见中求新意，在平凡中见奇巧，将分析和解决问题的能力的考查放在了突出的位置.本题通过弱化或强化条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别并变更出新的命题.这样，通过从课本出发，无论是对内容的发散，还是对解题思维的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，从而有效于发展学生创新的思维。例3（★★★）已知函数，.证明是奇函数，并求的单调区间.分别计算和的值，由此概括出涉及函数和的对所有不等于零的实数都成立的一个等式，并加以证明.分析（1）略；（2）分别计算得和的值都为零，由此概括出对所有不等于零的实数有：如果将式子中的5改成字母，可进一步推广.评注由数字型向字母型类比推广相当于从特例向一般推广，但其实质都是一般化策略.正如波利亚在其《怎样解题》中所阐述的一般化思想：“一般化就是从考虑一个对象，过渡到考虑包含该对象的一个集合，或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑一个包含该较小的集合的更大集合。”三、排列组合中的类比推理例4（★★★）规定：，其中，是正整数，且，这是组合数是正整数，且的一种推广.求的值；组合数的两个性质（）是否都能推广到（是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；（3）已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，.分析本题“新的规定（是正整数）”是组合数（是正整数，且）的一种推广.这个结论是中学数学教学内容中没有的，目的是考查考生对相关的数学思想方法的自觉运用以及创新思维能力.解：（1）根据新规定直接进行演算即可（2）性质①不能推广.反例：当时，有意义，但无意义.性质②能推广，且推广形式不变：是正整数）.证明如下：===（3）需要就与的大小作出逻辑划分并进行严密的论证.当时，都是正整数，就是组合数，结论显然成立；当时，，结论也成立；当时，，是正整数，故.综上所述，当，是正整数时，.评注本题以组合数为载体考查运用类比推理和分类讨论的数学思想方法，考查运算能力和创新思维能力。巩固练习1（★★★）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为，这个数列的前项和的计算公式为.分析由等和数列的定义，易知，（=1，2，…），故.当为偶数时，；当为奇数时，.评注本题以“等和数列”为载体，解决本题的关键是课本中所学的等差数列的有关知识及其数学活动的经验，本题还考查分类讨论的数学思想方法。巩固练习2（★★★）已知数列（为正整数）的首项为，公比为的等比数列.求和：；.由（1）的结果，归纳概括出关于正整数的一个结论，并加以证明.分析本题由（1）的结论，通过大胆猜测，归纳猜想出一般性的结论：（1）=，.（2）归纳概括的结论为：若数列是首项为，公比为的等比数列，则.（证明略）评注本题主要考查探索能力、类比归纳能力与论证能力，突出了创新能力的考查；通过抓住问题的实质，探讨具有共同的属性，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。回