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文档简介
函数y=(x-11)(x-16)(x-41)的主要性质主要内容:本文介绍函数y=(x-11)(x-16)(x-41)的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质,并用导数知识求解函数的单调区间和凸凹区间,简要画出函数图像的示意图。※.函数的定义域根据函数的特征,函数自变量x可取全体实数,则函数的定义域为:(-∞,+∞)。※.函数的单调性本题介绍通过导数的知识,计算函数的一阶导数,即可得到函数的驻点,根据驻点判断一阶导数的符号,来解析函数的单调性并求出函数的单调区间。∵y=(x-11)(x-16)(x-41)∴eq\f(dy,dx)=(x-16)(x-41)+(x-11)[(x-41)+(x-16)]=(x-16)(x-41)+(x-11)(2x-57)=3x2-2*68x+1283。令eq\f(dy,dx)=0,则:3x2-136x+1283=0,由二次方程求根公式求出两根为:x1=eq\f(68+5\r(31),3)≈31.9;x2=eq\f(68-5\r(31),3)≈13.4。此时,判断函数的单调性有:(1).当x∈(-∞,13.4]∪[31.9,+∞)时,eq\f(dy,dx)≥0,函数y在定义域上为增函数;(2).当x∈(13.4,31.9)时,eq\f(dy,dx)<0,函数y在定义域上为减函数。※.函数的凸凹性求出函数的二阶导数,得到函数的拐点,根据拐点判断二阶导数的符号,即可解析函数的凸凹性及凸凹区间。∵eq\f(dy,dx)=3x2-136x+1283,∴eq\f(d2y,dx2)=6x-136。令eq\f(d2y,dx2)=0,则x=eq\f(68,3)≈22.7.(1).当x∈(-∞,22.7],eq\f(d2y,dx2)≤0,此时函数y为凸函数;(2).当x∈(22.7,+∞),eq\f(d2y,dx2)>0,此时函数y为凹函数。※.函数的极限eq\s(lim,x→-∞)(x-11)(x-16)(x-41)=-∞;eq\s(lim,x→+∞)(x-11)(x-16)(x-41)=+∞。※.函数的五点图x1213.422.731.932.5x-1112.411.720.921.5x-16-4-2.66.715.916.5x-41-29-27.6-18.3-9.1-8.5y116172.2-1434.5-3024.0-3015.4※.函数的示意图y=(x-11)(x-16)(x-41)y(13.4,172.2) x(12,116.0)(22.7,-1434.5)(32.5,-3015.4)
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