专题07 机械振动（原卷版）

专题07机械振动重难点01简谐运动的规律一、简谐运动基本物理量的分析受力特征回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反运动特征靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小能量特征振幅越大，能量越大．在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒周期性特征质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为eq\f(T,2)对称性特征关于平衡位置O对称的两点，加速度的大小、速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等例1.(2021·广东卷)如图所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离A后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T。经时间，小球从最低点向上运动的距离_____(选填“大于”、“小于”或“等于”)；在时刻，小球的动能______(选填“最大”或“最小”)。针对训练1.(多选)如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以O点为平衡位置，在C、D两点之间做周期为T的简谐运动．已知在t1时刻物块的速度大小为v、方向向下，动能为Ek.下列说法正确的是()A．如果在t2时刻物块的速度大小也为v，方向向下，则t2－t1的最小值小于eq\f(T,2)B．如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2－t1的最小值为eq\f(T,2)C．当物块通过O点时，其加速度最小D．物块在C、D两点的加速度相同二、简谐运动的周期性与对称性例2.(2021·河北卷)如图，一弹簧振子沿x轴做简谐运动，振子零时刻向右经过A点，后第一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，内经过的路程为0.4m。该弹簧振子的周期为________s，振幅为______m。针对训练2．(多选)(2018·天津卷·8)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点．t＝0时振子的位移为－0.1m，t＝1s时位移为0.1m，则()A．若振幅为0.1m，振子的周期可能为eq\f(2,3)sB．若振幅为0.1m，振子的周期可能为eq\f(4,5)sC．若振幅为0.2m，振子的周期可能为4sD．若振幅为0.2m，振子的周期可能为6s重难点02简谐运动图像的理解和应用一、从图像可获取的信息(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0．(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移．(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定．(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同．(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况．二、简谐运动的对称性(1)相隔Δt＝(n＋eq\f(1,2))T(n＝0,1,2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向(或都为零)，速度等大反向(或都为零)，加速度等大反向(或都为零)．(2)相隔Δt＝nT(n＝1,2,3…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移、速度和加速度都相同．例3.(多选)(2019·福建省调研)如图甲所示，以O点为平衡位置，弹簧振子在A、B两点间做简谐运动，图乙为这个弹簧振子的振动图像．下列说法中正确的是()A．在t＝0.2s时，弹簧振子的加速度为正向最大B．在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子在同一位置C．从t＝0到t＝0.2s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动D．在t＝0.6s时，弹簧振子有最小的弹性势能针对训练3．(从简谐运动的图像看位移、速度关系)(多选)(2020·山东济宁一中模拟)一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列叙述正确的是()A．质点的振动频率为4HzB．在10s内质点经过的路程是20cmC．在t＝1.5s和t＝4.5s两时刻质点的位移大小相等D．在t＝1.5s和t＝4.5s两时刻质点的速度相同重难点03单摆及其周期公式一、单摆的受力特征(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝mgsinθ＝－eq\f(mg,l)x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反．(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcosθ.(3)两点说明①当摆球在最高点时，F向＝0，FT＝mgcosθ.②当摆球在最低点时，F向＝mvmax2l，F向最大，FT＝mg＋例4.(2021·江苏常州一模)如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆。当a摆振动的时候，其余各摆在a摆的驱动下也逐步振动起来，不计空气阻力，达到稳定时，b摆的振动图像如图乙。下列说法正确的是()A.稳定时b摆的振幅最大B.稳定时b摆的周期最大C.由图乙可以估算出b摆的摆长D.由图乙可以估算出c摆的摆长针对训练4.(多选)如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图像，则下列说法中正确的是()A．甲、乙两摆的振幅之比为2∶1B．t＝2s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零C．甲、乙两摆的摆长之比为4∶1D．甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小一定相等重难点04受迫振动和共振一、简谐运动、受迫振动和共振的比较振动项目简谐运动受迫振动共振受力情况受回复力受驱动力作用受驱动力作用振动周期或频率由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱T驱＝T0或f驱＝f0振动能量振动系统的机械能不变由产生驱动力的物体提供振动物体获得的能量最大常见例子弹簧振子或单摆(θ≤5°)机械工作时底座发生的振动共振筛、声音的共鸣等例5．(2020·山东青岛市西海岸区模拟)两单摆在不同的驱动力作用下其振幅A随驱动力频率f变化的图像如图中甲、乙所示，则下列说法正确的是()A．单摆振动时的频率与固有频率有关，振幅与固有频率无关B．若两单摆放在同一地点，则甲、乙两单摆的摆长之比为4∶1C．若两单摆摆长相同放在不同的地点，则甲、乙两单摆所处两地的重力加速度之比为4∶1D．周期为2s的单摆叫作秒摆，在地面附近，秒摆的摆长约为2m针对训练5．(受迫振动)(多选)(2020·浙江杭州市西湖区调研节选)如图所示为受迫振动的演示装置，在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，可以用一个单摆(称为“驱动摆”)驱动另外几个单摆．下列说法正确的是()A．某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度可能不同但加速度一定相同B．如果驱动摆的摆长为L，则其他单摆的振动周期都等于2πeq\r(\f(L,g))C．驱动摆只把振动形式传播给其他单摆，不传播能量D．如果某个单摆的摆长等于驱动摆的摆长，则这个单摆的振幅最大专题07机械振动重难点01简谐运动的规律一、简谐运动基本物理量的分析受力特征回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反运动特征靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小能量特征振幅越大，能量越大．在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒周期性特征质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为eq\f(T,2)对称性特征关于平衡位置O对称的两点，加速度的大小、速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等例1.(2021·广东卷)如图所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离A后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T。经时间，小球从最低点向上运动的距离_____(选填“大于”、“小于”或“等于”)；在时刻，小球的动能______(选填“最大”或“最小”)。

【答案】(1)小于(2)最大【分析】[1]根据简谐振动的位移公式则时有所以小球从最低点向上运动的距离为则小球从最低点向上运动的距离小于。[2]在时，小球回到平衡位置，具有最大的振动速度，所以小球的动能最大。针对训练1.(多选)如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以O点为平衡位置，在C、D两点之间做周期为T的简谐运动．已知在t1时刻物块的速度大小为v、方向向下，动能为Ek.下列说法正确的是()A．如果在t2时刻物块的速度大小也为v，方向向下，则t2－t1的最小值小于eq\f(T,2)B．如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2－t1的最小值为eq\f(T,2)C．当物块通过O点时，其加速度最小D．物块在C、D两点的加速度相同【答案】AC【解析】如果在t1时刻物块位于O点上方且向下运动，t2时刻物块位于O点下方且与t1时刻物块速度相同，则t2－t1的最小值小于eq\f(T,2)，选项A正确；如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2时刻物块速度与t1时刻大小相等，方向可能相同，也可能相反，t2－t1的最小值小于eq\f(T,2)，选项B错误；题图中O点是平衡位置，物块通过O点时位移最小，根据a＝－eq\f(kx,m)知，其加速度最小，选项C正确；C、D两点关于平衡位置对称，加速度等大反向，选项D错误．二、简谐运动的周期性与对称性例2.(2021·河北卷)如图，一弹簧振子沿x轴做简谐运动，振子零时刻向右经过A点，后第一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，内经过的路程为0.4m。该弹簧振子的周期为________s，振幅为______m。

【答案】(1)4(2)0.2【解析】[1]根据简谐运动对称性可知，振子零时刻向右经过A点，后第一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，则A、B两点关于平衡位置对称，而振动经过了半个周期的运动，则周期为[2]从A到B经过了半个周期的振动，路程为，而一个完整的周期路程为0.8m，为4个振幅的路程，有解得振幅为针对训练2．(多选)(2018·天津卷·8)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点．t＝0时振子的位移为－0.1m，t＝1s时位移为0.1m，则()A．若振幅为0.1m，振子的周期可能为eq\f(2,3)sB．若振幅为0.1m，振子的周期可能为eq\f(4,5)sC．若振幅为0.2m，振子的周期可能为4sD．若振幅为0.2m，振子的周期可能为6s【答案】AD【解析】若振幅为0.1m，则t＝eq\f(T,2)＋nT(n＝0,1,2，…)．当n＝0时，T＝2s；n＝1时，T＝eq\f(2,3)s；n＝2时，T＝eq\f(2,5)s.故选项A正确，选项B错误．若振幅为0.2m，振动分两种情况讨论：①振子振动如图甲所示，则振子由C点振动到D点用时至少为eq\f(T,2)，周期最大为2s.②振子振动如图乙中实线所示．由x＝Asin(ωt＋φ)知t＝0时，－eq\f(A,2)＝Asinφ，φ＝－eq\f(π,6)，即振子由C点振动到O点用时至少为eq\f(T,12)，由简谐运动的对称性可知，振子由C点振动到D点用时至少为eq\f(T,6)，则T最大为6s；若由C点振动到O点用时1eq\f(1,12)T，振子由C点振动到D点用时eq\f(7,6)T，则T为eq\f(6,7)s.若振子振动如图乙中虚线所示，振子由C点振动到D点用时至少eq\f(T,2)，周期最大为2s.综上所述，选项C错误，D正确．重难点02简谐运动图像的理解和应用一、从图像可获取的信息(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0．(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移．(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定．(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同．(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况．二、简谐运动的对称性(1)相隔Δt＝(n＋eq\f(1,2))T(n＝0,1,2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向(或都为零)，速度等大反向(或都为零)，加速度等大反向(或都为零)．(2)相隔Δt＝nT(n＝1,2,3…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移、速度和加速度都相同．例3.(多选)(2019·福建省调研)如图甲所示，以O点为平衡位置，弹簧振子在A、B两点间做简谐运动，图乙为这个弹簧振子的振动图像．下列说法中正确的是()A．在t＝0.2s时，弹簧振子的加速度为正向最大B．在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子在同一位置C．从t＝0到t＝0.2s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动D．在t＝0.6s时，弹簧振子有最小的弹性势能【答案】BC【解析】在t＝0.2s时，弹簧振子的位移为正向最大值，a＝－eq\f(kx,m)，知弹簧振子的加速度为负向最大，A错误；在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子的位移相同，说明弹簧振子在同一位置，B正确；从t＝0到t＝0.2s时间内，弹簧振子从平衡位置向最大位移处运动，位移逐渐增大，加速度逐渐增大，加速度方向与速度方向相反，弹簧振子做加速度增大的减速运动，C正确；在t＝0.6s时，弹簧振子的位移为负向最大值，即弹簧的形变量最大，弹簧振子的弹性势能最大，D错误．针对训练3．(从简谐运动的图像看位移、速度关系)(多选)(2020·山东济宁一中模拟)一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列叙述正确的是()A．质点的振动频率为4HzB．在10s内质点经过的路程是20cmC．在t＝1.5s和t＝4.5s两时刻质点的位移大小相等D．在t＝1.5s和t＝4.5s两时刻质点的速度相同【答案】BC【解析】由题图读出质点的振动周期为T＝4s，则频率为f＝eq\f(1,T)＝0.25Hz，故A错误；质点在一个周期内通过的路程是4个振幅，t＝10s＝2.5T，则在10s内质点经过的路程是s＝2.5×4A＝20cm，故B正确；由题图知，在t＝1.5s和t＝4.5s两时刻质点的位移大小相等，速度大小相等、方向相反，故C正确，D错误．重难点03单摆及其周期公式一、单摆的受力特征(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝mgsinθ＝－eq\f(mg,l)x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反．(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcosθ.(3)两点说明①当摆球在最高点时，F向＝0，FT＝mgcosθ.②当摆球在最低点时，F向＝mvmax2l，F向最大，FT例4.(2021·江苏常州一模)如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆。当a摆振动的时候，其余各摆在a摆的驱动下也逐步振动起来，不计空气阻力，达到稳定时，b摆的振动图像如图乙。下列说法正确的是()A.稳定时b摆的振幅最大B.稳定时b摆的周期最大C.由图乙可以估算出b摆的摆长D.由图乙可以估算出c摆的摆长【答案】D【分析】受迫振动的频率等于驱动率的频率，当驱动力的频率接近物体的固有频率时，振幅最大，即共振；再利用单摆的周期公式求摆长。解：A、a摆摆动起来后，通过水平绳子对b、c两个摆施加周期性的驱动力，使b、c两个摆做受迫振动，由于a摆提供的驱动力的周期和c摆的固有周期相同，所以c摆发生了共振，c摆的振幅是最大的，故A错误；B、b、c两摆做受迫振动的频率等于驱动力的频率，都等于a摆的频率，则两摆的周期相同，都等于a摆的周期，因为Tb＝t0，所以c摆和a摆的周期也都为t0，故B错误；C、由于b摆做受迫振动，所以其固有频率未知，即固有周期未知，所以无法求得b摆的摆长，故C错误；D、根据单摆的周期公式T＝2π，由于a摆提供的驱动力的周期和c摆的固有周期相同，结合图乙所可以估算出c摆的摆长，故D正确。故选：D。【点评】解决该题需要掌握故有周期的求解公式，知道a摆是作为驱动力，而b和c摆做的是受迫振动，其频率和周期与a摆的频率、周期相同。针对训练4.(多选)如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图像，则下列说法中正确的是()A．甲、乙两摆的振幅之比为2∶1B．t＝2s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零C．甲、乙两摆的摆长之比为4∶1D．甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小一定相等【答案】AB【解析】由题图知甲、乙两摆的振幅分别为2cm、1cm，故A正确；t＝2s时，甲摆在平衡位置处，重力势能最小，乙摆在正的最大位移处，动能为零，B正确；甲、乙两摆的周期之比为1∶2，由单摆的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，得到甲、乙两摆的摆长之比为1∶4，C错误；由题目中的条件不能比较甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小，D错误．重难点04受迫振动和共振一、简谐运动、受迫振动和共振的比较振动项目简谐运动受迫振动共振受力情况受回复力受驱动力作用受驱动力作用振动周期或频率由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱T驱＝T0或f驱＝f0振动能量振动系统的机械能不变由产生驱动力的物体提供振动物体获得的能量最大常见例子弹簧振子或单摆(θ≤5°)机械工作时底座发生的振动共振筛、声音的共鸣等例5．(2020·山东青岛市西海岸区模拟)两单摆在不同的驱动力作用下其振幅A随驱动力频率f变化的图像如图中甲、乙所示，则下列说法正确的是()A．单摆振动时的频率与固有频率有关，振幅与固有频率无关B．若两单摆放在同一地点，则甲、乙两单摆的摆长之比为4∶1C．若两单摆摆长相同放在不同的地点，则甲