专题02动量守恒定律（原卷版）

专项二动量守恒定律重难点01动量守恒定律的推导及基本应用一、推导【创设情境】如图所示，光滑水平桌面上质量分别为m1、m2的球A、B，沿着同一直线分别以v1和v2的速度同向运动，v2>v1.当B球追上A球时发生碰撞，碰撞后A、B两球的速度分别为v1′和v2′.请根据牛顿第三定律，结合动量定理推导动量守恒定律二、理解动量守恒定律1.动量守恒定律成立的条件：(1)系统不受外力或者所受外力的合力为零．(2)系统外力远小于内力时，外力的作用可以忽略，系统的动量守恒．(3)系统在某个方向上的合外力为零时，系统在该方向上动量守恒．3．动量守恒定律的表达式：(1)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′(作用前后动量相等，选择初末状态，写出守恒方程)．(2)Δp1＝－Δp2（相互作用的两个物体组成的系统，两物体动量的增量大小相等、方向相反)．4、普适性：动量守恒定律既适用于低速物体，也适用于高速物体.既适用于宏观物体，也适用于微观物体.三、对守恒条件的考查例1.(多选)如图所示，A、B两物体质量之比mA∶mB＝3∶2，原来静止在平板小车C上，A、B间有一根被压缩的轻弹簧，地面光滑，当弹簧突然释放后，则()A．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B组成的系统的动量守恒B．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B、C组成的系统的动量守恒C．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B组成的系统的动量守恒D．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B、C组成的系统的动量守恒针对训练1.如图所示，一带有eq\f(1,2)光滑圆弧轨道的小车静止在光滑的水平面上，一个可视为质点的小球从圆弧A端正上方由静止释放，刚好从A点无碰撞地进入圆弧小车，AB是圆弧的水平直径，在小球从A向B运动的过程中，下列说法正确的是()A．小球和小车组成的系统动量守恒B．小球运动到圆弧轨道最低点时，小车的速度最大C．小球运动到B点时的速度大小等于小球在A点时的速度大小D．小球从B点抛出后，向上做斜上抛运动针对训练2.(2019·福建莆田一中月考)(多选)向空中发射一物体(不计空气阻力)，当物体的速度恰好沿水平方向时，物体炸裂为a、b两块，若质量较大的a的速度方向仍沿原来的方向，则()A．b的速度方向一定与原速度方向相反B．从炸裂到落地这段时间里，a飞行的水平距离一定比b的大C．a、b一定同时到达地面D．炸裂的过程中，a、b的动量变化大小一定相等总结：四、应用动量守恒定律求解物体的质量例2、(2020·全国卷Ⅲ·15)甲、乙两个物块在光滑水平桌面上沿同一直线运动，甲追上乙，并与乙发生碰撞，碰撞前后甲、乙的速度随时间的变化如图中实线所示．已知甲的质量为1kg，则碰撞过程两物块损失的机械能为()A．3JB．4JC．5JD．6J针对训练3．(多选)(2019·山东青岛市模拟)某研究小组通过实验测得两滑块碰撞前后运动的实验数据，得到如图所示的位移—时间图像．图中的线段a、b、c分别表示沿光滑水平面上同一条直线运动的滑块Ⅰ、Ⅱ和它们发生正碰后结合体的位移随时间变化关系．已知相互作用时间极短，由图像给出的信息可知()A．碰前滑块Ⅰ与滑块Ⅱ速度大小之比为5∶2B．碰前滑块Ⅰ的动量大小比滑块Ⅱ的动量大小大C．碰前滑块Ⅰ的动能比滑块Ⅱ的动能小D．滑块Ⅰ的质量是滑块Ⅱ的质量的eq\f(1,6)总结：重难点02动量守恒定律的临界问题例3、如图所示，甲车质量m1＝20kg，车上有质量M＝50kg的人，甲车(连同车上的人)以v＝3m/s的速度向右滑行，此时质量m2＝50kg的乙车正以v0＝1.8m/s的速度迎面滑来，为了避免两车相撞，当两车相距适当距离时，人从甲车跳到乙车上，则人跳出甲车的水平速度(相对地面)应当在什么范围内才能避免两车相撞？不计地面和小车的摩擦，且乙车足够长．例4、(多选)(2020·全国卷Ⅱ·21)水平冰面上有一固定的竖直挡板，一滑冰运动员面对挡板静止在冰面上，他把一质量为4.0kg的静止物块以大小为5.0m/s的速度沿与挡板垂直的方向推向挡板，运动员获得退行速度；物块与挡板弹性碰撞，速度反向，追上运动员时，运动员又把物块推向挡板，使其再一次以大小为5.0m/s的速度与挡板弹性碰撞．总共经过8次这样推物块后，运动员退行速度的大小大于5.0m/s，反弹的物块不能再追上运动员．不计冰面的摩擦力，该运动员的质量可能为()A．48kgB．53kgC．58kgD．63kg针对训练4、如图7所示，在光滑水平面上有A、B两辆小车，水平面的左侧有一竖直墙，在小车B上坐着一个小孩，小孩与B车的总质量是A车质量的10倍．两车开始都处于静止状态，小孩把A车以相对于地面的速度v推出，A车与墙壁碰后仍以原速率返回，小孩接到A车后，又把它以相对于地面的速度v推出．每次推出，A车相对于地面的速度都是v，方向向左．则小孩把A车推出几次后，A车返回时小孩不能再接到A车()A．5B．6C．7D．8例5、(2016·全国卷Ⅱ·35(2))如图，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上．某时刻小孩将冰块以相对冰面3m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h＝0.3m(h小于斜面体的高度)．已知小孩与滑板的总质量为m1＝30kg，冰块的质量为m2＝10kg，小孩与滑板始终无相对运动．取重力加速度的大小g＝10m/s2.(1)求斜面体的质量；(2)通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？针对训练5、（2015·全国新课标Ⅰ·35（2））如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为，B、C的质量都为，三者都处于静止状态，现使A以某一速度向右运动，求和之间满足什么条件才能使A只与B、C各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性的。总结：重难点03动量守恒定律与机械能结合问题例6、如图所示，质量为4m的光滑物块a静止在光滑水平地面上，物块a左侧面为圆弧面且水平地面相切，质量为m的滑块b以初速度向右运动滑上a，沿a左侧面上滑一段距离后又返回，最后滑离a，不计一切摩擦，滑块b从滑上a到滑离a的过程中，下列说法正确的是（）A．滑块b沿a上升的最大高度为B．滑块a运动的最大速度C．滑块b沿a上升的最大高度为D．滑块a运动的最大速度针对训练6、(2019·江西师范大学附属中学模拟)如图6所示，形状完全相同的光滑弧形槽A、B静止在足够大的光滑水平面上，两弧形槽相对放置，底端与光滑水平面相切，弧形槽的高度为h，弧形槽A的质量为2m，弧形槽B的质量为M.质量为m的小球，从弧形槽A顶端由静止释放，重力加速度为g.(1)求小球从弧形槽A的顶端滑下后的最大速度大小；(2)若小球从弧形槽B上滑下后还能追上弧形槽A，求M、m间所满足的关系．专项二动量守恒定律重难点01动量守恒定律的推导及基本应用一、推导【创设情境】如图所示，光滑水平桌面上质量分别为m1、m2的球A、B，沿着同一直线分别以v1和v2的速度同向运动，v2>v1.当B球追上A球时发生碰撞，碰撞后A、B两球的速度分别为v1′和v2′.请根据牛顿第三定律，结合动量定理推导动量守恒定律【分析】设碰撞过程中两球受到的作用力分别为F1、F2，相互作用时间为t.根据动量定理：F1t＝m1(v1′－v1)，F2t＝m2(v2′－v2).因为F1与F2是两球间的相互作用力，根据牛顿第三定律知，F1＝－F2，则有：m1v1′－m1v1＝－(m2v2′－m2v2)即m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′二、理解动量守恒定律1.动量守恒定律成立的条件：(1)系统不受外力或者所受外力的合力为零．(2)系统外力远小于内力时，外力的作用可以忽略，系统的动量守恒．(3)系统在某个方向上的合外力为零时，系统在该方向上动量守恒．3．动量守恒定律的表达式：(1)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′(作用前后动量相等，选择初末状态，写出守恒方程)．(2)Δp1＝－Δp2（相互作用的两个物体组成的系统，两物体动量的增量大小相等、方向相反)．4、普适性：动量守恒定律既适用于低速物体，也适用于高速物体.既适用于宏观物体，也适用于微观物体.三、对守恒条件的考查例1.(多选)如图所示，A、B两物体质量之比mA∶mB＝3∶2，原来静止在平板小车C上，A、B间有一根被压缩的轻弹簧，地面光滑，当弹簧突然释放后，则()A．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B组成的系统的动量守恒B．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B、C组成的系统的动量守恒C．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B组成的系统的动量守恒D．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B、C组成的系统的动量守恒【答案】ABD【分析】AC.研究对象是A、B组成的系统，C给A、B的摩擦力是外力，但大小相等，所以A、B组成的系统动量守恒。C项摩擦因数相等，但摩擦力大小不相等，系统所受合外力不是零，所以A、B组成的系统动量不守恒。BD.研究对象是A、B、C组成的系统，C给A、B的摩擦力是内力，无论A、B所受摩擦力大小是否相等，A、B、C组成的系统动量守恒。选ABD。针对训练1.如图所示，一带有eq\f(1,2)光滑圆弧轨道的小车静止在光滑的水平面上，一个可视为质点的小球从圆弧A端正上方由静止释放，刚好从A点无碰撞地进入圆弧小车，AB是圆弧的水平直径，在小球从A向B运动的过程中，下列说法正确的是()A．小球和小车组成的系统动量守恒B．小球运动到圆弧轨道最低点时，小车的速度最大C．小球运动到B点时的速度大小等于小球在A点时的速度大小D．小球从B点抛出后，向上做斜上抛运动【答案】BC【分析】小车和小球水平方向合外力为零，水平方向动量守恒，选项A错误。小球先做自由落体运动，到达A点，从A点下滑到小车半圆槽的最低点之前，除了重力外，槽对小球的弹力对小球做正功，小球水平方向速度向右，小球对小车的弹力对小车做正功，小车水平向左运动。小球到达小车半圆槽的最低点之后，槽对小球的弹力对小球做负功，小球水平方向速度依然向右，所以小球向右减速运动，小球对小车的弹力对小车做负功，小车依然水平向左运动，小车向左减速运动。因此小球在最低点速度最大，B项正确。小球从A点到B点过程中，水平方向动量守恒，系统机械能守恒，初态总动量为零，末态小球到达等高处，总动量为零。小球只有竖直方向的速度，并且与在A点时速度相等，C项正确。小球在B点速度方向竖直向上，从B点抛出后做竖直上抛运动，D项错误。针对训练2.(2019·福建莆田一中月考)(多选)向空中发射一物体(不计空气阻力)，当物体的速度恰好沿水平方向时，物体炸裂为a、b两块，若质量较大的a的速度方向仍沿原来的方向，则()A．b的速度方向一定与原速度方向相反B．从炸裂到落地这段时间里，a飞行的水平距离一定比b的大C．a、b一定同时到达地面D．炸裂的过程中，a、b的动量变化大小一定相等【答案】BC【分析】本题考查爆炸过程中的动量守恒与平抛运动。在炸裂过程中，内力远大于外力，系统在水平方向动量守恒。在炸裂过程中，a、b受到爆炸力大小相等，作用时间相同，则爆炸力对a、b的冲量大小一定相等，即炸裂的过程中，a、b的动量变化大小一定相等，D正确。炸裂前物体的速度沿水平方向，炸裂后a的速度沿原来的水平方向，根据动量守恒定律可知b的速度一定沿水平方向，但不一定与原速度方向相反，取决于a的动量与物体原来动量的大小关系，A错误；a、b都做平抛运动，下落高度相同，则飞行时间相同，a、b一定同时到达地面，a质量较大，但b的平抛初速度大小不一定比a小，所以a飞行的水平距离不一定比b的大，B错误，C正确。四、应用动量守恒定律求解物体的质量例2、(2020·全国卷Ⅲ·15)甲、乙两个物块在光滑水平桌面上沿同一直线运动，甲追上乙，并与乙发生碰撞，碰撞前后甲、乙的速度随时间的变化如图中实线所示．已知甲的质量为1kg，则碰撞过程两物块损失的机械能为()A．3JB．4JC．5JD．6J【答案】A【分析】根据v-t图像，碰撞前甲、乙的速度分别为v甲＝5.0m/s，v乙＝1.0m/s，碰撞后甲、乙的速度分别为v甲′＝－1.0m/s，v乙′＝2.0m/s，碰撞过程由动量守恒定律得m甲v甲＋m乙v乙＝m甲v甲′＋m乙v乙′，解得m乙＝6kg，碰撞过程损失的机械能ΔE＝eq\f(1,2)m甲v甲2＋eq\f(1,2)m乙v乙2－eq\f(1,2)m甲v甲′2－eq\f(1,2)m乙v乙′2，解得ΔE＝3J，故选A.针对训练3．(多选)(2019·山东青岛市模拟)某研究小组通过实验测得两滑块碰撞前后运动的实验数据，得到如图所示的位移—时间图像．图中的线段a、b、c分别表示沿光滑水平面上同一条直线运动的滑块Ⅰ、Ⅱ和它们发生正碰后结合体的位移随时间变化关系．已知相互作用时间极短，由图像给出的信息可知()A．碰前滑块Ⅰ与滑块Ⅱ速度大小之比为5∶2B．碰前滑块Ⅰ的动量大小比滑块Ⅱ的动量大小大C．碰前滑块Ⅰ的动能比滑块Ⅱ的动能小D．滑块Ⅰ的质量是滑块Ⅱ的质量的eq\f(1,6)【答案】AD【分析】根据x－t图像的斜率求速度，可知碰前滑块Ⅰ速度为v1＝－2m/s，滑块Ⅱ的速度为v2＝0.8m/s，碰撞后的共同速度为v＝0.4m/s，则碰前速度大小之比为5∶2，故选项A正确；根据动量守恒定律，有m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v，解得m2＝6m1，由动量的表达式可知|m1v1|＜m2v2，由动能的表达式可知，eq\f(1,2)m1v12>eq\f(1,2)mv22，故选项B、C错误，D正确．重难点02动量守恒定律的临界问题例3、如图所示，甲车质量m1＝20kg，车上有质量M＝50kg的人，甲车(连同车上的人)以v＝3m/s的速度向右滑行，此时质量m2＝50kg的乙车正以v0＝1.8m/s的速度迎面滑来，为了避免两车相撞，当两车相距适当距离时，人从甲车跳到乙车上，则人跳出甲车的水平速度(相对地面)应当在什么范围内才能避免两车相撞？不计地面和小车的摩擦，且乙车足够长．【答案】大于或等于3.8m/s【分析】分析出避免两车相撞的临界条件是关键。正确的选取研究对象，利用系统动量守恒解题。人跳到乙车上后，如果两车同向，且甲车的速度等于乙车的速度就可以恰好避免两车相撞以人、甲车、乙车组成的系统为研究对象，以向右为正方向由水平方向动量守恒得(m1＋M)v－m2v0＝(m1＋m2＋M)v′解得v′＝1m/s以人与甲车为一系统，人跳离甲车过程水平方向动量守恒，得(m1＋M)v＝m1v′＋Mu解得u＝3.8m/s因此，只要人跳离甲车的速度大于或等于3.8m/s，就可避免两车相撞．例4、(多选)(2020·全国卷Ⅱ·21)水平冰面上有一固定的竖直挡板，一滑冰运动员面对挡板静止在冰面上，他把一质量为4.0kg的静止物块以大小为5.0m/s的速度沿与挡板垂直的方向推向挡板，运动员获得退行速度；物块与挡板弹性碰撞，速度反向，追上运动员时，运动员又把物块推向挡板，使其再一次以大小为5.0m/s的速度与挡板弹性碰撞．总共经过8次这样推物块后，运动员退行速度的大小大于5.0m/s，反弹的物块不能再追上运动员．不计冰面的摩擦力，该运动员的质量可能为()A．48kgB．53kgC．58kgD．63kg【答案】BC【分析】本题用到归纳法，归纳出速度的表达式的通式。设运动员的质量为M，第一次推物块后，运动员速度大小为v1，第二次推物块后，运动员速度大小为v2……第八次推物块后，运动员速度大小为v8，第一次推物块后，由动量守恒定律知：Mv1＝mv0；第二次推物块后由动量守恒定律知：M(v2－v1)＝m[v0－(－v0)]＝2mv0，……，第n次推物块后，由动量守恒定律知：M(vn－vn－1)＝2mv0，整理得vn=2n−1mv0M，则v7＝eq\f(260kg·m/s,M)，v8＝eq\f(300kg·m/s,M).由题意知，v7<5m/s，则M>52kg，又知v8针对训练4、如图7所示，在光滑水平面上有A、B两辆小车，水平面的左侧有一竖直墙，在小车B上坐着一个小孩，小孩与B车的总质量是A车质量的10倍．两车开始都处于静止状态，小孩把A车以相对于地面的速度v推出，A车与墙壁碰后仍以原速率返回，小孩接到A车后，又把它以相对于地面的速度v推出．每次推出，A车相对于地面的速度都是v，方向向左．则小孩把A车推出几次后，A车返回时小孩不能再接到A车()A．5B．6C．7D．8【答案】B【分析】分析A车返回时小孩不能接到A车的临界条件时关键。取水平向右为正方向，小孩第一次推出A车时，有mBv1－mAv＝0，解得v1＝eq\f(mA,mB)v，第n次推出A车时，有mAv＋mBvn－1＝－mAv＋mBvn，则vn－vn－1＝eq\f(2mA,mB)v，所以vn＝v1＋(n－1)eq\f(2mA,mB)v，当vn≥v时，再也接不到小车，由以上各式得n≥5.5，取n＝6，故选B.例5、(2016·全国卷Ⅱ·35(2))如图，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上．某时刻小孩将冰块以相对冰面3m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h＝0.3m(h小于斜面体的高度)．已知小孩与滑板的总质量为m1＝30kg，冰块的质量为m2＝10kg，小孩与滑板始终无相对运动．取重力加速度的大小g＝10m/s2.(1)求斜面体的质量；(2)通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？【答案】(1)20kg(2)不能【分析】是否能追上小孩是看冰块和斜面相互作用后与小孩速度大小关系。(1)规定向左为正方向．冰块在斜面体上上升到最大高度时两者达到共同速度，设此共同速度为v，斜面体的质量为m3.对冰块与斜面体，由水平方向动量守恒和机械能守恒定律得m2v0＝(m2＋m3)v①eq\f(1,2)m2v02＝eq\f(1,2)(m2＋m3)v2＋m2gh②式中v0＝3m/s为冰块推出时的速度，联立①②式并代入题给数据得v＝1m/s，m3＝20kg③(2)设小孩推出冰块后的速度为v1，对小孩与冰块，由动量守恒定律有m1v1＋m2v0＝0④代入数据得v1＝－1m/s⑤设冰块与斜面体分离后的速度分别为v2和v3，对冰块与斜面体，由动量守恒和机械能守恒定律有m2v0＝m2v2＋m3v3⑥eq\f(1,2)m2v02＝eq\f(1,2)m2v22＋eq\f(1,2)m3v32⑦联立③⑥⑦式并代入数据得v2＝－1m/s⑧由于冰块与斜面体分离后的速度与小孩推出冰块后的速度相同且冰块处在后方，故冰块不能追上小孩．重难点03动量守恒定律与机械能结合问题例4、如图所示，质量为4m的光滑物块a静止在光滑水平地面上，物块a左侧面为圆弧面且水平地面相切，质量为m的滑块b以初速度向右运动滑上a，沿a左侧面上滑一段距离后又返回，最后滑离a，不计一