2024年江苏省淮安市淮安区中考数学二模试卷

2024年江苏省淮安市淮安区中考数学二模试卷一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）﹣2024的倒数是（）A．﹣2024 B．2024 C． D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a6 B．（﹣3a2b）2＝6a4b2 C．﹣a2+2a2＝a2 D．（a﹣b）2＝a2﹣b23．（3分）第19届亚运会即将在杭州举办，据官网消息杭州奥体中心体育场建筑总面积约为216000平方米，数据216000用科学记数法表示为（）A．2.16×105 B．21.6×104 C．2.16×104 D．216×1034．（3分）如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（）A． B． C． D．5．（3分）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（）A．40° B．45° C．50° D．55°6．（3分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示．成绩/米1.501.601.651.701.75人数23541这些运动员成绩的众数和中位数分别为（）A．1.65米，1.65米 B．1.65米，1.70米 C．1.75米，1.65米 D．1.50米，1.60米7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD的度数为122°，则∠DCE的度数为（）A．64° B．61° C．62° D．60°8．（3分）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC﹣CD﹣DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则y的最大值是（）A．55 B．30 C．16 D．15二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把正确答案直接写在答题卡相应位置上）9．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．10．（3分）若m2﹣n2＝﹣6，且m﹣n＝﹣3，则m+n＝．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0没有实数根，则m的取值范围是．12．（3分）有五张看上去无差别的卡片，正面分别写着，，﹣0.5，π，0．背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是．13．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3）和（﹣1，2），则k2﹣b2＝．14．（3分）若用半径为5的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为．15．（3分）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，4），⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB最小值是．16．（3分）如图，已知，等边△ABC中，AB＝6，将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，连接BD，交AC于O点，E点在OD上，且DE＝2OE，F是BC的中点，P是AC上的一个动点，则|PF﹣PE|的最大值为．三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（16分）计算．（1）；（2）解不等式组，并写出它的所有的整数解．18．（6分）先化简，再求值：，请在﹣2，1，3中选择一个适当的数作为a值．19．（8分）如图，AC是菱形ABCD的对角线．（1）作边AB的垂直平分线，分别与AB，AC交于点E，F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，连接FB，若∠D＝140°，求∠CBF的度数．20．（8分）为了创设全新的校园文化氛围，进一步组织学生开展课外阅读，让学生在丰富多彩的书海中，扩大知识源，亲近母语，提高文学素养．某校准备开展“与经典为友、与名著为伴”的阅读活动，活动前对本校学生进行了“你最喜欢的图书类型（只写一项）”的随机抽样调查，相关数据统计如下：请根据以上信息解答下列问题：（1）该校对名学生进行了抽样调查；图2中科幻部分对应的圆心角为°；（2）请将图1补充完整；（3）已知该校共有学生2300人，利用样本数据估计全校学生中最喜欢漫画的人数约为多少人？21．（8分）“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷．某校计划在某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共5个，其中有2个为八年级班级（分别用A、B表示），3个为九年级班级（分别用C、D、E表示），由于报名参加观摩课堂教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动．（1）第一周选择的是八年级班级的概率为；（2）请用列表法或画树状图的方法求两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率．22．（8分）某中学为营造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需要资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．（1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，问：学校应如何购买花费资金最少，最少资金是多少？23．（8分）如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座BC＝0.6米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.5米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD＝1.4米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮筐D到地面的距离．（精确到0.1米．参考数据：cos75°≈0.3，sin75°≈0.9，tan75°≈3.7，≈1.7，≈1.4）24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，＝，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF＝CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若OB＝2，求BD的长．25．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．（1）求一次函数、反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出kx+b＜的x的取值范围；（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．26．（12分）如图1，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB＝8，AD＝10，并设点B坐标为（m，0），其中m＜0．（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；（3）如图2，设抛物线y＝a（x﹣m+6）2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM＝90°，求a、h、m的值．27．（12分）如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A、B重合）的任一点，点C、D为⊙O上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．（1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；（2）若的长为π，求“回旋角”∠CPD的度数；（3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+13，直接写出AP的长．

2024年江苏省淮安市淮安区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）﹣2024的倒数是（）A．﹣2024 B．2024 C． D．【分析】根据题意利用倒数定义即可得出本题答案．【解答】解：∵，故选：C．【点评】本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a6 B．（﹣3a2b）2＝6a4b2 C．﹣a2+2a2＝a2 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【分析】A、原式利用同底数幂的乘法法则得到结果，即可作出判断；B、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；C、原式合并同类项得到结果，即可作出判断；D、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝a5，不符合题意；B、原式＝9a4b2，不符合题意；C、原式＝a2，符合题意；D、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合题意．故选：C．【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．3．（3分）第19届亚运会即将在杭州举办，据官网消息杭州奥体中心体育场建筑总面积约为216000平方米，数据216000用科学记数法表示为（）A．2.16×105 B．21.6×104 C．2.16×104 D．216×103【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：216000＝2.16×105．故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（）A． B． C． D．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．【解答】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的内部是一个圆．故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键．5．（3分）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（）A．40° B．45° C．50° D．55°【分析】如图，作CK∥a利用平行线的性质可得∠ACB＝∠1+∠2＝40°，再利用直角三角形的性质即可解决问题．【解答】解：如图，作CK∥a．∵a∥b，CK∥a，∴CK∥b，∴∠1＝∠3＝15°，∠4＝∠2＝25°，∴∠ACB＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°，∵∠CAB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，故选：C．【点评】本题考查直角三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．6．（3分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示．成绩/米1.501.601.651.701.75人数23541这些运动员成绩的众数和中位数分别为（）A．1.65米，1.65米 B．1.65米，1.70米 C．1.75米，1.65米 D．1.50米，1.60米【分析】根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．【解答】解：由表可知1.65m出现次数最多，有5次，所以众数为1.65m，这15个数据最中间的数据是第8个，即1.65m，所以中位数为1.65m，故选：A．【点评】此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD的度数为122°，则∠DCE的度数为（）A．64° B．61° C．62° D．60°【分析】根据圆周角定理求出∠A，根据圆内接四边形的性质得到∠BCD，根据邻补角的概念求出∠DCE即可．【解答】解：∵∠BOD的度数为122°，∴∠A＝BOD＝61°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝119°，∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝61°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．8．（3分）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC﹣CD﹣DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则y的最大值是（）A．55 B．30 C．16 D．15【分析】本题难点在于应找到面积不变的开始与结束，得到BC，CD的具体值．【解答】解：动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变．函数图象上横轴表示点P运动的路程，x＝5时，y开始不变，说明BC＝5，x＝11时，接着变化，说明CD＝11﹣5＝6．∴△ABC的面积为＝×6×5＝15．故选：D．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量．二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把正确答案直接写在答题卡相应位置上）9．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x＞﹣1．【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．【解答】解：∵x+1＞0，∴x＞﹣1．故答案为：x＞﹣1．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．10．（3分）若m2﹣n2＝﹣6，且m﹣n＝﹣3，则m+n＝2．【分析】根据平方差公式即可求出答案．【解答】解：∵（m+n）（m﹣n）＝﹣6，m﹣n＝﹣3，∴﹣3（m+n）＝﹣6，∴m+n＝2，故答案为：2【点评】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0没有实数根，则m的取值范围是m＞4．【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：Δ＜0，∴16﹣4m＜0，∴m＞4，故答案为：m＞4．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．12．（3分）有五张看上去无差别的卡片，正面分别写着，，﹣0.5，π，0．背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是．【分析】根据题目中的数据，可以写出其中的无理数，然后即可计算出取出的卡片正面的数字是无理数的概率．【解答】解：数据，，﹣0.5，π，0中无理数有：，π，则取出的卡片正面的数字是无理数的概率是，故答案为：．【点评】本题考查概率公式、无理数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．13．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3）和（﹣1，2），则k2﹣b2＝﹣6．【分析】利用待定系数法即可解得．【解答】解：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得：，解得：，∴，另一种解法：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得：，∴k2﹣b2＝（k+b）（k﹣b）＝﹣（k+b）（﹣k+b）＝﹣3×2＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了待定系数法，二元一次方程组，熟练掌握待定系数法是解题关键．14．（3分）若用半径为5的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为2.5．【分析】根据弧长公式求出圆锥的底面周长，根据圆的周长公式计算，得到答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，由题意得，圆锥的底面周长＝5π，2πr＝5π，解得，r＝2.5，故答案为：2.5．【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．15．（3分）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，4），⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB最小值是2．【分析】此题根据切线的性质以及勾股定理，根据垂线段最短的性质进行分析，把要求PB的最小值转化为求AP的最小值，进而可以解决问题．【解答】解：如图，连接AB，AP．根据切线的性质定理，得AB⊥PB．要使PB最小，只需AP最小，则根据垂线段最短，则AP⊥x轴于P，此时P点的坐标是（﹣3，0），AP＝4，在Rt△ABP中，AP＝4，AB＝2，∴PB＝＝2．则PB最小值是2．故答案为：2．【点评】本题考查了切线的性质和坐标与图形的性质．此题应先将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．16．（3分）如图，已知，等边△ABC中，AB＝6，将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，连接BD，交AC于O点，E点在OD上，且DE＝2OE，F是BC的中点，P是AC上的一个动点，则|PF﹣PE|的最大值为．【分析】根据题意知，当点P运动到点A时，PF﹣PE最大，利用勾股定理求出此时AF和AE的长即可解决问题．【解答】解：如图，当点P运动到点A时，PF﹣PE最大，∵△ABC为等边三角形，AB＝6，∴AB＝AC＝BC＝6，∵将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，∴AD＝CD＝BC＝AB＝6，∴四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，∴AO＝CO＝3，∴DO＝＝3，∵DE＝2OE，∴OE＝OD＝，∴AE＝，∵F为BC中点，∴AF⊥BC，CF＝BF＝3，∴AF＝＝3，∴|PF﹣PE|的最大值为AF﹣AE＝3﹣2＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，勾股定理等知识，明确同侧差最大是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（16分）计算．（1）；（2）解不等式组，并写出它的所有的整数解．【分析】（1）先计算负整数指数幂、代入三角函数值、去绝对值符号、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：（1）原式＝3﹣2×﹣（2﹣）﹣1＝3﹣﹣2+﹣1＝0；（2）由3（x﹣2）＞x﹣4得x＞1，由≥x﹣1得：x≤4，则不等式组的解集为1＜x≤4，所以其整数解为2、3、4．【点评】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18．（6分）先化简，再求值：，请在﹣2，1，3中选择一个适当的数作为a值．【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后从﹣2，1，3三个数中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：＝＝＝＝2a+6，当a＝﹣2，3时，原分式无意义，故当a＝1时，原式＝2×1+6＝8．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．19．（8分）如图，AC是菱形ABCD的对角线．（1）作边AB的垂直平分线，分别与AB，AC交于点E，F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，连接FB，若∠D＝140°，求∠CBF的度数．【分析】（1）按照尺规作图的要求作出边AB的垂直平分线即可；（2）由菱形的性质得∠ABC＝∠D＝140°，AB＝CB，则∠BAC＝∠BCA＝20°，由线段的垂直平分线的性质得AF＝BF，所以∠ABF＝∠BAC＝20°，则∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝120°．【解答】（1）作法：1．分别以点A、点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，交于点M、点N，2．作直线MN交AB于点E，交AC于点F，直线MN、点E、点F就是所求的图形．（2）解：连接FB，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC＝∠D＝140°，AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣140°）＝20°，∵MN垂直平分AB，点F在MN上，∴AF＝BF，∴∠ABF＝∠BAC＝20°，∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝140°﹣20°＝120°，∴∠CBF的度数是120°．【点评】此题重点考查基本作图“作线段的垂直平分线”、菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、线段的垂直平分线的性质等知识与方法，按照尺规作图的要求正确地作出线段AB的垂直平分线是解题的关键．20．（8分）为了创设全新的校园文化氛围，进一步组织学生开展课外阅读，让学生在丰富多彩的书海中，扩大知识源，亲近母语，提高文学素养．某校准备开展“与经典为友、与名著为伴”的阅读活动，活动前对本校学生进行了“你最喜欢的图书类型（只写一项）”的随机抽样调查，相关数据统计如下：请根据以上信息解答下列问题：（1）该校对200名学生进行了抽样调查；图2中科幻部分对应的圆心角为108°；（2）请将图1补充完整；（3）已知该校共有学生2300人，利用样本数据估计全校学生中最喜欢漫画的人数约为多少人？【分析】（1）从条形统计图可知喜欢小说型的由40人，从扇形统计图可知喜欢小说型图书占20%，可求出调查总人数；用总人数分别减去其它三项人数即可得出“喜欢科幻”的学生人数，进而得出扇形统计图中“喜欢科幻”的学生所占百分比；用360°乘所占百分比即可得出结论；（2）根据（1）的结论即可补全两个统计图；（3）利用样本估计总体，用样本中喜欢漫画所占的百分比估计2300人中喜欢漫画的百分比，进而求出喜欢漫画的人数．【解答】解：（1）调查的人数为：40÷20%＝200（名），喜欢科幻图书的人数：200﹣40﹣80﹣20＝60（名），喜欢科幻图书的人数所占的百分比：60÷200＝30%，扇形统计图中小说所对应的圆心角度数：360°×30%＝108°，故答案为：200；108；（2）补全统计图如图所示：（3）2300×40%＝920（人），答：估计全校学生中最喜欢漫画人数约为920人．【点评】此题主要考查了统计的知识，条形统计图反应各个数据多少，扇形统计图则反应的是各个数据所占整体的百分比，两个统计图联系起来，可求统计图中缺失的数据，并能用样本估计整体的思想方法．21．（8分）“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷．某校计划在某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共5个，其中有2个为八年级班级（分别用A、B表示），3个为九年级班级（分别用C、D、E表示），由于报名参加观摩课堂教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动．（1）第一周选择的是八年级班级的概率为；（2）请用列表法或画树状图的方法求两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率．【分析】（1）直接根据概率公式计算，即可求解；（2）根据题意画出树状图，可得共有20种等可能的结果，其中两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的情况有12种情况，再根据概率公式计算，即可求解．【解答】解：（1）根据题意得：第一周选择的是八年级班级的概率为；故答案为：；（2）根据题意画树状图如下：由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的情况有12种情况，∴两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率．【点评】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．22．（8分）某中学为营造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需要资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．（1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，问：学校应如何购买花费资金最少，最少资金是多少？【分析】（1）设甲乙两种书柜每个的价格分别是x、y元，根据题意列方程组即可；（2）设购买甲种书柜m个．则购买乙种书柜（24﹣m）个，所需资金为w元，乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量得出m的取值范围，所需经费＝甲种书柜总费用+乙种书柜总费用，列出函数解析式，根据一次函数的性质求值即可．【解答】解：（1）设甲乙两种书柜每个的价格分别是x、y元，由题意得：，解得：，答：甲种书柜单价180元，乙种书柜单价240元；（2）设购买甲种书柜m个．则购买乙种书柜（24﹣m）个，所需资金为w元，由题意得：24﹣m≥m，解得：m≤12，w＝180m+240（24﹣m）＝﹣60m+5760，∵﹣60＜0，w随m的增大而减小，∵0≤m≤12，∴当m＝12时，w取最小值，wmin＝﹣60×12+5760＝5040（元），答：购买甲书柜12个，乙书柜12个时，资金最少．最少资金5040元．【点评】本题考查一次函数的应用以及二元一次方程组和一元一次不等式的解法，关键是一次函数性质的应用．23．（8分）如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座BC＝0.6米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.5米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD＝1.4米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮筐D到地面的距离．（精确到0.1米．参考数据：cos75°≈0.3，sin75°≈0.9，tan75°≈3.7，≈1.7，≈1.4）【分析】延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，∴AB＝BC•tan75°＝0.60×3.732＝2.22，∴GM＝AB＝2.22，在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝，∴sin60°＝＝，∴FG＝2.125，∴DM＝FG+GM﹣DF≈2.9米．答：篮筐D到地面的距离是2.9米．【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，＝，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF＝CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若OB＝2，求BD的长．【分析】（1）证明△OCE≌△BFE（SAS），可得∠OBF＝∠COE＝90°，可得结论；（2）由（1）得：△OCE≌△BFE，则BF＝OC＝2，根据勾股定理得：AF＝2，利用面积法可得BD的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，＝，∴∠BOC＝90°，∵E是OB的中点，∴OE＝BE，在△OCE和△BFE中，∵，∴△OCE≌△BFE（SAS），∴∠OBF＝∠COE＝90°，∴直线BF是⊙O的切线；（2）解：∵OB＝OC＝2，由（1）得：△OCE≌△BFE，∴BF＝OC＝2，∴AF＝＝＝2，∴S△ABF＝，4×2＝2•BD，∴BD＝．【点评】本题考查圆的有关知识，切线的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，学会条件常用辅助线，属于中考常考题型．25．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．（1）求一次函数、反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出kx+b＜的x的取值范围；（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．【分析】（1）先根据题意得出P点坐标，再将A、P两点的坐标代入y＝kx+b求出kb的值，故可得出一次函数的解析式，把点P（4，2）代入反比例函数y＝即可得出m的值，进而得出结论；（2）利用图象法，写出反比例函数图象和一次函数图象的上方的自变量的取值范围即可；（3）根据菱形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，∴P（4，2），B（4，0），将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y＝kx+b得：，解得：，∴一次函数解析式为y＝x+1，将P（4，2）代入反比例解析式得：m＝8，即反比例函数解析式为y＝．（2）观察图象可知，kx+b＜时，x的取值范围0＜x＜4．（3）如图所示，∵点C（0，1），B（4，0）∴BC＝＝，PC＝，∴以BC、PC为边构造菱形，∵四边形BCPD为菱形，∴PB垂直且平分CD，∵PB⊥x轴，P（4，2），∴点D（8，1），∵反比例函数解析式为y＝，当x＝8时，y＝1，∴点D在反比例函数的图象上．【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．26．（12分）如图1，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB＝8，AD＝10，并设点B坐标为（m，0），其中m＜0．（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；（3）如图2，设抛物线y＝a（x﹣m+6）2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM＝90°，求a、h、m的值．【分析】（1）根据题意和图形，可以求得BF，CE的长度，再根据点B坐标为（m，0），从而可以用含m的式子表示表示出点E、F的坐标；（2）根据题意，可知分三种情况，然后分别求出m的值即可解答本题；（3）根据（1）中的结果，可以用含m的式子表示出点A和点E的坐标，然后根据抛物线y＝a（x﹣m+6）2+h经过A、E两点，从而可以求得a、h的值，再根据三角形相似，可以求得m的值，本题得以解决．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝10，∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∠D＝∠DCB＝∠ABC＝90°，由折叠对称性：AF＝AD＝10，FE＝DE，在Rt△ABF中，BF＝＝6，∴FC＝4，设DE＝x，则CE＝8﹣x，在Rt△ECF中，42+（8﹣x）2＝x2，得x＝5，∴CE＝8﹣x＝3，∵点B的坐标为（m，0），∴点E的坐标为（m﹣10，3），点F的坐标为（m﹣6，0）；（2）分三种情形讨论：若AO＝AF，∵AB⊥OF，BF＝6，∴OB＝BF＝6，∴m＝﹣6；若OF＝AF，则m﹣6＝﹣10，得m＝﹣4；若AO＝OF，在Rt△AOB中，AO2＝OB2+AB2＝m2+64，∴（m﹣6）2＝m2+64，得m＝﹣；由上可得，m＝﹣6或﹣4或﹣；（3）由（1）知A（m，8），E（m﹣10，3），∵抛物线y＝a（x﹣m+6）2+h经过A、E两点，∴，解得，，∴该抛物线的解析式为y＝（x﹣m+6）2﹣1，∴点M的坐标为（m﹣6，﹣1），设对称轴交AD于G，∴G（m﹣6，8），∴AG