2024年山东省烟台市芝罘区中考数学二模试卷

2024年山东省烟台市芝罘区中考数学二模试卷一、选择题(每题3分，满分30分)1．（3分）9的平方根是（）A．3 B．±3 C． D．﹣2．（3分）如图所示，该几何体的左视图是（）A． B． C． D．3．（3分）下列计算正确的是（）A．x3•x2＝x5 B．x3÷（﹣x2）＝x C．x3﹣x2＝x D．2x+x＝3x24．（3分）中国信息通信研究院测算，2020～2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（）A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×1085．（3分）如图是根据南街米粉店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是（）A．平均数是6 B．众数是7 C．中位数是11 D．方差是86．（3分）如图在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝38°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（）A．32° B．42° C．48° D．52°7．（3分）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是2，则输出y的值是（）A．3 B．1 C．﹣1 D．3或﹣18．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，沿AD和EF将纸片折叠，使点B和点C都落在边BC上的点P处，则AE的长是（）A． B． C． D．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y＝x+b和x轴上，直线y＝x+b与x轴交于点M，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点A1（1，1）那么点A2024的纵坐标是（）A．2023 B．4046 C．22023 D．2202410．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（﹣1，0），与y轴的交点C在（0，3），（0，4）之间（不包含端点），抛物线对称轴为直线x＝1，有以下结论：①abc＞0；②3a+b＝﹣；③对于任意实数m，总有am3+bm＜；④b＞2．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每题3分，满分18分）11．（3分）因式分解：4m2n﹣4n3＝．12．（3分）某市居民每月用水收费标准如下：李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元，若李阿姨12月份交水费35.8元，则李阿姨12月份用水量是．用水量（立方米）单价（元）x≤10a剩余部分a+0.113．（3分）如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠COF的度数为．14．（3分）如图，△ABC中，AC＝BC＝5，∠ACB＝90°，CD＝3，BD＝4，连接AD，则AD的长度是．15．（3分）如图，一次函数y＝﹣x+4与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，若AB＝2AC，则k的值是．16．（3分）如图，OA是⊙O半径，P是OA中点，Q在⊙O上从点A开始沿逆时针方向运动一周停止，运动时间是t（x），线段PQ的长度是y（cm），图2是y随x变化的关系图象，则当点Q运动到使PQ⊥OA时，t的值是．三、解答题（满分72分）17．（6分）先化简，再求值：（1﹣），其中x是满足﹣1≤x＜3的整数．18．（6分）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F．求证：BE＝DF．19．（8分）我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：（1）本次随机调查的学生人数为人；（2）补全条形统计图；（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；（4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．20．（8分）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．请借助直尺和量角器，在图中画出点A和点B的位置，并求A，B两点间的距离．（参考数据表）计算器按键顺序结果（精确到0.01）21.720.600.800.7521．（8分）草莓是一种极具营养价值的水果，当下正是草莓的销售旺季．某水果店以2850元购进两种不同品种的盒装草莓．若按标价出售可获毛利润1500元（毛利润＝售价﹣进价），这两种盒装草莓的进价、标价如表所示：价格/品种A品种B品种进价（元/盒）4560标价（元/盒）7090（1）求这两个品种的草莓各购进多少盒；（2）该店计划下周购进这两种品种的草莓共100盒（每种品种至少进1盒），并在两天内将所进草莓全部销售完毕（损耗忽略不计）．因B品种草莓的销售情况较好，水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A品种不少于20盒．如何安排进货，才能使毛利润最大，最大毛利润是多少？22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作CF∥AB，且CF＝CD，连接BF．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为5，tan∠CBF＝，求CF的长度．23．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）过A（﹣2，0），B（6，0），其对称轴交x轴于点D，E是对称轴上一动点，CF⊥AE于点F．（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△ABC的形状，并证明；（3）是否存在点E的位置，使△ACF与△BOC相似？若存在，请求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．24．（14分）【探究】如图1，AB∥CD，AB＞CD，∠ABD＝90°，E是线段AC的中点，连接DE并延长交AB于点F，连接BE．判断BE与DE之间的数量关系，并证明．【延伸】（1）如图2，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，点G在BC上，P是线段DF的中点，连接PC、PG．判断PC与PG之间的数量关系，并证明．（2）将图2中的正方形BEFG绕点B旋转一定的角度（如图3），求证上述PC和PG的数量关系仍然成立．

2024年山东省烟台市芝罘区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题(每题3分，满分30分)1．（3分）9的平方根是（）A．3 B．±3 C． D．﹣【分析】根据平方根的含义和求法，可得9的平方根是：±＝±3，据此解答即可．【解答】解：9的平方根是：±＝±3．故选：B．【点评】此题主要考查了平方根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．2．（3分）如图所示，该几何体的左视图是（）A． B． C． D．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看，是一个矩形，矩形中间靠上有一条横向的实线，中间有一条横向的虚线．选项A符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握组合体的三视图是解题的关键．3．（3分）下列计算正确的是（）A．x3•x2＝x5 B．x3÷（﹣x2）＝x C．x3﹣x2＝x D．2x+x＝3x2【分析】根据同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项的运算法则计算即可得解．【解答】解：A．x3•x2＝x5，故选项正确，符合题意；B．x3÷（﹣x2）＝﹣x3+2＝﹣x5，故选项错误，不符合题意；C．x3，x2不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；D．2x+x＝3x，故选项错误，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项的运算法则，解题的关键是熟练掌握运算法则．4．（3分）中国信息通信研究院测算，2020～2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（）A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：10.6万亿＝10600000000000＝1.06×1013．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（3分）如图是根据南街米粉店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是（）A．平均数是6 B．众数是7 C．中位数是11 D．方差是8【分析】根据图中数据分别求出平均数、众数、中位数及方差即可得出结论．【解答】解：由题意知，平均数为：＝7，不存在众数；中位数为：7；方差为：＝8；故选：D．【点评】本题主要考查平均数、众数、中位数及方差的概念，熟练掌握平均数、众数、中位数及方差的概念是解题的关键．6．（3分）如图在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝38°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（）A．32° B．42° C．48° D．52°【分析】根据题意可得∠A＝∠D＝38°，然后根据三角形外角的性质可求解∠B．【解答】解：∵∠A＝38°，∴∠A＝∠D＝38°，∵∠APD＝80°，∴∠B＝∠APD﹣∠D＝42°；故选：B．【点评】本题主要考查圆周角，三角形外角的性质，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．7．（3分）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是2，则输出y的值是（）A．3 B．1 C．﹣1 D．3或﹣1【分析】比较2与﹣2，将x＝2代入对应的代数式求值即可．【解答】解：∵2＞﹣2，∴y＝22﹣5＝﹣1，∴输出y的值是﹣1．故选：C．【点评】本题考查代数式求值等，根据条件判断代数式并代入求值是本题的关键．8．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，沿AD和EF将纸片折叠，使点B和点C都落在边BC上的点P处，则AE的长是（）A． B． C． D．【分析】根据题意可得D＝AB＝2，∠B＝∠ADB，CE＝DE，∠C＝∠CDE，可得∠ADE＝90°，继而设AE＝x，则CE＝DE＝3﹣x，根据勾股定理即可求解．【解答】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，∴AD＝AB＝2，∠B＝∠ADB，∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴CE＝DE，∠C＝∠CDE，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∴∠ADB+∠CDE＝90°，∴∠ADE＝90°，∴AD2+DE2＝AE2，设AE＝x，则CE＝DE＝3﹣x，∴22+（3﹣x）2＝x2，解得，即，故选：A．【点评】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y＝x+b和x轴上，直线y＝x+b与x轴交于点M，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点A1（1，1）那么点A2024的纵坐标是（）A．2023 B．4046 C．22023 D．22024【分析】罗列A1、A2、A3•••An纵坐标得出一般规律再按照规律求出A2024的纵坐标即可．【解答】解：∵直线y＝x+b与x轴交于点（1，1），∴1＝+b，解得b＝，∴直线解析式为y＝，如图，作A1E⊥x轴，A2F⊥x轴，A3G⊥x轴，∵A1（1，1），∴A1E＝1＝20；A1的纵坐标为1，∵△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，设A2F＝m，∴A2（2+m，m），将坐标代入直线解析式得：m＝，解得m＝2，∴A2F＝2＝21，A2的纵坐标为2＝21，设A3G＝n，则A3（6+n，n），代入直线解析式n＝，解得n＝4＝22，•••，∴An的纵坐标为：2n﹣1，∴A2024的纵坐标为：22023．故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，罗列A1、A2、A3•••An纵坐标得出一般规律是关键．10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（﹣1，0），与y轴的交点C在（0，3），（0，4）之间（不包含端点），抛物线对称轴为直线x＝1，有以下结论：①abc＞0；②3a+b＝﹣；③对于任意实数m，总有am3+bm＜；④b＞2．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题．【解答】解：由所给二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0．又∵对称轴是直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0．∴abc＜0，故①错误．又抛物线的对称轴为直线x＝1，且过点A（﹣1，0），∴抛物线与x轴的另一交点为（3，0）．∴9a+3b+c＝0．∴3a+b＝﹣，故②正确．由函数图象可知，当x＝1时，函数取得最大值，则对于任意的x＝m，总有am2+bm+c≤a+b+c，即a+b≥am2+bm（m为实数）．又b＝﹣2a，3a+b＝﹣，∴a＝﹣，b＝c．∴a+b＝c．∵3＜c＜4，∴1＜c＜．∴am2+bm＜．故③错误．∵1＜c＜，∴2＜c＜，而b＝c，∴2＜b＜，故④正确．所以正确的结论有②④．故选：B．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数图象得出a，b，c的符号，掌握抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点坐标以及最大值（最小值）与待定系数a、b、c的关系是解题的关键．二、填空题（每题3分，满分18分）11．（3分）因式分解：4m2n﹣4n3＝4n（m+n）（m﹣n）．【分析】先提取公因式4n，再运用平方差公式继续分解．【解答】解：4m2n﹣4n3＝4n（m2﹣n2）＝4n（m+n）（m﹣n）．故答案为：4n（m+n）（m﹣n）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12．（3分）某市居民每月用水收费标准如下：李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元，若李阿姨12月份交水费35.8元，则李阿姨12月份用水量是16立方米．用水量（立方米）单价（元）x≤10a剩余部分a+0.1【分析】根据“李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元”求得a的值；然后由“李阿姨12月份交水费35.8元”知a＞10，根据阶梯收费标准列出方程并解答．【解答】解：由题意知：5a＝11，解得a＝2.2．所以a+0.1＝2.3（元）．设李阿姨12月份用水量是x立方米，则：10×2.2+2.3（x﹣10）＝35.8．解得x＝16．故答案为：16立方米．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键．13．（3分）如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠COF的度数为84°．【分析】利用正多边形的性质求出∠EOF，∠BOC，∠BOE即可解决问题．【解答】解：由题意得：∠EOF＝108°，∠BOC＝120°，∠OEB＝72°，∠OBE＝60°，∴∠BOE＝180°﹣72°﹣60°＝48°，∴∠COF＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，故答案为：84°．【点评】本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．（3分）如图，△ABC中，AC＝BC＝5，∠ACB＝90°，CD＝3，BD＝4，连接AD，则AD的长度是．【分析】过点C作CE⊥CD，使CE＝CD，连接BE，过点E作EF⊥BD，交BD的延长线于点F，证明△ACD≌△BCE（SAS），得出AD＝BE，证出四边形CEFD是正方形，得出EF＝DF＝3，由勾股定理求出BE的长，则可得出答案．【解答】解：过点C作CE⊥CD，使CE＝CD，连接BE，过点E作EF⊥BD，交BD的延长线于点F，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵AC＝BC，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∴CD＝3，BD＝4，BC＝5，∴CD2+BD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠CDF＝90°，∴四边形CEFD是矩形，∵CE＝CD，∴四边形CEFD是正方形，∴EF＝DF＝3，∴BF＝7，∴BE＝＝＝，∴AD＝．故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．15．（3分）如图，一次函数y＝﹣x+4与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，若AB＝2AC，则k的值是6．【分析】利用条件证出△ACM∽△BCN∽△DCO，设CM＝a，则CN＝3a，点A、B的横坐标分别为2a，6a，将点AB的横坐标分别代入一次函数y＝﹣x+4可得点AB的纵坐标，可得A（2a，﹣a+4），B（6a，﹣3a+4），利用反比例函数图象上点的坐标特征建立方程求出a的值得到A（2，3），由此可得k值．【解答】解：作AM⊥y轴，BN⊥y轴，垂足分别为M、N，∵AM∥NB∥OD，∴△ACM∽△BCN∽△DCO，∵AB＝2AC，∴，设CM＝a，则CN＝3a，由一次函数y＝﹣x+4可得C（0，4），D（8，0），∴OD＝8，OC＝4，∴，∴AM＝2a，BN＝6a，∴点A、B的横坐标分别为2a，6a，将点AB的横坐标分别代入一次函数y＝﹣x+4可得点AB的纵坐标，∴A（2a，﹣a+4），B（6a，﹣3a+4），∵点AB在反比例函数图象上，∴2a•（﹣a+4）＝6a•（﹣3a+4），解得a＝1，∴A（2，3），∵点A在反比例函数图象上，∴k＝6．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．16．（3分）如图，OA是⊙O半径，P是OA中点，Q在⊙O上从点A开始沿逆时针方向运动一周停止，运动时间是t（x），线段PQ的长度是y（cm），图2是y随x变化的关系图象，则当点Q运动到使PQ⊥OA时，t的值是或．【分析】当点Q在点A处时，y＝0.5，即PA＝0.5，求出半径，当点Q运动回点A时，x＝4，即点Q运动一周的时间t＝4，当PQ⊥OA时，连接PQ，利用三角函数求出∠OQP＝30，∠POQ＝60°，即可说明点Q在和上的运动时间为4×＝，即可解答此题．【解答】解：当点Q在点A处时，y＝0.5，∴PA＝0.5，∵P是OA中点，∴OA＝1，当点Q运动回点A时，x＝4，∴点Q运动一周的时间t＝4，当PQ⊥OA时，如图，连接PQ，∴，∵PQ＝OA＝1，∴sin∠OQP＝，∵sin30°＝，∴∠OQP＝30°，∴∠POQ＝60°，∴点Q在和上的运动时间为4×＝，∵4﹣＝，∴t的值为或．故答案为：或．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．三、解答题（满分72分）17．（6分）先化简，再求值：（1﹣），其中x是满足﹣1≤x＜3的整数．【分析】先将原式化简为，再根据﹣1≤x＜3，x为整数，x≠0，x+1≠0，（x+1）（x﹣1）≠0，x（x﹣1）≠0等条件求得x＝2，代入计算即可．【解答】解：原式＝＝＝，∵﹣1≤x＜3，x为整数，∴x的值为﹣1，0，1，2，∵x≠0，x+1≠0，（x+1）（x﹣1）≠0，x（x﹣1）≠0，∴x≠﹣1，x≠0，x≠1，∴x只能取2，当x＝2时，∴原式＝＝．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握其运算法则是解题的关键．18．（6分）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F．求证：BE＝DF．【分析】根据菱形的性质得出AD＝AB＝CD＝BC，进而利用全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝CD＝BC，∠ABC＝∠ADC，∴∠CBE＝∠CDF，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠E＝∠F＝90°，在△CBE和△CDF中，，∴△CBE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF．【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出AD＝AB＝CD＝BC解答．19．（8分）我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：（1）本次随机调查的学生人数为60人；（2）补全条形统计图；（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；（4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．【分析】（1）从两个统计图中可得，选择“园艺”的有18人，占调查人数的30%，可求出调查人数；（2）求出选择“编制”的人数，即可补全条形统计图；（3）样本中，选择“厨艺”的占，因此估计总体800人的是选择“厨艺”的人数．（4）用列表法表示所有可能出现的结果，进而计算选中“园艺、编织”的概率．【解答】解：（1）18÷30%＝60（人），故答案为：60；（2）60﹣15﹣18﹣9﹣6＝12（人），补全条形统计图如图所示：（3）800×＝200（人），答：该校七年级800名学生中选择“厨艺”劳动课程的大约有200人；（4）用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有12种可能出现的结果，其中选中“园艺、编织”的有2种，∴P（园艺、编织）＝＝．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，列表法求随机事件发生的概率，理解数量关系和列举所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．20．（8分）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．请借助直尺和量角器，在图中画出点A和点B的位置，并求A，B两点间的距离．（参考数据表）计算器按键顺序结果（精确到0.01）21.720.600.800.75【分析】证明∠ABD＝90°，解直角三角形求出AB即可．【解答】解：如图（不必标注角度）：∵CE∥AD∴∠A＝∠ECA＝37°，∵∠ADB＝53°，∴∠CBD＝∠A+∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°，在Rt△BCD中，∠BDC＝90°﹣53°＝37°，CD＝90米，，∴BD＝CD•cos∠37°≈90×0.80＝72（米），在Rt△ABD中，∠A＝37°，BD＝72米，，（米）．答：A，B两点间的距离约96米．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．（8分）草莓是一种极具营养价值的水果，当下正是草莓的销售旺季．某水果店以2850元购进两种不同品种的盒装草莓．若按标价出售可获毛利润1500元（毛利润＝售价﹣进价），这两种盒装草莓的进价、标价如表所示：价格/品种A品种B品种进价（元/盒）4560标价（元/盒）7090（1）求这两个品种的草莓各购进多少盒；（2）该店计划下周购进这两种品种的草莓共100盒（每种品种至少进1盒），并在两天内将所进草莓全部销售完毕（损耗忽略不计）．因B品种草莓的销售情况较好，水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A品种不少于20盒．如何安排进货，才能使毛利润最大，最大毛利润是多少？【分析】（1）根据某水果店以2850元购进两种不同品种的盒装草莓，按标价出售可获毛利润1500元和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）根据题意，可以写出毛利润和购买A种草莓数量的函数关系式，然后根据水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A品种不少于20盒，可以得到相应的不等式，求出A种草莓数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到如何安排进货，才能使毛利润最大，最大毛利润是多少．【解答】解：（1）设A品种的草莓购进x盒，B品种的草莓购进y盒，由题意可得，，解得，答：A品种的草莓购进30盒，B品种的草莓购进25盒；（2）设A品种的草莓购进a盒，则B品种的草莓购进（100﹣a）盒，毛利润为w元，由题意可得，w＝（70﹣45）a+（90﹣60）×（100﹣a）＝﹣5a+3000，∵k＝﹣5＜0，∴w随a的增大而减小，∵水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A品种不少于20盒，∴，解得20≤a≤33，∴当a＝20时，w取得最大值，此时w＝﹣5×20+3000＝2900，100﹣a＝80，答：当A品种的草莓购进20盒，B品种的草莓购进80盒时，才能使毛利润最大，最大毛利润是2900元．【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系和不等关系，列出相应的方程组和不等式组，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答．22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作CF∥AB，且CF＝CD，连接BF．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为5，tan∠CBF＝，求CF的长度．【分析】（1）证明△DCB≌△FCB（SAS），即可求解；（2）在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD2+BD2＝AB2，即（10﹣x）2+（2x）2＝102，即可求解．【解答】（1）证明：连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠FCB，∴∠ACB＝∠FCB，在△DCB和△FCB中，，∴△DCB≌△FCB（SAS），∴∠CBD＝∠CBF，∠F＝∠CDB＝90°，CD＝CF，∵∠CBD+∠ACB＝90°，∠ABC＝∠ACB，∴∠CBF+∠ABC＝90°，即AB⊥BF，∵AB为直径，∴BF是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O半径为5，∴AB＝10，∵AB＝AC，∴AC＝10，∵∠CBD＝∠CBF，，∴，设：CD＝x，则BD＝2x，AD＝10﹣x，在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD2+BD2＝AB2，即（10﹣x）2+（2x）2＝102，解得x1＝0（舍去），x2＝4，∴CD＝4，由（1）知：CF＝CD＝4．【点评】本题为圆的综合题，涉及到三角形全等、勾股定理的运用、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．23．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）过A（﹣2，0），B（6，0），其对称轴交x轴于点D，E是对称轴上一动点，CF⊥AE于点F．（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△ABC的形状，并证明；（3）是否存在点E的位置，使△ACF与△BOC相似？若存在，请求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）证明∠AOC∽△COB，即可求解；（3）如图，当∠CAF＝30°时，在△ACH中，AC＝4，∠ACO＝∠FAC＝30°，求出CH＝＝，即可求解；当∠CAF＝60°时，则AF和x轴重合，此时，点E和点D重合，即可求解．【解答】解：（1）由题意，y＝a（x+2）（x﹣6）＝a（x2﹣4x﹣12）＝ax2+bx+2，则﹣12a＝2，解得：a＝﹣，∴函数关系式为；（2）△ABC直角三角形，理由：证明：由题意，OA＝2，OB＝6，，∵，∠AOC＝∠COB＝90°∴∠AOC∽△COB，∴∠ACO＝∠OBC，∵∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°