2024年高考数学终极押题密卷3（全国甲卷文科）含答案

2024年高考数学终极押题密卷3（全国甲卷文科）一．选择题（共12小题）1．若复数z满足z（2﹣i）＝2i，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合A＝{x|x＜1，或x＞3}，B＝{x|x2﹣6x+8＜0}，则集合（∁RA）∩B＝（）A．{x|3＜x＜4} B．{x|2＜x＜3} C．{x|2＜x≤3} D．∅3．已知，，若a，b，c三个数成等比数列，则b＝（）A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣1或14．已知直线y＝x+m与圆O：x2+y2＝4交于A，B两点，且△AOB为等边三角形，则m的值为（）A． B． C．±2 D．5．执行如图所示的程序框图，若输入N＝2023，则输出的结果是（）A．﹣1010 B．1011 C．1012 D．﹣10126．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、对角线的三个数之和都等于15，如图所示．一般地．将连续的正整数1，2，3，…，n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n阶幻方．记n阶幻方的数的和即方格内的所有数的和为Sn，如图三阶幻方记为S3＝45，那么S9＝（）A．3321 B．361 C．99 D．337．函数的图像大致为（）A． B． C． D．8．习近平总书记多次强调生态文明建设关系人民福祉、关乎民族未来，是事关实现“两个一百年”奋斗目标；事关中华民族永续发展的大事．“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为3mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.25mg/cm3，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（）（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）A．10 B．11 C．12 D．139．已知数列{an}满足2an+1﹣2＝an•an+1，且a1＝3，则a2023＝（）A．3 B． C．﹣2 D．10．设函数f（x）为偶函数，且当x≥0时，f（x）＝ex﹣cosx，则不等式f（2x﹣1）﹣f（x﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣1，1） B．（﹣∞，﹣3） C．（﹣3，+∞） D．（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）11．在三棱锥P﹣ABC中，侧面PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABC，AB⊥BC且AB＝BC＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A． B． C． D．12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），若f（x）≤f（），f（﹣x）＝﹣f（x），且f（x）在（，）上单调，则ω的取值可以是（）A．3 B．5 C．7 D．9二．填空题（共4小题）13．已知函数，则f（f（﹣2））＝．14．已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＜0时f（x）＝ex，则f（ln2）＝．15．若函数存在极值点，则实数a的取值范围为．16．高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为“高斯函数”，例如：[﹣2.5]＝﹣3，[2.7]＝2．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an+2+2an＝3an+1，若bn＝[log2an+1]，Sn为数列的前n项和，则S2023＝．三．解答题（共7小题）17．《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如茎叶图所示，但其中一个数字被污损．（1）若将被污损的数字视为0～9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率；（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情，现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间y（单位：小时）与年龄x（单位：岁），并制作了对照表（如表所示）：年龄x20304050每周学习诗词的平均时间y33.53.54由表中数据分析，x与y呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间．参考公式：，．18．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AB＝2AA1＝2A1B1＝2，AA1⊥平面ABCD．（1）证明：BD⊥CC1；（2）若M是棱BC上一动点（含端点），求三棱锥D﹣AMD1的体积．19．已知椭圆的左、右焦点为F1，F2，离心率为．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线PF1、PF2分别与椭圆C交于点A、B，△PF1B的周长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若，，求证：λ1+λ2为定值．20．数列{an}满足：a1+2a2+3a3+…+nan＝2+（n﹣1）•2n+1，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，若Tn＜m2﹣3恒成立，求实数m的取值范围．21．已知函数f（x）＝ax+cosx（0≤x≤π，a∈R）．（1）当时，求f（x）的单调递增区间；（2）若函数f（x）恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为M、m，求证：．22．在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）过点P（1，2）倾斜角为135°的直线l与曲线C交于M、N两点，求PM2+PN2的值．23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|（a＞0，b＞0）．（1）当a＝1，b＝2时，解不等式f（x）＜x+8；（2）若函数f（x）的最小值是2，证明：．

2024年菁优高考数学终极押题密卷3（全国甲卷文科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．若复数z满足z（2﹣i）＝2i，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】B【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．【解答】解：复数z满足z（2﹣i）＝2i，则z＝＝，故在复平面内z对应的点（）位于第二象限．故选：B．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．2．已知集合A＝{x|x＜1，或x＞3}，B＝{x|x2﹣6x+8＜0}，则集合（∁RA）∩B＝（）A．{x|3＜x＜4} B．{x|2＜x＜3} C．{x|2＜x≤3} D．∅【考点】一元二次不等式及其应用；交、并、补集的混合运算．【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑．【答案】C【分析】分别求出B，∁RA，进而求出（∁RA）∩B．【解答】解：B＝{x|x2﹣6x+8＜0}＝{x|2＜x＜4}，因为集合A＝{x|x＜1，或x＞3}，所以∁RA＝{x|1≤x≤3}，所以（∁RA）∩B＝{x|2＜x≤3}．故选：C．【点评】本题考查二次不等式的求法，补集的求法及两个集合的交集的求法，属于基础题．3．已知，，若a，b，c三个数成等比数列，则b＝（）A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣1或1【考点】等比数列的通项公式；等比数列的性质．【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】D【分析】根据等比数列的定义与性质，列方程求解即可．【解答】解：因为，，且a，b，c三个数成等比数列，所以b2＝ac＝（5+2）（5﹣2）＝25﹣24＝1，所以b＝±1．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的定义与性质应用问题，是基础题．4．已知直线y＝x+m与圆O：x2+y2＝4交于A，B两点，且△AOB为等边三角形，则m的值为（）A． B． C．±2 D．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【答案】D【分析】确定圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求出实数m的值．【解答】解：由题意，圆心到直线的距离为，∴＝，∴m＝±，故选：D．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属基础题．5．执行如图所示的程序框图，若输入N＝2023，则输出的结果是（）A．﹣1010 B．1011 C．1012 D．﹣1012【考点】程序框图．【专题】计算题．【答案】C【分析】根据程序框图的循环结构计算数列求和即可．【解答】解：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝1﹣2+3﹣……﹣2020+2021﹣2022+2023的值，因为S＝1﹣2+3﹣……﹣2020+2021﹣2022+2023＝（1﹣2）+（3﹣4）+……+（2019﹣2020）+（2021﹣2022）+2023＝﹣1011+2023＝1012，所以输出的结果为1012．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、对角线的三个数之和都等于15，如图所示．一般地．将连续的正整数1，2，3，…，n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n阶幻方．记n阶幻方的数的和即方格内的所有数的和为Sn，如图三阶幻方记为S3＝45，那么S9＝（）A．3321 B．361 C．99 D．33【考点】归纳推理．【专题】计算题；对应思想；综合法；推理和证明；数学运算．【答案】A【分析】根据等差数列的前n项和公式，求出Nn的通项公式，然后代入n＝9进行计算即可求S9的值．【解答】解：根据题意，幻方的每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，Nn＝[1+2+3+……+（n2﹣1）+n2]＝×＝，故N9＝＝369，∴S9＝9×369＝3321．故选：A．【点评】本题考查归纳推理，涉及等差数列的前n项和公式，属于基础题．7．函数的图像大致为（）A． B． C． D．【考点】函数的图象与图象的变换．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理．【答案】B【分析】判断函数的奇偶性，判断当x∈（0，1）时函数值的大小进行排除即可求得答案．【解答】解：函数y＝f（x）＝的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（﹣x）＝＝＝f（x），故函数是偶函数，故排除选项AC；当x∈（0，1）时，y＜0，故排除选项D．故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的判断，考查函数性质的应用及排除法的应用，属于基础题．8．习近平总书记多次强调生态文明建设关系人民福祉、关乎民族未来，是事关实现“两个一百年”奋斗目标；事关中华民族永续发展的大事．“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为3mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.25mg/cm3，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（）（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】根据实际问题选择函数类型；对数的运算性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】C【分析】根据已知条件，推得3×（1﹣20%）n≤0.25，再结合对数的运算性质，即可求解．【解答】解：设排放前需要过滤n次，则3×（1﹣20%）n≤0.25，即，故n≥＝﹣＝﹣＝≈﹣≈11.1，∵n∈N*，∴nmin＝12，故要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为12．故选：C．【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．9．已知数列{an}满足2an+1﹣2＝an•an+1，且a1＝3，则a2023＝（）A．3 B． C．﹣2 D．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．【答案】B【分析】由已知可得数列递推式，求出其前面几项，可得数列的周期，由此可求得答案．【解答】解：由题意数列{an}满足2an+1﹣2＝an•an+1，则，由a1＝3，得，由此可知数列{an}的周期为4，故．故选：B．【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．10．设函数f（x）为偶函数，且当x≥0时，f（x）＝ex﹣cosx，则不等式f（2x﹣1）﹣f（x﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣1，1） B．（﹣∞，﹣3） C．（﹣3，+∞） D．（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）【考点】奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质与判断．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用．【答案】D【分析】根据题意利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在[0，+∞）上为增函数，结合f（x）为偶函数，化简不等式f（2x﹣1）﹣f（x﹣2）＞0得到|2x﹣1|＞|x﹣2|，解之即可得到本题的答案．【解答】解：当x≥0时，f（x）的导数f′（x）＝ex+sinx，因为x≥0时，ex≥e0＝1，﹣1≤sinx≤1，所以f′（x）＝ex+sinx≥0，可知f（x）在[0，+∞）上为增函数，因为f（x）为定义在R上的偶函数，所以f（x）在（﹣∞，0]上为减函数．因此不等式f（2x﹣1）﹣f（x﹣2）＞0，即f（2x﹣1）＞f（x﹣2），可得|2x﹣1|＞|x﹣2|，解得x＜﹣1或x＞1，即不等式f（2x﹣1）﹣f（x﹣2）＞0的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．故选：D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、运用导数研究函数的单调性、绝对值不等式的解法等知识，属于中档题．11．在三棱锥P﹣ABC中，侧面PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABC，AB⊥BC且AB＝BC＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A． B． C． D．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；整体思想；综合法；球；数学运算．【答案】C【分析】由题意得出三棱锥P﹣ABC外接球的球心一定在过三角形PAB中心（外接圆圆心）G的垂线上，也一定在过三角形ABC的外接圆圆心E（E为直角三角形ABC斜边AC中点）的垂线上，由此可得外接球圆心、半径，进一步即可求解．【解答】解：因为侧面PAB是等边三角形，所以三棱锥P﹣ABC外接球的球心一定在过三角形PAB中心（外接圆圆心）G的垂线上，因为平面PAB⊥平面ABC，作GO⊥平面PAB，其中O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，又因为AB⊥BC，所以三棱锥P﹣ABC外接球的球心一定在过三角形ABC的外接圆圆心E（E为直角三角形ABC斜边AC中点）的垂线上，作OE⊥平面ABC，交AC于E，由题意知，所以三棱锥P﹣ABC外接球的半径为，所以三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为．故选：C．【点评】本题考查了三棱锥外接球的表面积计算，属于中档题．12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），若f（x）≤f（），f（﹣x）＝﹣f（x），且f（x）在（，）上单调，则ω的取值可以是（）A．3 B．5 C．7 D．9【考点】正弦函数的单调性；正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．【答案】A【分析】根据可知时，函数f（x）＝sin（ωx+φ）取到最大值，结合，可求出ω＝2k+1，k∈Z，结合选项，分类讨论，结合函数性质求得ω的值，利用函数的单调性确定ω的具体值，即可求得答案．【解答】解：因为，故时，函数f（x）＝sin（ωx+φ）取到最大值，因为，可知为f（x）的对称中心，故，k∈Z，所以T＝＝，k∈Z，故ω＝2k+1，k∈Z；又f（x）在上单调，故，即T＝≥，所以0＜ω≤12，A中，当ω＝3时，f（x）＝sin（3x+φ），时，f（x）＝sin（ωx+φ）取到最大值，故，k∈Z，则φ＝2kπ，k∈Z，结合，可得φ＝0，则f（x）＝sin3x，满足为f（x）的对称中心，由，得，由于y＝sinx在上单调递减，故f（x）在上单调递减，符合题意，所以A正确；B中，当ω＝5时，f（x）＝sin（5x+φ），时，f（x）＝sin（ωx+φ）取到最大值，故，k∈Z，则，k∈Z，结合，可得，则，由，得，由于y＝sinx在上不单调，故f（x）在上不单调，不合题意，所以B不正确；C中，当ω＝7时，f（x）＝sin（7x+φ），时，函数f（x）＝sin（ωx+φ）取到最大值，故，k∈Z，则，k∈Z，结合，φ没有符合题意的值，不合题意，所以C不正确；D中，当ω＝9时，f（x）＝sin（9x+φ），时，函数f（x）＝sin（ωx+φ）取到最大值，所以，k∈Z，则φ＝﹣π+2kπ，k∈Z，结合，φ没有符合题意的值，不合题意，所以D不正确．故选：A．【点评】本题考查了根据f（x）＝sin（ωx+φ）的性质求解参数，属于中档题．二．填空题（共4小题）13．已知函数，则f（f（﹣2））＝4．【考点】函数的值；对数的运算性质．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】4．【分析】根据分段函数的解析式先求f（﹣2），进而求解即可．【解答】解：因为，所以f（﹣2）＝1+log2（2﹣（﹣2））＝1+log24＝3，所以f（f（﹣2））＝f（3）＝23﹣1＝22＝4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了分段函数中函数值的求解，属于基础题．14．已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＜0时f（x）＝ex，则f（ln2）＝．【考点】函数奇偶性的性质与判断．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】．【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（﹣ln2）的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．【解答】解：根据题意，当x＜0时，f（x）＝ex，而ln2＞0，则﹣ln2＜0，所以，由f（x）是奇函数，则；故答案为：．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．15．若函数存在极值点，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理．【答案】（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【分析】求出函数的导数，问题转化为f′（x）＝0有2个实数根，根据二次函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：f（x）＝x3﹣ax2+x+1，f′（x）＝x2﹣2ax+1，若函数f（x）在R上存在极值点，即f′（x）＝0有2个实数根，故Δ＝4a2﹣4＞0，解得：a＞1或a＜﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，属于基础题．16．高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为“高斯函数”，例如：[﹣2.5]＝﹣3，[2.7]＝2．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an+2+2an＝3an+1，若bn＝[log2an+1]，Sn为数列的前n项和，则S2023＝．【考点】数列的求和．【专题】方程思想；转化法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】．【分析】由an+2+2an＝3an+1，可得an+2﹣an+1＝2（an+1﹣an）．利用等比数列的通项公式可得an+1﹣an，利用累加求和方法可得an，利用“高斯函数”可得bn，利用裂项求和方法即可得出S2023．【解答】解：由an+2+2an＝3an+1，得an+2﹣an+1＝2（an+1﹣an）．又a2﹣a1＝2，∴数列{an+1﹣an}构成以2为首项，2为公比的等比数列，∴an+1﹣an＝2n．∴．又∵a1＝1满足上式，∴．∴．∵2n＜2n+1﹣1＜2n+1，∴，即，∴．故．∴．故答案为：．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、累加求和方法、“高斯函数”、裂项求和方法、对数函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题（共7小题）17．《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如茎叶图所示，但其中一个数字被污损．（1）若将被污损的数字视为0～9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率；（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情，现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间y（单位：小时）与年龄x（单位：岁），并制作了对照表（如表所示）：年龄x20304050每周学习诗词的平均时间y33.53.54由表中数据分析，x与y呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间．参考公式：，．【考点】线性回归方程．【专题】计算题；转化思想；分析法；概率与统计；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）求出两组数据的平均数，推出x的范围，然后求解概率．（2）求出样本中心坐标，求出回归直线的斜率以及截距，然后求解即可．【解答】解：（1）设污损的数字为x，由北方观众平均人数超过南方观众平均人数得，⇒x＜6，即x＝0，1，2，3，4，5，∴；（2），，∴，又，，∴，∴，∴，∴x＝60时，．答：年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为4.25小时．【点评】本题考查回归直线方程的应用，考查转化思想以及计算能力．18．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AB＝2AA1＝2A1B1＝2，AA1⊥平面ABCD．（1）证明：BD⊥CC1；（2）若M是棱BC上一动点（含端点），求三棱锥D﹣AMD1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直．【专题】转化思想；综合法；立体几何；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）证明BD⊥平面AA1C1C，后可得证线线垂直；（2）由计算即可．【解答】解：（1）证明：如图，连接AC，A1C1，因为ABCD﹣A1B1C1D1为棱台，所以A，A1，C1，C四点共面，因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD，因为AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C，又CC1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CC1；（2）根据题意可得AD∥BC，则为定值，∵，点D1到平面AMD的距离为A1A＝1，∴．【点评】本题考查线线垂直的证明，三棱锥的体积的求解，属中档题．19．已知椭圆的左、右焦点为F1，F2，离心率为．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线PF1、PF2分别与椭圆C交于点A、B，△PF1B的周长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若，，求证：λ1+λ2为定值．【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程；椭圆的性质．【专题】方程思想；转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】（1）；（2）证明过程见解答．【分析】（1）利用椭圆的定义及性质计算即可；（2）设直线PA的方程为x＝my﹣1，设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），根据条件可得y0，y1，y2的关系，再由，计算即可．【解答】解：（1）因为＝|PF1|+|PF2|+|BF1|+|BF2|＝2a+2a＝4a，所以4a＝8，a＝2，由离心率为，得c＝1，所以，所以椭圆C的标准方程为．（2）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，可设直线PA的方程为x＝my﹣1，其中，联立，化简，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，则，同理可得，．因为，．所以＝＝，所以λ1+λ2是定值．【点评】本题考查了椭圆的标准方程与性质，直线与椭圆的综合，考查了转化思想和方程思想，属中档题．20．数列{an}满足：a1+2a2+3a3+…+nan＝2+（n﹣1）•2n+1，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，若Tn＜m2﹣3恒成立，求实数m的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】方程思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】（1）an＝2n．（2）（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【分析】（1）a1+2a2+3a3+…+nan＝2+（n﹣1）•2n+1，n∈N*，n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1＝2+（n﹣2）•2n，相减化简即可得出an．（2）bn＝＝﹣，利用裂项求和方法即可得出数列{bn}的前n项和Tn，根据Tn＜m2﹣3恒成立，即可得出实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵a1+2a2+3a3+…+nan＝2+（n﹣1）•2n+1，n∈N*，∴n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1＝2+（n﹣2）•2n，相减可得：nan＝2+（n﹣1）•2n+1﹣[2+（n﹣2）•2n]，化为an＝2n．（2）bn＝＝＝﹣，∴数列{bn}的前n项和Tn＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＜1，∵Tn＜m2﹣3恒成立，∴1≤m2﹣3，解得m≤﹣2，或m≥2．∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【点评】本题考查了数列递推关系、数列的单调性、裂项求和方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）＝ax+cosx（0≤x≤π，a∈R）．（1）当时，求f（x）的单调递增区间；（2）若函数f（x）恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为M、m，求证：．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用导数讨论函数的单调性即可求解；（2）根据极值点的定义可得方程a﹣sinx＝0有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2），由正弦函数图象可知x1+x2＝π，利用导数求出函数的极值，进而构造函数h（x）＝3xsinx+3cosx﹣πsinx，再次利用导数求出h（x）min即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为[0，π]，当时，，，令或，当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以函数的单调递增区间为和；证明：（2）f（x）＝ax+cosx⇒f′（x）＝a﹣sinx，因为函数f（x）恰有两个极值点，所以方程f′（x）＝a﹣sinx＝0有两个不相等的实根，设为x1、x2且x1＜x2，当0≤x≤π时，函数y＝sinx图象关于直线对称，则x1+x2＝π，即sinx1＝sinx2＝a，因为0≤x≤π，所以a∈（0，1），当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x2，π）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以x1，x2分别是函数的极大值点和极小值点，即M＝f（x1）＝ax1+cosx1，m＝f′（x2）＝ax2+cosx2，于是有2M﹣m＝2（ax1+cosx1）﹣（ax2+cosx2），因为x1+x2＝π，所以x2＝π﹣x1，所以2M﹣m＝3ax1+3cosx1﹣aπ，而sinx1＝a，所以2M﹣m＝3x1sinx1+3cosx1﹣πsinx1，设，则h′（x）＝（3x﹣π）cosx，令或，当时，h（x）＜0，h（x）单调递减，当时，h（x）＞0，h（x）单调递增，因此有，即．【点评】在解决类似的问题时，要熟练应用导数研究函数的单调性、极值与最值，要掌握极值与极值点的定义，缕清极值点与方程的根之间关系，善于培养转化的数学思想，学会构造新函数，利用导数研究新函数的性质即可解决问题．22．在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）过点P（1，2）倾斜角为135°的直线l与曲线C交于M、N两点，求PM2+PN2的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；坐标系和参数方程．【答案】见试题解答内容【分析】（1）先求出曲线C的普通方程为x2+（y﹣2）2＝4，再化成极坐标方程；（2）先写出直线的参数方程（t为参数），再将直线的参数方程代入圆的方程，利用直线参数方程t的几何意义解答．【解答】解（1）依题意，曲线C的普通方程为x2+（y﹣2）2＝4，即x2+y2﹣4y＝0，故x2+y2＝4y，故ρ＝4sinθ，故所求极坐标方程为ρ＝4sinθ；（2）设直线l的参数方程为（t为参数），将此参数方程代入x2+y2﹣4y＝0中，化简可得t2﹣t﹣3＝0，显然Δ＞0．设M，N所对应的参数分别为t1，t2，则．∴PM2+PN2＝t12+t22＝（t1+t2）2﹣2t1t2＝8．【点评】本题主要考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．属中档题．23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|（a＞0，b＞0）．（1）当a＝1，b＝2时，解不等式f（x）＜x+8；（2）若函数f（x）的最小值是2，证明：．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；不等式；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）{x|﹣3＜x＜7}（2）证明见解答．【分析】（1）解法一：去掉绝对值符号，求解不等式的解集即可．解法二：化简函数为分段函数，用图象解不等式f（x）＜x+8的解集．（2）通过f（x）＝|x﹣a|+|x+b|≥|a+b|结合函数的最小值，利用基本不等式转化求解证明即可．【解答】（1）解法一：当a＝1，b＝2时，不等式为|x﹣1|+|x+2|＜x+8．当x＜﹣2时不等式化为﹣（x﹣1）﹣（x+2）＜x+8得x＞﹣3，故﹣3＜x＜﹣2；当﹣2≤x≤1时不等式化为﹣（x﹣1）+（x+2）＜x+8得x＞﹣5．故﹣2≤x≤1；当x＞1时不等式化为（x﹣1）+（x+2）＜x+8⇒x＜7．故1＜x＜7．综上可知，不等式f（x）＜x+8的解集为{x|﹣3＜x＜7}，解法二：用图象解，作出f（x）与y＝x+8的图象：由﹣2x﹣1＝x+8⇒x＝﹣3，由2x+1＝x+8⇒x＝7，所以不等式f（x）＜x+8的解集为{x|﹣3＜x＜7}．（2）证明：易知f（x）＝|x﹣a|+|x+b|≥|a+b|，因为f（x）的最小值是2且a＞0，b＞0所以a+b＝2，故（a+2）+（b+2）＝6．所以＝＝（当且仅当a＝b＝1时取等号）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

考点卡片1．交、并、补集的混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．2．一元二次不等式及其应用【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．【命题方向】①一元二次不等式恒成立问题：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．②分式不等式问题：＞0⇔f（x）•g（x）＞0；＜0⇔f（x）•g（x）＜0；≥0⇔；≤0⇔．3．函数的图象与图象的变换【知识点的认识】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．图象的变换1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象（1）平移变换：y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．（2）伸缩变换：y＝f（x）y＝f（ωx）；y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．（3）对称变换：y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．（4）翻折变换：y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．【解题方法点拨】1、画函数图象的一般方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法（1）知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；④从图象的循环往复，观察函数的周期性．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．（2）知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．3、（1）利有函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．（2）利用函数的图象研究方程根的个数有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．【命题方向】（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：①正确求出函数的定义域；②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．（3）3种方法﹣﹣识图的方法对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．4．函数奇偶性的性质与判断【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．5．奇偶性与单调性的综合【知识点的认识】对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】参照奇偶函数的性质那一考点，有：①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反例题：如果f（x）＝为奇函数，那么a＝．解：由题意可知，f（x）的定义域为R，由奇函数的性质可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）⇒a＝1【命题方向】奇偶性与单调性的综合．不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．6．函数的值【知识点的认识】函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．【解题方法点拨】求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域解：f′（x）＝﹣1＝∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；故值域为（﹣∞，﹣1）【命题方向】函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．7．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．loga（MN）＝logaM+logaN；loga＝logaM﹣logaN；logaMn＝nlogaM；loga＝logaM．8．正弦函数的图象【知识点的认识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）；递减区间：（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）递增区间：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；递减区间：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）递增区间：（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）时，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+，k∈Z对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（，0）（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ9．正弦函数的单调性【知识点的认识】三角函数的单调性的规律方法1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．10．根据实际问题选择函数类型【知识点的认识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．（2）常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．②反比例函数模型：y＝（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．3．函数建模（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．（2）过程：如下图所示．【解题方法点拨】用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：（1）解函数关系已知的应用题①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．（2）解函数关系未知的应用题①阅读理解题意看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；②抽象函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；③研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；④得出问题的结论根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．【命题方向】典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（）A．y＝0.025xB．y＝1.003xC．y＝l+log7xD．y＝x2分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%＝x，A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤x恒成立，故满足公司要求；D中，函数y＝x2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；故选C点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x＝（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．解答：解：（1）由题意：3﹣x＝，且当t＝0时，x＝1．所以k＝2，所以3﹣x＝，…（1分）生产成本为32x+3，每件售价，…（2分）所以，y＝…（3分）＝16x﹣＝，（t≥50）；…（2分）（2）因为当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）所以y≤50﹣8＝42，…（1分）答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．11．等比数列的性质【知识点的认识】等比数列（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1时，an为常数列．等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn＝，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am•an＝ap•aq．等比数列的性质（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．【解题方法点拨】例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝．解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案为：6．本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．12．等比数列的通项公式【知识点的认识】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1•qn﹣13．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b（ab≠0）4．等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．13．数列的求和【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【解题方法点拨】典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：＝＝．解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn＝＝n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn＝＝＝＝，∴Tn＝＝＝，即数列{bn}的前n项和Tn＝．点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【命题方向】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．14．数列递推式【知识点的认识】1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝．在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．【解题方法点拨】数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解．（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．②形如an＝的递推数列都可以用倒数法求通项．（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．15．利用导数研究函数的单调性【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴16．利用导数研究函数的极值【知识点的认识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．17．复数的代数表示法及其几何意义【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．3、复数中的解题策略：（1）证明复数是实数的策略：①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔＝z．（2）证明复数是纯虚数的策略：①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0时，z﹣＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+＝0且z≠0．18．复数的运算【知识点的认识】复数的加、减、乘、除运算法则19．棱柱、棱锥、棱台的体积【知识点的认识】柱体、锥体、台体的体积公式：V柱＝sh，V锥＝Sh．20．球的体积和表面积【知识点的认识】1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．2．球体的体积公式设球体的半径为R，V球体＝3．球体的表面积公式设球体的半径为R，S球体＝4πR2．【命题方向】考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．21．直线与平面垂直【知识点的认识】直线与平面垂直：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直的判定：（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．直线与平面垂直的性质：①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．22．直线与圆的位置关系【知识点的认识】直线与圆的位置关系【解题方法点拨】判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．23．椭圆的标准方程【知识点的认识】椭圆标准方程的两种形式：（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．标准方程（a＞b＞0）中心在原点，焦点在x轴上（a＞b＞0）中心在原点，焦点在y轴上图形顶点A（a，0），A′（﹣a，0）B（0，b），B′（0，﹣b）A（b，0），A′（﹣b，0）B（0，a），B′（0，﹣a）对称轴x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b焦点在长轴长上x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b焦点在长轴长上焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2离心率e＝（0＜e＜1）e＝（0＜e＜1）准线x＝±y＝±24．椭圆的性质【知识点的认识】1．椭圆的范围2．椭圆的对称性3．椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，线段A1