高考数学一轮复习考点规范练33数系的扩充与复数的引入含解析新人教版

考点规范练33数系的扩充与复数的引入一、基础巩固1.(2020全国Ⅱ,文2)(1-i)4=()A.-4 B.4 C.-4i D.4i2.若a为实数,且2+ai1+i=3+i,则a=A.-4 B.-3 C.3 D.43.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=14.若复数z=1+i,z为z的共轭复数,则下列结论正确的是()A.z=-1-i B.z=-1+iC.|z|=2 D.|z|=25.已知复数z满足iz=i+z,则z=()A.-12+12i BC.12-12i6.设复数z1=-1+3i,z2=1+i,则z1+z2A.-1-i B.1+i C.1-i D.-1+i7.若复数z=1+ia-i(i是虚数单位,a∈R)是纯虚数,则zA.1 B.i C.2 D.2i8.已知复数z1=2+2i,z2=1-3i(i为虚数单位),则复数z12zA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限9.(多选)已知复数z=-12+3A.z2=0 B.z2=zC.z3=1 D.|z|=110.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=,ab=.

11.如图,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则z2z1=二、综合应用12.若z=1+2i,则4izz-1A.1 B.-1 C.i D.-i13.(多选)已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,则下列结论正确的是()A.点P0的坐标为(1,2)B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C.复数z对应的点Z在一条直线上D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为214.已知复数z=3+i(1-3i)2,z15.在复平面内,复数2-3i1+2i+z对应的点的坐标为(2,-2),则z在复平面内对应的点位于第16.(2020全国Ⅱ,理15)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,则|z1-z2|=.

17.若复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(m,λ,θ∈R),且z1=z2,则λ的取值范围是.

三、探究创新18.据记载,欧拉公式eix=cosx+isinx(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x=π时,得到一个令人着迷的优美恒等式eπi+1=0,这个恒等式将数学中五个重要的数(自然对数的底数e,圆周率π,虚数单位i,自然数的单位1和零)联系到了一起,有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式,若复数z=e3π4i的共轭复数为z,则zA.-22-22i BC.22+22i19.在复平面内,复数z=a+bi(a,b∈R)对应向量OZ(O为坐标原点),设|OZ|=r,以射线Ox为始边,OZ为终边逆时针旋转的角为θ,则z=r(cosθ+isinθ),法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ),则(-1+3i)10=()A.1024-10243i B.-1024+10243iC.512-5123i D.-512+5123i

考点规范练33数系的扩充与复数的引入1.A(1-i)4=[(1-i)2]2=(-2i)2=-4.故选A.2.D由题意,得2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,即a=4.3.C设z=x+yi(x,y∈R).因为z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|=x2+则x2+(y-1)2=1.故选C.4.Dz=1-i,|z|=1+1=25.C∵iz=i+z,∴(1-i)z=-i,即z=-i1-i6.C∵z1=-1+3i,z2=1+i,∴z1+z2z1-z2=7.Az=1+i因为z是纯虚数,所以a-1=0,a+1≠0,解得8.B∵z1=2+2i,z2=1-3i,∴z12z2∴复数z12z2在复平面内所对应的点的坐标为-125,9.BCD由于复数z=-12即z2=14-32i-则z2=z,故B正确;z3=-12-32i-10.52由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则a2-b2=3,ab=2,解得a211.-1-2i由题意,得z1=i,z2=2-i,故z2z1=212.C由题意知z=1-2i,则4izz-13.ACD复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0(1,2),A正确;复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称,B错误;设z=x+yi(x,y∈R),代入|z-1|=|z-i|,得|(x-1)+yi|=|x+(y-1)i|,即(x-1即点Z在直线y=x上,C正确;易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为点P0与点Z之间距离的最小值,结合点到直线的距离公式可知,最小值为|1-14.14∵z=3+i∴z=-3∴z·15.四设z=x+yi(x,y∈R),则2-3i1+2i+x+yi=即(2-3i)(1-2i)(1+2i)(1所以x-4即z=145-3516.23设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).∵|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4.又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=3+i,∴a+c=3,b+d=1,∴(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4,得2ac+2bd=-4,∴(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12,∴|z1-z2|=(a-c17.-916化简,得4-4cos2θ=λ+3sinθ,由此可得λ=-4cos2θ-3sinθ+4=-4(1-sin2θ)-3sinθ+4=4sin2θ-3sinθ=4sinθ因为s