2024年高考数学终极押题密卷1（上海卷）含答案

2024年高考数学终极押题密卷1（上海卷）一．选择题（共4小题）1．若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆的一个顶点，则p的值为（）A．2 B．3 C．4 D．82．下列说法不正确的是（）A．若随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X≤4）＝0.7，则P（3＜X＜4）＝0.2 B．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 C．若线性相关系数|r|越接近1，则两个变量的线性相关性越强 D．对具有线性相关关系的变量x，y，且线性回归方程为＝0.3x﹣m，若样本点的中心为（m，2.8），则实数m的值是﹣43．已知函数f（x）＝ax2+|x+a+1|为偶函数，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．∅ B．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣1，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）4．已知n∈N*，集合，若集合A恰有8个子集，则n的可能值有几个（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共12小题）5．已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{﹣1，1，3，5}，则A∩B＝．6．复数的模为．7．不等式的解集为．8．的二项展开式中x4项的系数为（用数值回答）．9．已知随机变量X服从正态分布N（95，σ2），若P（75≤X≤115）＝0.4，则P（X＞115）＝．10．已知y＝f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝，则f（﹣）的值是11．数据1、2、3、4、5的方差为，数据3、6、9、12、15的方差为，则＝12．已知曲线上有一点，则过P点的切线的斜率为13．小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件A表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件B表示“两家选择景点不同”，则概率P（B|A）＝．14．随机变量X～N（105，192），Y～N（100，92），若P（X≤A）＝P（Y≤A），那么实数A的值为．15．已知曲线C1：|y|＝x+2与曲线C2：（x﹣a）2+y2＝4恰有两个公共点，则实数a的取值范围为．16．函数y＝f（x）是最小正周期为4的偶函数，且在x∈[﹣2，0]时，f（x）＝2x+1，若存在x1，x2，…，xn满足0≤x1＜x2＜…＜xn，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|＝2023，则n+xn最小值为．三．解答题（共5小题）17．已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＝b1＝1，a5＝5（a4﹣a3），b5＝4（b4﹣b3）．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）记{an}的前n项和为Sn，求证：SnSn+2＜（n∈N*）．18．如图：PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，PD＝CD＝2AD＝2AB＝2．（1）求异面直线AB与PC所成角的大小；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值；19．许多小朋友热衷于“套娃娃”游戏．在一个套娃娃的摊位上，若规定小朋友套娃娃成功1次或套4次后游戏结束，每次套娃娃成功的概率为，每次套娃娃费用是10元．（1）记随机变量X为小朋友套娃娃的次数，求X的分布列和数学期望；（2）假设每个娃娃价值18元，每天有30位小朋友到此摊位玩套娃娃游戏，求摊主每天利润的期望．20．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，C的离心率为2，直线l过F2与C交于M，N两点，当|OM|＝|OF2|时，△MF1F2的面积为3．（1）求双曲线C的方程；（2）已知M，N都在C的右支上，设l的斜率为m．①求实数m的取值范围；②是否存在实数m，使得∠MON为锐角？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．21．已知常数m∈R，设f（x）＝lnx+．（1）若m＝1，求函数y＝f（x）的最小值；（2）是否存在0＜x1＜x2＜x3，且x1、x2、x3依次成等比数列，使得f（x1）、f（x2）、f（x3）依次成等差数列？请说明理由．（3）求证：“m≤0”是“对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，都有＞”的充要条件．

2024年菁优高考数学终极押题密卷1（上海卷）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆的一个顶点，则p的值为（）A．2 B．3 C．4 D．8【考点】抛物线的性质；圆锥曲线的综合；椭圆的性质．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】D【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再利用椭圆方程求出a，即可求出p的值．【解答】解：∵抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（，0），中a＝4，∴＝4，∴p＝8．故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的焦点坐标，考查了椭圆的标准方程，是基础题．2．下列说法不正确的是（）A．若随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X≤4）＝0.7，则P（3＜X＜4）＝0.2 B．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 C．若线性相关系数|r|越接近1，则两个变量的线性相关性越强 D．对具有线性相关关系的变量x，y，且线性回归方程为＝0.3x﹣m，若样本点的中心为（m，2.8），则实数m的值是﹣4【考点】线性回归方程；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】B【分析】利用正态分布的性质即可判断选项A，利用百分位数的定义即可判断选项B，根据线性相关系数的性质即可判断选项C，利用线性回归方程中的基本量即可判断选项D．【解答】解：对A：若随机变量X服从正态分布X（3，σ2），且P（X≤4）＝0.7，则P（X＞4）＝1﹣P（X≤4）＝0.3，则P（3＜X＜4）＝0.5﹣P（X＞4）＝0.2，A正确；对B：因为10×60%＝6，所以第60百分位数为，B错误；对C：若线性相关系数|r|越接近1，则两个变量的线性相关性越强，C正确；对于D，样本点的中心为，所以，，而对于回归直线方程，因为此时线性回归方程为，所以，2.8＝0.3m﹣m，所以m＝﹣4，D正确．故选：B．【点评】本题考查了正态分布、百分位数和线性回归方程的计算，属于中档题．3．已知函数f（x）＝ax2+|x+a+1|为偶函数，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．∅ B．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣1，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】函数奇偶性的性质与判断．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】由偶函数的定义求得a＝﹣1，再由二次不等式的解法可得所求解集．【解答】解：函数f（x）＝ax2+|x+a+1|为偶函数，可得f（﹣x）＝f（x），即ax2+|﹣x+a+1|＝ax2+|x+a+1|，则a+1＝0，即a＝﹣1，f（x）＝﹣x2+|x|，f（x）＞0，即﹣x2+|x|＞0，可得|x|2﹣|x|＜0，即|x|（|x|﹣1）＜0，即0＜|x|＜1，解得﹣1＜x＜0或0＜x＜1，故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和运用，以及不等式的解法，考查转化思想和运算能力，属于基础题．4．已知n∈N*，集合，若集合A恰有8个子集，则n的可能值有几个（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】子集与真子集．【专题】集合思想；综合法；集合；数学抽象．【答案】B【分析】由已知结合集合元素个数与集合子集个数的关系即可求解．【解答】解：因为A＝{0，sin，sin，…，sin}，因为集合A恰有8个子集，所以A中含有3个元素且sin0＝sinπ，结合诱导公式可知，n＝4或n＝5．故选：B．【点评】本题主要考查了集合元素个数与集合子集个数的规律的应用，属于基础题．二．填空题（共12小题）5．已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{﹣1，1，3，5}，则A∩B＝{﹣1，1}．【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．【答案】{﹣1，1}．【分析】求解绝对值的不等式化简A，再由交集运算的定义得答案．【解答】解：∵A＝{x||x|≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{﹣1，1，3，5}，∴A∩B＝{x|﹣1≤x≤1}∩{﹣1，1，3，5}＝{﹣1，1}．故答案为：{﹣1，1}．【点评】本题考查交集及其运算，考查绝对值不等式的解法，是基础题．6．复数的模为．【考点】复数的模．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】．【分析】法一：先将复数z化简，再求模；法二，根据复数的模等于分子的模除以分母的模，直接计算．【解答】解：法一：，∴z＝﹣i，∴．法二：．故答案为：．【点评】本题考查复数的模的运算，属于基础题．7．不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）．【考点】其他不等式的解法．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）．【分析】将分式不等式转化为整式不等式求解即可，注意分母不等于0．【解答】解：不等式的两边同时乘以（x﹣1）²，原不等式化为：（x+3）（x﹣1）≥0，且x﹣1≠0，解得：x＞1或x≤﹣3，不等式解集为：（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）．【点评】本题考查分式不等式的解法，属于基础题．8．的二项展开式中x4项的系数为270（用数值回答）．【考点】二项式定理．【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算．【答案】270．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于4，求得r的值，即可求得含x4项的系数．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为Tr+1＝•35﹣r•x10﹣3r，令10﹣3r＝4，求得r＝2，故开式中含x4项系数为•33＝270．故答案为：270．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．9．已知随机变量X服从正态分布N（95，σ2），若P（75≤X≤115）＝0.4，则P（X＞115）＝0.3．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】0.3．【分析】根据正态分布曲线的对称性求解．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（95，σ2），∴P（X＞115）＝＝＝0.3．故答案为：0.3．【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．10．已知y＝f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝，则f（﹣）的值是﹣【考点】函数奇偶性的性质与判断．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】﹣．【分析】由已知可先求出f（），然后结合奇函数的定义即可求解．【解答】解：因为y＝f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝，所以f（）＝＝．则f（﹣）＝．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性的定义在函数求值中的应用，属于基础题．11．数据1、2、3、4、5的方差为，数据3、6、9、12、15的方差为，则＝9【考点】极差、方差与标准差．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】9．【分析】根据方差的计算公式求解．【解答】解：数据1、2、3、4、5的平均数为＝3，所以＝＝2，数据3、6、9、12、15的平均数为＝9，所以＝×[（3﹣9）2+（6﹣9）2+（9﹣9）2+（12﹣9）2+（15﹣9）2]＝18，所以＝＝9．故答案为：9．【点评】本题主要考查了方差的定义，属于基础题．12．已知曲线上有一点，则过P点的切线的斜率为4或1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数及其几何意义．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算．【答案】4或1．【分析】根据题意，求出函数的导数，将x＝2代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①P为切点，曲线，其导数y′＝x2，则y′|x＝2＝4，即过P点的切线的斜率k＝4；②P不是切点，设切点的坐标为（m，），曲线，其导数y′＝x2，则y′|x＝m＝m2，则有m2＝，解可得m＝﹣1或2（舍），此时切线的斜率k＝m2＝1．综合可得：切线的斜率为4或1．故答案为：4或1．【点评】本题考查导数的几何意义，涉及导数的计算，属于基础题．13．小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件A表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件B表示“两家选择景点不同”，则概率P（B|A）＝．【考点】条件概率与独立事件．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】．【分析】根据题意，由古典概型公式求出P（A）、P（AB），进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，两家分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，有3×3＝9种情况，若两家至少有一家选择古猗园，有9﹣2×2＝5种情况，则P（A）＝，若两家选择景点不同且至少有一家选择古猗园，有2×2＝4种情况，则P（AB）＝，则P（B|A）＝＝．故答案为：．【点评】本题考查条件概率的计算，涉及古典概型的计算，属于基础题．14．随机变量X～N（105，192），Y～N（100，92），若P（X≤A）＝P（Y≤A），那么实数A的值为95.5．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】95.5．【分析】设μ1＝105，σ1＝19，μ2＝100，σ2＝9，由P（X≤A）＝P（Y≤A），设A＝μ1﹣xσ1＝μ2﹣xσ2，则105﹣19x＝100﹣9x，求出x的值，进而求出A的值．【解答】解：随机变量X～N（105，192），Y～N（100，92），设μ1＝105，σ1＝19，μ2＝100，σ2＝9，由P（X≤A）＝P（Y≤A），设A＝μ1﹣xσ1＝μ2﹣xσ2，则满足P（X≤A）＝P（Y≤A），∴105﹣19x＝100﹣9x，解得x＝0.5，∴A＝105﹣19×0.5＝95.5．故答案为：95.5．【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．15．已知曲线C1：|y|＝x+2与曲线C2：（x﹣a）2+y2＝4恰有两个公共点，则实数a的取值范围为{a|a＝2，或﹣4＜a＜0}．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【答案】{a|a＝2，或﹣4＜a＜0}．【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离小于半径求解即可．【解答】解：曲线C2：（x﹣a）2+y2＝4的圆心（a，0），半径为2，曲线C1：|y|＝x+2与曲线C2：（x﹣a）2+y2＝4恰有两个公共点可得，解得a＝2，或﹣4＜a＜0，故答案为：{a|a＝2，或﹣4＜a＜0}．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．16．函数y＝f（x）是最小正周期为4的偶函数，且在x∈[﹣2，0]时，f（x）＝2x+1，若存在x1，x2，…，xn满足0≤x1＜x2＜…＜xn，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|＝2023，则n+xn最小值为1518.5．【考点】函数的周期性．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】由函数y＝f（x）是最小正周期为4的偶函数可知函数的值域为[﹣3，1]，若存在x1，x2，…，xn满足0≤x1＜x2＜…＜xn，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|＝2023，要使n+xn取得最小值，尽可能多让xi（i＝1，2，3，…，m）取得最高点，然后可得n+xn的最小值．【解答】解：∵函数y＝f（x）是最小正周期为4的偶函数，且在x∈[﹣2，0]时，f（x）＝2x+1，∴函数的值域为[﹣3，1]，若存在x1，x2，…，xn满足0≤x1＜x2＜…＜xn，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|＝2023，要使n+xn取得最小值，尽可能多让xi（i＝1，2，3，…，m）取得最高点，且f（0）＝1，f（2）＝﹣3，+1＝506.75，∴n的最小值为507，相应的xn最小值为1011.5，则n+xn的最小值为1518.5．故答案为：1518.5．【点评】本题考查函数的图象和性质，考查函数的有界性的应用，考查了分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，属于难题．三．解答题（共5小题）17．已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＝b1＝1，a5＝5（a4﹣a3），b5＝4（b4﹣b3）．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）记{an}的前n项和为Sn，求证：SnSn+2＜（n∈N*）．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式．【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】（1）an＝n，bn＝2n﹣1；（2）证明见解答．【分析】（1）分别根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求出；（2）根据等差数列的求和公式和作差法即可比较大小，则可证明．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由a1＝1，a5＝5（a4﹣a3），则1+4d＝5d，可得d＝1，∴an＝1+n﹣1＝n，∵b1＝1，b5＝4（b4﹣b3），∴q4＝4（q3﹣q2），解得q＝2，∴bn＝2n﹣1；（2）证明：由（1）可得Sn＝，∴SnSn+2＝n（n+1）（n+2）（n+3），＝（n+1）2（n+2）2，∴SnSn+2﹣＝﹣（n+1）（n+2）＜0，∴SnSn+2＜（n∈N*）．【点评】本题考查了等差数列等比数列的通项公式和求和公式，考查了不等式的证明，考查了运算求解能力，属于中档题．18．如图：PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，PD＝CD＝2AD＝2AB＝2．（1）求异面直线AB与PC所成角的大小；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值；【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间角；数学运算．【答案】（1）异面直线AB与PC所成角的大小45°．（2）二面角B﹣PC﹣D的余弦值为．【分析】（1）由已知条件得异面直线PC与AB所成角为∠PCD，由此能求出异面直线PC与AB所成角的余弦值．（2）以点D为坐标原点，建立坐标系，再由向量法得出二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴异面直线PC与AB所成角为∠PCD，∵PD⊥CD，PD＝CD＝2，∴∠PCD＝45°．∴异面直线AB与PC所成角的大小45°．（2）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥DC，又AD⊥DC，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系：则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），则＝（0，2，﹣2），＝（﹣1，1，0），＝（0，0，2），＝（1，0，﹣2），设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，则y＝1，z＝1，∴＝（1，1，1），取平面PDC的法向量为＝（1，0，0），设二面角B﹣PC﹣D的大小为θ，由图形知，θ为锐角，∴cosθ＝＝，∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理和性质定理，考查了利用空间向量求二面角，属于中档题．19．许多小朋友热衷于“套娃娃”游戏．在一个套娃娃的摊位上，若规定小朋友套娃娃成功1次或套4次后游戏结束，每次套娃娃成功的概率为，每次套娃娃费用是10元．（1）记随机变量X为小朋友套娃娃的次数，求X的分布列和数学期望；（2）假设每个娃娃价值18元，每天有30位小朋友到此摊位玩套娃娃游戏，求摊主每天利润的期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）求得X的可能取值及对应概率，即可求得分布列，根据期望公式求解即可；（2）求得Y的可能取值及对应概率，即可求解．【解答】解：（1）由题意知，随机变量X的可能取值为1，2，3，4，则P（X＝4）＝，P（X＝3）＝，P（X＝2）＝，P（X＝1）＝，所以X的分布列为：X1234P．（2）由题意可知，小朋友套娃娃未成功的概率为，则小朋友套娃娃成功的概率为，记摊主每天利润为Y元，则Y的期望为，故摊主每天利润的期望为元．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．20．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，C的离心率为2，直线l过F2与C交于M，N两点，当|OM|＝|OF2|时，△MF1F2的面积为3．（1）求双曲线C的方程；（2）已知M，N都在C的右支上，设l的斜率为m．①求实数m的取值范围；②是否存在实数m，使得∠MON为锐角？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】（1）（2）①②不存在，理由见解析【分析】（1）由已知条件可得∠F1MF2＝90°，然后利用勾股定理结合双曲线的定义，及△MF1F2的面积可求出b2，再由离心率可求出a2，从而可求得双曲线的方程；（2）①设直线l：m（x﹣2）﹣y＝0，代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系结合判别式可求出实数m的取值范围；②假设存在实数m，使∠MON为锐角，则，所以x1x2+y1y2＞0，再结合前面的式子化简计算即可得结论．【解答】解：（1）因为|OM|＝|OF1|＝|OF2|，所以∠F1MF2＝90°．则，所以，△MF1F2的面积．又C的离心率为，所以a2＝1，所以双曲线C的方程为．（2）①根据题意F2（2，0），则直线l：m（x﹣2）﹣y＝0，由，得（3﹣m2）x2+4m2x﹣4m2﹣3＝0，由，得m2≠3，Δ＞0恒成立．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，因为直线l与双曲线C的右支相交于M，N不同的两点，所以，即，所以，解得．②假设存在实数m，使∠MON为锐角，所以，即x1x2+y1y2＞0，因为，所以，由①得（1+m2）（4m2+3）﹣8m4+4m2（m2﹣3）＞0，即7m2+3﹣12m2＞0解得，与矛盾，故不存在．【点评】此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，第（2）问解题的关键是设出直线方程代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系，再结合求解，考查计算能力，属于较难题．21．已知常数m∈R，设f（x）＝lnx+．（1）若m＝1，求函数y＝f（x）的最小值；（2）是否存在0＜x1＜x2＜x3，且x1、x2、x3依次成等比数列，使得f（x1）、f（x2）、f（x3）依次成等差数列？请说明理由．（3）求证：“m≤0”是“对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，都有＞”的充要条件．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理．【答案】（1）1．（2）m＝0时，存在x1，x2，x3满足条件，当m≠0时，不存在x1，x2，x3满足条件．（3）证明详情见解答．【分析】（1）求导分析f′（x）的符号，f（x）的单调性，最值，即可得出答案．（2）根据题意可得＝x1x3，2f（x2）＝f（x1）+f（x3），则＝，分两种情况：当m＝0时，当m≠0时，讨论是否满足条件，即可得出答案．（3）由＞，得（x1﹣x2）[f′（x1）+f′（x2）]﹣2[f（x1）﹣f（x2）]＝+﹣+﹣+﹣2ln，令＝t＞1，则原＝﹣t+2lnt+（t﹣1）3①，证明充分性和必要性，即可得出答案．【解答】解：（1）f（x）＝lnx+（x＞0），f′（x）＝﹣＝，令f′（x）＝0，得x＝1，所以在（0，1）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝1．（2）若x1、x2、x3依次成等比数列，则＝x1x3，若f（x1）、f（x2）、f（x3）成等差数列，则2f（x2）＝f（x1）+f（x3），所以2lnx2+＝lnx1++lnx3+＝lnx1x3+＝+，所以＝，当m＝0时，成立，当m≠0时，则2x2＝x1+x3，联立＝x1x3，得＝x1x3，+2x1x3+＝4x1x3，即（x1﹣x3）2＝0，所以x1＝x3，与x1＜x2＜x3矛盾，所以m＝0时，存在x1，x2，x3满足条件，当m≠0时，不存在x1，x2，x3满足条件．（3）证明：f（x）＝lnx+，则f′（x）＝﹣，＞，所以（x1﹣x2）[f′（x1）+f′（x2）]﹣2[f（x1）﹣f（x2）]＜0，又（x1﹣x2）[f′（x1）+f′（x2）]﹣2[f（x1）﹣f（x2）]＝（x1﹣x2）[﹣+﹣]﹣2[lnx1+﹣lnx2﹣]＝+﹣+﹣+﹣2ln，令＝t＞1，上式＝+﹣t+﹣+﹣2ln＝﹣t﹣2ln+（﹣3t2+3t﹣1+t3）＝﹣t+2lnt+（t﹣1）3①，令g（t）＝﹣t+2lnt，则g′（t）＝﹣﹣1+＝﹣（﹣1）2＜0恒成立，g（t）单调递减，所以g（t）＜g（1）＝0，充分性：若m≤0，则（t﹣1）3≤0，则﹣t+2lnt+（t﹣1）3≤0恒成立，必要性：要使得①式恒成立，则（t﹣1）3≤0恒成立，即m≤0．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．

考点卡片1．子集与真子集【知识点的认识】1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．记作：A⊆B（或B⊇A）．2、真子集是对于子集来说的．真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是B的子集，若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．{1，3}⊂{1，2，3，4}{1，2，3，4}⊆{1，2，3，4}3、真子集和子集的区别子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．【解题方法点拨】注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．【命题方向】本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．2．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算形状：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．3．其他不等式的解法【知识点的认识】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值；②应用数形思想；③应用化归思想等价转化．注：常用不等式的解法举例（x为正数）：4．函数奇偶性的性质与判断【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．5．函数的周期性【知识点的认识】函数的周期性定义为若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x）＝f（x+T）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期．常函数为周期函数，但无最小正周期，其周期为任意实数．【解题方法点拨】周期函数一般和偶函数，函数的对称性以及它的图象相结合，考查的内容比较丰富．①求最小正周期的解法，尽量重复的按照所给的式子多写几个，例：求f（x）＝的最小正周期．解：由题意可知，f（x+2）＝＝f（x﹣2）⇒T＝4②与对称函数或者偶函数相结合求函数与x轴的交点个数．如已知函数在某个小区间与x轴有n个交点，求函数在更大的区间与x轴的交点个数．思路：第一，这一般是个周期函数，所以先求出周期T；第二，结合函数图象判断交点个数；第三，注意端点的值．【命题方向】周期函数、奇偶函数都是高考的常考点，学习是要善于总结并进行归类，灵活运用解题的基本方法，为了高考将仍然以小题为主．6．等比数列的通项公式【知识点的认识】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1•qn﹣13．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b（ab≠0）4．等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．7．数列的求和【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【解题方法点拨】典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：＝＝．解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn＝＝n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn＝＝＝＝，∴Tn＝＝＝，即数列{bn}的前n项和Tn＝．点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【命题方向】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．8．等差数列与等比数列的综合【知识点的认识】1、等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有as+at＝2ap；（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．2、等比数列的性质．（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．9．导数及其几何意义【知识点的认识】1、导数的定义如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．2、导数的几何意义函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）＝．【解题方法点拨】（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．（3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，（4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．【命题方向】题型一：根据切线方程求斜率典例1：已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3B．2C．1D．解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′＝﹣＝，解得x0＝3或x0＝﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．题型二：求切线方程典例2：已知函数其图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1，则它在点（﹣3，f（﹣3））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣3B．y＝﹣2x+3C．y＝2x﹣3D．y＝2x+3解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A故选A．10．利用导数研究函数的单调性【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴11．利用导数研究函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．12．利用导数研究曲线上某点切线方程【知识点的认识】利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．【解题方法点拨】例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．13．复数的模【知识点的认识】1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．14．异面直线及其所成的角【知识点的认识】1、异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．2、求异面直线所成的角的方法：求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：15．二面角的平面角及求法【知识点的认识】1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．3、二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理；①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；（4）平移或延长（展）线（面）法；（5）射影公式；（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此时cosθ＝cos＜，＞＝．（2）当＜＜，＞＜π时，θ＝π﹣＜，＞，cosθ＝﹣cos＜，＞＝﹣．16．直线与圆的位置关系【知识点的认识】直线与圆的位置关系【解题方法点拨】判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．17．椭圆的性质【知识点的认识】1．椭圆的范围2．椭圆的对称性3．椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4．椭圆的离心率①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．18．抛物线的性质【知识点的认识】抛物线的简单性质：19．双曲线的性质【知识点的认识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）图形性质焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e＝（e＞1）准线x＝±y＝±渐近线±＝0±＝020．直线与双曲线的综合【知识点的认识】直线与双曲线的位置判断：将直线方程与双曲线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：直线与双曲线相交⇔Δ＞0；直线与双曲线相切⇔Δ＝0；直线与双曲线相离⇔Δ＜0；直线与双曲线的位置关系只有三种，不可能出现有多个解，因为直线与双曲线的交点个数最多有2个．值得注意的是，当直线方程和双曲线方程联立后，如果得到一元一次方程，说明此时直线与双曲线的渐近线平行，那么直线与双曲线相交，且只有一个交点．【解题方法点拨】（1）直线与双曲线只有一个公共点有两种情况：①直线平行渐近线；②直线与双曲线相切．（2）弦长的求法设直线与双曲线的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝＝（k为直线斜率）注意：利用公式计算直线被双曲线截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．【命题方向】双曲线知识通常与圆、椭圆、抛物线或数列、向量及不等式、三角函数相联系，综合考查数学知识及应用是高考的重点，应用中应注意对知识的综合及分析能力，双曲线的标准方程和几何性质中涉及很多基本量，如“a，b，c，e“．树立基本量思想对于确定双曲线方程和认识其几何性质有很大帮助．21．圆锥曲线的综合【知识点的认识】1、抛物线的简单性质：2、双曲线的标准方程及几何性质标准方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）图形性质焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2ca2+b2＝c2范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e＝（e＞1）准线x＝±y＝±渐近线±＝1±＝122．条件概率与独立事件【知识点的认识】1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示．（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）．（3）条件概率的求法：①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A）＝，其中P（A）＞0；②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）＝【解题方法点拨】典例1：利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是．解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6＝36，即（a，b）的情况有36种，事件“a+b为偶数”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，“在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P＝＝故答案为：典例2：甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．分析：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A）＝，能求出结果．解答：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，P（ξ＝1）＝（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）（1﹣）×＝，P（ξ＝2）＝++＝，P（ξ＝3）＝＝，∴随机变量ξ的分布列为：ξ0123P数学期望E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，则P（A）＝++＝，P（AB）＝＝，P（B|A）＝＝＝．23．离散型随机变量及其分布列【知识点的认识】1、相关概念；（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．2、离散型随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列．（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．24．离散型随机变量的期望与方差【知识点的认识】1、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为x1x2…xn…Pp1p2…pn…则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn＝，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．2、离散型随机变量的方差；方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．方差的性质：．方差的意义：（1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；（2）随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．25．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【知识点的认识】1．正态曲线及性质（1）正态曲线的定义函数φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．（2）正态曲线的解析式①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为﹣．2．正态分布（1）正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）＝φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ（x）＝，x∈R有以下性质：（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；（3）曲线在x＝μ处达到峰值；（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．【解题方法点拨】正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．【命题方向】题型一：概率密度曲线基础考察典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）＝，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（）A．10与8B．10与2C．8与10D．2与10解析：由＝，可知σ＝2，μ＝10．答案：B．典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，则P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣P（2≤X≤4）＝0.5﹣×0.6826＝0.1587．故选B．题型二：正态曲线的性质典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为．（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．解（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由＝，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞）．（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．典例2：设两个正态分布N（μ1，）（σ1＞0）和N（μ2，）（σ2＞0）的密度函数图象如图所示，则有（）A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．答案：A．题型三：服从正态分布的概率计算典例1：设X～N（1，22），试求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）