2024年中考数学复习 分式（讲义）（解析版）（全国版）

分式

目录

考点三分式的运算

一、考情分析题型01分式的加减法

二、知识建构题型02分式的乘除法

考点一分式的相关概念题型03分式的混合运算

题型01分式的判断题型04分式的化简求值

题型02利用分式有无意义的条件，求未题型05零指数幕

知数的值或取值范围题型06分式运算的八种技巧

题型03利用分式值为正、负数或0的条技巧一约分计算法

件，求未知数的值或取值范围技巧二整体通分法

题型04约分与最简公式技巧三换元通分法

题型05最简公分母技巧四顺次相加法

考点二分式的基本性质技巧五裂项相消法

题型01利用分式的基本性质进行变形技巧六消元法

题型02利用分式的基本性质判断分式技巧七倒数求值法

值的变化技巧八整体代入法

题型03利用分式的符号法则，将分式恒

等变形

考点要求新课标要求命题预测

在中考，主要考查分

分式的相关概念>理解分式和最简分式的概念.

式的意义和分式值为零

情况，常以选择题、填空

分式的基本性质>能利用分式的基本性质进行约分与通分.题为主；分式的基本性质

和分式的运算考查常以

选择题、填空题、解答

分式的运算>能对简单的分式进行加、减、乘、除运算.

题的形式命题.

考点一分式的相关概念

f夯基•必备基础知识梳理__________

分式的概念：如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子g叫做分式，A为分子，B为分母.

对于分式3来说：①当BWO时，分式有意义；当B=0时，分式无意义.

②当A=0且BWO这两个条件同时满足时，分式值为0.

③当A=B时，分式的值为1.当A+B=O时，分式的值为-1.

④若我，则A、B同号；若番0,则A、B异号.

约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分.

最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.

通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分.

通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母.

约分与通分的联系与区别：

联系都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值.

区别1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单.

2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式.

最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次鼎的积作为公分母，这样的

分母叫做最简公分母.

确定最简公分母的方法：

类型方法步骤

1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；

分母为单项式

2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数.

1）对每个分母因式分解；

分母为多项式2）找出每个出现的因式的最高次累，它们的积为最简公分母；

3）若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.

1.判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简

后再判断，例如：”就是分式.

a

2.分式的值为0,必须保证分母W0,否则分式无意义.

3.约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式,约分要彻底，使分子、

分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等.

4.约分与通分都是根据是分式的基本性质.约分的关键是找出分子和分母的公因式，通分的关键是确定几

个分式的最简公分母.

.提升-必考题型归纳

题型01分式的判断

【例1】（2022•湖南怀化•中考真题）代数式|x,工，去，x2-|,i,筌中，属于分式的有（）

511xz+43xx+2

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【提示】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即

可.

【详解】分母中含有字母的是另，三，9，

.,•分式有3个，

故选：B.

【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键.

【变式1-1X2022•上海•上外附中校考模拟预测）下列各式中：Y，—'---TV->+?中，

2x11m（x+y）n23

是分式的共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【提示】根据分式的概念：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子］叫做分式，进而解答

即可.

【详解】空，-2―，红是分式，共有3个，

xm（x+y）n

故选：C.

【点睛】本题考查分式的概念，解题的关键是掌握分式的分母必须含有字母.

【变式1-2］（2021•四川遂宁•中考真题）下列说法正确的是（）

A.角平分线上的点到角两边的距离相等

B.平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形

C.在代数式32x,985,-+2b,；+y中，±+2b是分式

ana3JaJia

D.若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3,则这组数据的中位数是4

【答案】A

【提示】根据角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数的性质分别进行判断

即可.

【详解】解：A.角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确；

B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；

C.在代数式工，2x,985,-+2b,；+y中，。2b是分式，故选项错误；

aJia3Jaa

D.若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3,则这组数据的中位数是3,故选项错误；

故选:A.

【点睛】本题综合考查了角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数等知识点,

熟悉相关性质是解题的关键.

方法技巧

判断式子是不是分式是从原始形式上看，看分母是否还有字母，而不是从化简后的结果上看，如：

4a

一就是分式，而不是整式.

a

题型02利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围

【例2】（2023•江苏镇江•中考真题）使分式专有意义的x的取值范围是.

【答案】X。5

【提示】如果要使分式有意义，则分母不能为零，即可求得答案.

【详解】解：本题考查了分式有意义的条件，

即x—5*0,解得x力5,

故答案为：x片5.

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义分母不为零是关键.

【变式2-1］（2022•黑龙江哈尔滨•中考真题）在函数y=表中，自变量x的取值范围是.

【答案】X7-|

【提示】根据分式中分母不能等于零，列出不等式5x+3K0,计算出自变量x的范围即可.

【详解】根据题意得：5x+370

5xH—3

・・・x2H——3

5

故答案为：Xk-|

【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，分母不为零，解答本题的关键是列出不

等式并正确求解.

【变式2-2］（2023•河南南阳•校联考三模）若代数式上无意义，则实数x的值是—.

【答案】3

【提示】根据分式无意义的条件得出3-x=0,再求出答案即可.

【详解】解：要使代数式上无意义，

3—x=0,

解得：x=3,

故答案为：3.

【点睛】此题考查了分式无意义的条件，能熟记分式无意义的条件是解此题的关键，当分母B=0时，式子

5无意义.

【变式2-3］（2023•山东临沂•一模）要使分式交二无意义，则x的取值范围是_______.

X+1

【答案】x=-l

【提示】根据分式无意义的条件是分母为0进行求解即可.

【详解】解：.••分式史二无意义，

X+1

x+1=0,

/.X=—1.

故答案为：X=-1.

【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母不为。是解题的关键.

【变式2-4］（2023•湖北恩施•一模）函数y=旦的自变量x的取值范围是（）

Jx-3

A.xH3B.x>3

C.xZ—1且xH3D.x>—1

【答案】c

【提示】根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解.

【详解】解：..♦旦有意义，

X—3

x+1>0,x-30,

解得X>-1且x大3,

故选C.

【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的

关键.

方法技巧

1.分式有意义的条件：分式的分母不等于0.

2.分式无意义的条件：分式的分母等于0.

题型03利用分式值为正、负数或0的条件，求未知数的值或取值范围

【例3】（2023•浙江湖州•中考真题）若分式的值为0,则x的值是（）

A.1B.0C.-1D.-3

【答案】A

【提示】分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零.

【详解】解：依题意得：x—1=0且3x+1H0,

解得x=1.

故选：A.

【点睛】本题考查了分式的值为零的条件.分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.

2

【变式3-1］（2023•四川凉山•中考真题）分式S的值为0,贝氏的值是（）

x-1

A.0B.-1C.1D.0或1

【答案】A

【提示】根据分式值为。的条件进行求解即可.

【详解】解：..•分式"的值为0,

X-1

.（x2-x=0

*'lx-1丰0'

解得x=0,

故选A.

【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0,分母不为0是解题的关键.

【变式3-2］（2023•河北廊坊•校考三模）若分式粤三=0,则（）

m2-16

A.m=4B.m=-4

C.m=+4D.不存在m,使得呼，=0

m2-16

【答案】D

【提示】根据题意可得，I?=,此方程组无解.

（m2-1670

【详解】解：根据题意可得：

（|m|-4=0

tm2-16*0（

故无解，

故选：D.

【点睛】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件为：分子为。，分母不为0,是解题

的关键.

【变式3-3］（2021•江苏扬州•中考真题）不论x取何值，下列代数式的值不可能为。的是（）

1

A.x+1B.x2—1C.—D.（x+I）2

【答案】C

【提示】分别找到各式为。时的x值，即可判断.

【详解】解：A、当x=-l时，x+l=0,故不合题意；

B、当*二±1时，x2-l=0,故不合题意；

C、分子是1,而今0,则三切，故符合题意；

D、当x=-l时，（x+1）2=0,故不合题意；

故选C.

【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值.若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分

子为0；（2）分母不为0.这两个条件缺一不可.

【变式3-4]（2021南充市一模）若分式与占的值是负数，则x的取值范围是（）

xz+l

A.x>-3B.x>2-C.x<3-D.x<2-

2323

【答案】B

【提示】根据题意列出不等式即可求出X的取值范围.

【详解】解：由题意可知：2-3x<0,且x2+l>0恒成立，

・—

••X一,

3

故选:B.

【点睛】本题考查分式的值，当分子和分母同号时，分式值为正数，当分子和分母异号时，分式值为负数.

【变式3-5】分式/♦的值为负数的条件是（）

X3-2X2+X

A.x<3B.x>0且xH1

C.xV1且xW0D.0<x<3,且xH1

【答案】D

【提示】根据乘法公式，化简分式，分式的值要为负数，则分子、分母为异号，即可求出答案.

x—3

x(x2-2x+1)

x—3

一X(X-1)2'

因为分式的值为负数，

\-3>0俨一3<0

Ax<0或者x>0

.xW1(xW1

0<x<3且xW1

故选：D.

【点睛】本题考查分式的化简，分式的取值与分子、分母的关系，且分母不能为零，理解和掌握分式取值

与分子、分母的关系是解题的关键.

【变式3-6】若分式合的值大于零，则x的取值范围是_____.

（X—

【答案】x>一2且xW1

【提示】由已知可得分子x+2>0,再由分式的分母不等于零，得到x-l用，进而求出x的取值.

【详解】解：•.•分式溪三的值大于零，

（X—

Ax+2>0,

.".x>-2,

Vx-l#0,

故答案为x＞-2且Xg.

【点睛】本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是解

题的关键.

【变式3-7】下列关于分式的判断，正确的是（）

A.当x=2时，＞的值为零B.当x为任意实数时，备的值总为正数

C.无论X为何值，三不可能得整数值D.当x大3时，T有意义

x+lX

【答案】B

【提示】根据分式有意义的条件是分母不等于0;分式的值为正数的条件是分式的分子、分母同号；分式值

是0的条件是分子等于0,分母不为0即可得到结论.

【详解】解：A、当x=2时，＞无意义，故本选项不合题意；

B、当x为任意实数时，袅的值总为正数，故本选项符合题意；

x2+l

C、当x=0或2时，三能得整数值，故本选项不合题意；

X+1

D、当xHO时，三有意义，故本选项不合题意；

X

故选:B.

【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件.分式有意义的条件是分母不等于0.分式值

是。的条件是分子是0,分母不是0.

方法技巧

1）分式值为0的条件：分式的分子等于0且分母不等于0,这两个条件必须同时考虑，进而求解问题.

2）分式值为正的条件：分式的分子、分母同号.

3）分式值为负的条件：分式的分子、分母异号.

题型04约分与最简分式

【例4】（2023•甘肃兰州•中考真题）计算：—=（）

a-5

A.a—5B.a+5C.5D.a

【答案】D

【提示】分子分解因式，再约分得到结果.

【详解】解:

a—5

a(a—5)

a—5

a

故选：D.

【点睛】本题考查了约分，掌握提公因式法分解因式是解题的关键.

【变式4-1］（2022•贵州铜仁•中考真题）下列计算错误的是（）

233

A.|-2|=2B.a2.a-3=LC.^21=a+1D.（a）=a

aa—1

【答案】D

【提示】根据绝对值，同底数塞的乘法，负整数指数幕，分式的性质，幕的乘方计算法则求解即可.

【详解】解：A、|-2|=2,计算正确，不符合题意；

B、a2-a-3=a-1=计算正确，不符合题意；

a

C、么l=（a+l）（aT）=a+l,计算正确，不符合题意；

a-1a-1

D、（a2）3=a6,计算错误，符合题意；

故选D.

【点睛】本题主要考查了绝对值，同底数幕的乘法，负整数指数塞，分式的性质，幕的乘方计算法则，熟

知相关知识是解题的关键.

【变式4-2］（2023•河北保定•模拟预测）如图，若x为正整数，则表示分式会也的值落在（)

X2+3X+2

①②③④

，、/、/、/、

卜/、W/、W/、W/、NA

-10123

A.段①处B.段②处C.段③处D.段④处

【答案】C

【提示】先化简分式，再确定分式值的范围即可.

■、江在々刀2X2+4X2X（X+2）2X2（X+1）-22

【详解】解：不壬=询而=M=F^=N2—肃＜2n,

「X为正整数，

；.x的最小值为1,

•••当x=l时，告=后=1，

2

.FW2一有<2,

分式卷的值落在段③处,

故选：C.

【点睛】本题考查了分式的化简，解题关键是能够运用分式的基本性质进行化简并确定分式值的范围.

【变式4-3］（2023•安徽•中考真题）先化简，再求值：立吧，其中x=VI-1.

x+1

【答案】x+1；V2

【提示】先根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解.

【详解】解：立吧

X+1

（X+I）2

―x+1

=X+1,

当x=&—1时，

.•.原式=企-1+1=V2.

【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解.

【变式4-4］（2021•河北•模拟预测）下列分式属于最简分式的是（）

A.等B.口C.3D.士堡

5x2y-xx+yx+3y

【答案】c

【提示】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可.

【详解】A、答=詈，故此选项不符合题意；

5x25x

B、黄=*=-1，故此选项不符合题意；

C、立是最简分式，故此选项符合题意；

x+y

口、立芈=（x+3*-3y）=x_3y,故此选项不符合题意.

x+3yx+3y

故选：C.

【点睛】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键.

方法技巧

分式的约分子和分母必须都是乘积的形式才能进行约分，约分要彻底，使分子、分母没有公因式.

确定分子、分母的公因式的方法：

分子、分母类型具体方法

单项式1）系数取各系数的最大公约数;2）相同字母取字母的最低次哥.

多项式先把分子、分母进行因式分解,再确定公因式

题型05最简公分母

【例5】（2021•河北唐山•一模）要把分式高与照通分，分式的最简公分母是（）

A.2a2b2cB.2a3b3C.2a3b3cD.6a3b3c

【答案】A

【提示】根据最简公分母定义是各分母的最小公倍数即可求解.

【详解】解：根据最简公分母是各分母的最小公倍数，

•••系数2与1的公倍数是2,a?与a的最高次幕是a?,b与bZ的最高次嘉是b?,对于只在一个单项式中出现的

字母c直接作公分母中的因式，

.,.公分母为：2a2b2c.

故选择：A.

【点睛】本题考查最简公分母，熟练掌握最简公分母是解题关键.

1

【变式5-1］（2021•内蒙古•二模）分式击导的最简公分母是+人=

-a2+l

1

【答案】a(l+a)(l—a)

a(l+a)(l-a)

【提示】先把两个分式分解因式,然后通分，即可得到答案；然后进行计算求值即可.

111_1

【详解】解：：

-a2+l(l-a)(l+a)a2+aa(l+a)

11a11-a

-a2+l-(l-a)(l+a)-a(l-a)(l+a)'a2+aa(l+a)(l-a)

，焉，夫的最简公分母为：a（l+a）（l-a）

111a+l-a1

**-a2+la2+aa2+aa(l+a)(l-a)a(l+a)(l-a)

1

故答案为：a(l+a)(l-a),

a(l+a)(l-a)

【点睛】本题考查了因式分解和公分母，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解

考点二分式的基本性质

・夯基・必备基础龙识侬

AAer

分式的基本性质:分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.即=—（c^o）

BB.C

或3含（”0）,其中A,B,C是整式.

分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个,分式的值不变，即：金=胃=-?

D-DD

A

-B

易易错

运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式;

②隐含条件：分式的分母不等于0.

提升-必考题型归纳

题型01利用分式的基本性质进行变形

【例1】（2023•广东茂名•一模）下列等式中正确的是（）

A.2=上=WC”="D."可

bb+bbb+1bb-1bb2

【答案】A

【提示】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘或除以一个不为零的数，分式的值不变，逐个判断

即可解答.

【详解】解：言=票=三，故A正确；

言与（不一定相等，故B错误；

b+l0

B与（不一定相等，故C错误；

当（＜°时，0，故D错误，

bb2

故选：A.

【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟知该性质是解题的关键.

【变式1-1］（2023•福建福州•模拟预测）下列分式从左到右变形错误的是（）

A.£=工B.三=四C.—义=白D.^2^=4

5c54a4aba-bb-aa2+4a+4a+2

【答案】B

【提示】根据分式的基本性质进行计算即可解答.

【详解】解：A、g原式变形正确，不符合题意；

B、当b=0时，W=S不成立，原式变形错误，符合题意；

4a4ab

C、—々=--,原式变形正确，不符合题意；

a—bb—a

D、兽三=半黑=上|,原式变形正确，不符合题意；

a2+4a+4（a+2）2a+2

故选:B.

【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘

以或除以同一个不为。的整式，分式的值不变.

方法技巧

分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式

的关键，利用分式的基本性质可将分式恒等变形，从而达到化简的分式，简化计算的目的.

题型02利用分式的基本性质判断分式值的变化

【例2】（2023南通市二模）如果把分式当中的x和y都扩大到原来的20倍，那么分式的值（）

A.扩大到原来的20倍B.缩小到原来的媒

C.扩大到原来的2倍D.不变

【答案】D

【提示】根据分式的性质，可得答案.

【详解】把x和y都扩大20倍后，原式变为丝泮_理等=日曳，

20x—2Oxx

即约分后仍为原式，分式的值不变.

故选D.

【点睛】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键.

【变式2-1］如果将分式答中x,y都扩大到原来的2倍，则分式的值（）

A.扩大到原来的2倍B.不变

C.扩大到原来的4倍D.缩小到原来的;.

【答案】A

【提示】x,y都扩大成原来的2倍就是变成2x和2y.用2x和2y代替式子中的x和y,看得到的式子与原

来的式子的关系.

【详解】解：用2x和2y代替式子中的x和y得：与箸1=空等，

则分式的值扩大为原来的2倍.

故选：A.

【点睛】本题考查的是分式的基本性质，解题的关键是把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原

式比较，最终得出结论.

【变式2-2］（2022•河北•一模）如果要使分式二，的值保持不变，那么分式应（）

a-3b

A.a扩大2倍，b扩大3倍B.a,b同时扩大3倍

C.a扩大2倍，b缩小3倍D.a缩小2倍，b缩小3倍

【答案】B

【提示】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简，最后得出答案即可.

【详解】A.a扩大2倍，b扩大3倍，卢普;=—大/，故该选项不正确，不符合题意；

2a—3x3b2a—9ba—3b

B.a,b同时扩大3倍，/普；=$=故该选项正确，符合题意；

3a-3x3b3a-9ba-3b

2x2a4a2a______

C.a扩大2倍，b缩小3倍，2a—3x4=”口故该选项不正确，不行合题思；

D.a缩小2倍，b缩小3倍上史亚=3；中=1，故该选项不正确，不符合题意；

2a-3x-b2a-ba-3b

故选B

【点睛】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键.

【变式2-3X2022武安市中考二模）若m,n的值均扩大到原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）.

.m+3cm+3

A.---C.------D.—

nB・碧n+3m-n

【答案】B

【提示】根据m,n扩大到3倍为：3m,3n；把3m,3n依次代入选项，进行判断，即可.

【详解】Vm,n的值均扩大到原来的3倍为3m,3n

A3m+3

.,不符合题意;

3nn

3x3m

B、察，符合题意；

2x3n2n

3m+3

C、7*不符合题意;

3n+3

313

D、,不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查分式的知识，解题的关键是掌握分式的基本性质.

题型03利用分式的符号法则，将分式恒等变形

【例3】（2022年湖北省黄冈咸宁孝感三市中考模拟）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正

数，则三黑一

【答案】探

【提示】根据分式的基本性质即可求出答案.

-2a+b_-(2a-b)_2a-b

【详解】解:

—a—3b—(a+3b)a+3b

故答案为：鬻

【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型.

【变式3-1］（2023•河北石家庄•二模）若巳=A（mHn）,则A可以是（）

K.—B.—C.—D.—

m-3m+3-mm2

【答案】c

【提示】用举反例结合分式的基本性质进行逐一判断即可.

【详解】A.如：衿力3一不上故此项错误；

2—32m—3m

1+31n+3n

B.如:------------W-故此项错误;

2+32m+3m

-n_-nx(-l)2故此项正确;

c.-mmx(-l)

i212

D.如:7----W-9、力工故此项错误.

(一2)22mzm

故选：c.

【点睛】本题考查了分式的基本性质，掌握基本性质，会用举反例的方法进行判断是解题的关键.

【变式3-2］（2022邢台市新河县二模）根据分式的基本性质，分式分可变形为（）

cl—U

«a—a-a—a

A•启B.京C,D.—

【答案】D

【提示】根据分式的基本性质即可求出答案.

【详解】言=一提=目，

故选：D.

【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型.

考点三分式的运算

夯基-必备基础知识梳理

分式运算说明

1）同分时，分与不变,分子相加M.■/.

CCC

分式的加《4法

2）异分母，先通分.化为同分理的分式.种加及.即，彳±：=堂-

1）祭法：用分子的枳作为电分批的积作为权的分值.即，：Dtf=Bl*«a

分式的疑除法

2）除法t把13式的分子、分母位置.再与检除式利•.Hh：+；=彳・9=詈

分式的乘力把分子、分母分别乘人，即：

运口域序：先算乘方，再W乘除，最后算加仃括8的，先算括号里的.灵话运用运灯

分式的混合运算

⑸.运恒蚣僵妫缙______________________________________________

1.异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母.

2.整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式.

3.分式与分式相乘，

①若分子、分母是单项式，则先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式或整式；

②若分子、分母是多项式，则先把分子、分母分解因式，看能否约分，再相乘.

4.当分式与整式相乘时,要把整式与分子相乘作为积的分子,分母不变.

5.乘方时,一定要把分式加上括号,并且一定要把分子、分母分别乘方.

6.分式乘方时,确定乘方结果的符号与有理数乘方相同，即：

①正分式的任何次幕都为正；②负分式的偶次幕为正,奇次幕为负.

7.分式乘方时,分式的分子或分母是多项式时,应把分子、分母分别看作一个整体.

如.（与丫=/7a-

\a-bJ（a-b）z十a2_〃

8.分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运

算.

提升-必考题型归纳

题型01分式的加减法

【例1】(2023•天津•中考真题)计算」7-2的结果等于()

x-1x2-l

—1B.x—1C.—D.-z—

x+lX2-l

【答案】C

【提示】根据异分母分式加减法法则进行计算即可.

r详解】解.」.....-=——--------?=x+i-2__匚_=1.

叫什岬/用午.x-1x2-l(x-l)(x+l)(x-l)(x+l)(x-1)(x+l)(x-1)(x+l)x+l'

故选：C.

【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算.

【变式1-1】(2021•黑龙江大庆•中考真题)已知b>a>。，则分式评缁的大小关系是()

aa+1a_a+l

A.—<-----D.不能确定

bb+1bb+1c•公震

【答案】A

【提示】将两个式子作差，利用分式的减法法则化简，即可求解.

【详解】解・。四=迎1上鲍m=a-b

L讦用牛，用牛•匕b+1b(b+l)b(b+l)

*.*b>a>0,

aa+1a-b八

=-------<U

bb+1---b(b+l)

aa+1

-<-----,

bb+1

故选：A.

【点睛】本题考查分式的大小比较，掌握作差法是解题的关键.

【变式1-2](2023•上海•中考真题)化简：t-髭的结果为______

1-x1-X

【答案】2

【提示】根据同分母分式的减法计算法则解答即可.

【详解】解：3一二=》=—=2；

1-x1-x1-x1-x

故答案为：2.

【点睛】本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键.

【变式「3】(2023•吉林•中考真题)下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式.请写出单

项式M,并将该例题的解答过程补充完整.

例先化简，再求值：二-J，其中a=100.

2

解：原式=a上1

a(a+l)

【答案】M=a,盖，过程见解析

【提示】先根据通分的步骤得到M,再对原式进行化简，最后代入a=100计算即可.

【详解】解：由题意，第一步进行的是通分,

.MMa_a2

a+la(a+l)a(a+l)’

/.M=a,

库比_H21_a2—l_(a+l)(a-1)_a_1_〔1

、工a(a+l)a(a+l)a(a+l)a(a+l)aa'

原式二1-'99

当a=100时,

100100

【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行化简是解题的关键.

114

+>

----

【变式1-4](2023•江苏南泉•校联考三模)已知a>0,b>0,证明:aba+b

【答案】见解析

【提示】根据作差法比较大小，然后根据分式的加减进行计算得出工+(-320即可得证.

aba+b

【详解】证明：•.•1+'T=b(a+b)q(a：,)-4ab=个黑,

aba+bab(a+b)ab(a+b)

又a>0,b>0,

(a—b)2>0,ab>0,a+b>0.

；•甘黑23

ab(a+b)

・一+3"A?

aba+b

【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算是解题的关键.

【变式1-5](2021•四川乐山•统考中考真题)已知高一白=音片，求4、B的值.

【答案】A的值为4,B的值为-2

【提示】根据分式、整式加减运算，以及二元一次方程组的性质计算，即可得到答案.

rj羊角刀]_______B_"(%-2)口(%-1)

L许用牛1二一2^x~(x-l)(x-2)+(%-1)(%―2)，

.4(%-2)+8(%-1)_2%—6

(X—1)(%—2)(X—1)(%—2)'

：.A{x-2)+B(x-1)=2x-6,

即Q4+B)x-(2A+B)=2x-6.

.fB=2

Fz+8=6'

解得：仁

的值为4,B的值为-2.

【点睛】本题考查了分式、整式、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算、整式加

减运算、二元一次方程组的性质，从而完成求解.

题型02分式的乘除法

【例2】（2023•河北•中考真题）化简的结果是（）

A.xy6B.xy5C.x2y5D.x2y6

【答案】A

【提示】根据分式的乘方和除法的运算法则进行计算即可.

【详解】解：x3Q2=x3.g=xy6-

故选：A.

【点睛】本题考查分式的乘方，掌握公式准确计算是本题的解题关键.

【变式2-1］（2022•内蒙古•中考真题）下列计算正确的是（）

A.a3+a3=a6B.a+b-?=aC.-.......-=2D.f—=—

ba-la-lka27a5

【答案】C

【提示】根据合并同类项，分式的乘除混合运算，分式的加减，分式的乘方运算逐项提示.

【详解】A.a3+a3=2a3,故不符合题意；

B.a+b《=2,故不符合题意；

bb2

C.W—三=2,故符合题意；

a-la-l

D.限）3=捺,故不符合题意；

故选C.

【点睛】本题考查了合并同类项，分式的乘除混合运算，分式的加减，分式的乘方运算，熟练掌握分式的

运算法则是解题的关键.

【变式2-2］（2022•河北石家庄•一模）若就+己，运算的结果为整式，贝『'口”中的式子可能是（）

A.y—xB.y+xC.2xD.1

【答案】C

【提示】先根据分式除法法则计算，再根据结果为整式，得出口中的式子可能是，即可得出答案.

【详解】解：言+前

□.（x+y）（y-x）

x+yx

_n（y-x）

•••运算结果为整式，

•••□中的式子是含量有X因式的式子,

，□中的式子可能是2x,

故选：C.

【点睛】本题考查分式乘除运算，熟练掌握分式乘除运算法则是解题的关键.

【变式2-3】关于式子——+上，下列说法正确（）

X2+6X+9X+3

A.当x=3时，其值为0B.当x=-3时，其值为2

C.当0<x<3时，其值为正数D.当x<0时，其值为负数

【答案】A

【提示】根据分式的乘除法法则.平方差公式.完全平方公式对分式进行化简，再根据化简后的分式对选项一

一进行提示，即可得出答案.

X2-9x(x+3)(x—3)x+3x—3

【详解】解:ZX--

X2+6X+9x+3(x+3)2x

A.当x=3时，原式=瞪=0,故该说法正确，符合题意;

B.当x=-3时，分母x+3=-3+3=0,原式没有意义，不能计算求值，故该说法不正确，不符合题意;

C.当0<x<3时,则x-3<0,

...平<0,故该说法不正确，不符合题意；

D.当x<0时，则x-3