2024年中考数学三角函数训练-解直角三角形（一）（解析版）

2024年中考数学三角函数训练专题-解直角三角形(一)

解析部分

1.(1)解：作于如图.

B

在Rt中,

..DH_1

'AH~2,

：,AH=2DH,

vAH2+DH2=AD2,

(2DH)2+DH2=(|V5)2,

3

・・.DH=

2

故他上升的高度为I米；

(2)解：如图，延长BD交ZE于点G,设=

由题意得，/G=31。，

3

DH

・•.DG=2标2.8859

sin^G0.52

3

GH=-^―黑工=2.5,

tan^G0.60

：,GA=GH+AH=2.5+3=5.5,

在中，tanZG=—,

GC

ccBC5

・•・CG=--------=.%.

tan/G3

1

在RtABAC中,ZBAC=45。，

・•.AC=BC=x.

・・・

GC-AC=AG9

A-%%=5.5,

3

解得％=?右8.

4

答：大树的高度约为8米.

2.解：在RtZkaBD中，/BAD=39°,AD=96米,

:.BD=AD-tan/BAD=AD-tan39°«96X0.81«77.8（米），

:.CD=BC+BD=5+77,8«83（米），

•••大桥立柱CD的高约为83米.

3.解：由题意得：MNLAN,

设BN=%米，

•••AB=3.8米，

•••AN=BN+AB=（x+3.8）米，

在Rt△MNB中，/MBN=58。，

MN=BN•tanSS°«1.6%（米），

在中，4=33°,

:.MN=AN•tan33°«0.65（%+3.8）米，

二1.6%=0.65（%+3.8）,

解得：x—2.6,

:.MN=1.6%工4.2（米），

4.解：在"△ABC中，ZC=90°,sin^l=—=—,

AB13

2

设BC=5k,AB=13k,

：.AC=^AB2-BC2=7(13k)2-(5/c)2=12k,

在Rt△BCD中，NC=90°,/BDC=45°,

NCBD=ZBDC=45°,

：.BC=CD=Sk.

：.AD=AC-CD=7k,

'：AD=7,

：.7=7k,

k=1,

/.CD=5k=5

5.解：过点4作4D_LBC,交BC的延长线于点D.

v=45°,ZBAC=15°,/ADC=90°,

/DCA=60°,/BAD=45°.

^RtAACD中,

rnI

vcos^DCA=一=cos60°=一，

AC2

sin^DCA=—=sin60°=—,AC=10,

AC2

•••CD=5,AD=5V3.

^RtAABD中，

v/BAD=NB,

3

・・.BD=AD=5V3.

・•.BC=BD—CD=(5V3—5)cm.

6.解：'：DE1AB,BD=5,cosB=

在Rt△BDE中，BE=BD-cosB=5x(=4,

在Rt△BDE中，根据勾股定理可得：DE=VBD2-BE2=V52-42=

3,

'：AD^^ZBAC,ZACB=90°,DE1AB,

：.CD=DE=3,

：.BC=BD+CD=5+3=8,

在RtZkZBC中，AB=--=10,

cosB

...在中，根据勾股定理可得：

22

AC=JAB-BC=V102-82=6

7.解：..NDIBC,垂足是点D,AB=声,

：.AD2+BD2=AB2=2,

:=45°,

/BAD=与=45°,

：.AD=BD,

：.AD2=BD2=1,

：.AD=BD=1,

1

VtanC

2

.AD_1

・・CO-2，

ACD=2,

4

-'-AC=y/AD2+CD2=Vl2+22=V5

1

8.解：在RtZUBC中，ZC=90°,BC=2,sinA=-,

*nA磋J呜W

/.AB=6,

AC=yjAB2—BC2=A/62—22=4夜,

.入皿=竺=这=出

AB63

9.解：,?NC=90°,4DC=45°,

=4DC=45°,

：.AC=CD,

•：BD=2DC,

：.BC=3AC,

AC1___________________

.•.右tanBD=—AB=y/AC2+BC2=V10AC,AD=

BC

yjAC2+CD2=V2AC,

：.sin^ABC=^V10

10

如图，过点D作。M14B于点M,

.DM吧=sin^ABC=江

BD2AC10

•'.DM=—AC,

5

翁cV5

••*st•n^B,nAADC=—DM

ADy/2AC5

10.解：过点A作ZD_LBC,垂足为D

5

BDC

在RtAZDC中，AC=12,NC=30°

1

...AD=-AC=6,CD=y/3AD=6g

3

在Rt△ABD中，sinB=-

AB=10

•­.BD=8

•••BC=BD+CD=8+6V3

•••BC长为8+6V3

11.解：:△ABC中，

3

tanZBC=9,

4

.BC_3

**>1C-4，

・・・4C=12,

二•ZB=ylAC2+BC2=V92+122=15,

・.八BC93

・・sm4=—=—=—，

AB155

・•・s•m4A=3-

5

12.解：过C作CD1ZB,交BZ的延长线于点D.

r

/•

/

-------------r....»

V=30°,NBCA=45°,

/•/CAD=/B+/BCA=75°,

在Rt△ACD中，AC=4,/CAD=75°,

6

：.AD=AC-cosAD=4cos750=通一或

CD=AC-sinAD=4sin75°=V6+V2

在Rt△BCD中，/B=30°,

：.BD=旦==3V2+V6

tanBtan300

：.AB=BD-AD=3V2+V6-V6+V2=4/.

13.解：'：AD1BC,

NADB=/ADC=90°,

4

cosB=AB=5,

4

:.BD=AB-cosB=5x-=4,

5

•"•AD=y]AB2—BD2=V52—42=3,

tanC=V3,

•♦4C=y/AD2+CD2=32+(V3)2=2V3

14.解：过点A作AD_LBC,交BC的延长线于点D,则N%DC=90。，

在RtAZDC中，/C=45。，

・•.AD=DC9

根据勾股定理可得：AD2+DC2AC2,

即2402=AC2=122,

解得4。=DC=6V2,

7

V/ABC=120°，

ZABD=60°,

在RtAZBD中，

设BD=%,则ZB=2%,

根据勾股定理可得：AD2+DB2^AB2,

即(6企)2+%2=(2%)2,

解得％=2遥，

即BD=2V6,

BC=DC-DB=6V2-2V6.

15.解：如图，过点4作于点E.

..AE2

..sinBn=