天津市红桥区2024届高三一模数学试题（含答案解析）

天津市红桥区2024届高三一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知全集"={-2,-1,0,1,2,3,4},集合4={-2,0,1,2},3={-1,0,2,3},则422=（

A.{4}B.{-2,0,1,2,4}C.{0,2}D.{-2,1}

【答案】B

【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求出结果.

【详解】因为8={-1,0,2,3},所以毛8={-2,1,4},

又4={-2,0,1,2},所以A={-2,0,1,2,4},

故选：B.

2.己知a,6eR,则是“〃必>产4”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】

举出反例，根据充分条件和必要条件的定义即可得解.

【详解】当。=1/=-2时，a>b,a2aM<b2a24,

当a=-2,匕=1时，a2024>b2024,a<b,

所以“a>6”是“a2024>b2024”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

3.设。=logos0.6,6=0.254，C=0.646,则a,b,c的大小关系是（）

A.b>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b

【答案】C

【分析】

利用暴函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可.

【详解】因为y=iogg尤在（。，+8）上单调递减，所以loggiviogosOeciogos。1即

0<«<1.

因为丁=铲在（0,+巧上单调递增，又0.25Q3=0.546=2°6,0.64=r

又所以206>>产6,故。>C>1所以b>c>a.

故选：C.

|x-2|

4.已知函数〃对=/~--4,则〃x)的图象大致为()

(%—2)

【分析】

由特值法，函数的对称性对选项一一判断即可得出答案.

|0-2|2

【详解】因为〃0)=A^-4=?一4<0,故C错误；

|-x+4-2||-x+2||x-2|

又因为〃-x+4)=---------7-4=----------4=———--4=/(X),

''(-x+4-2)2(-x+2)2(x-2)2'7

故函数的图象关于尤=2对称，故B错误；

|x-2|

当尤趋近2时，/T趋近1,(x-2)2趋近0,所以/@)=二~7-4趋近正无穷，故D

(%-2)

错误.

故选：A.

5.已知次logflm=2,log。机=3,则k)g"m=()

A.-B.-C.-D.-

6565

【答案】D

【分析】

由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果.

,11,,11

【详解】由换底公式得，log,”"!——=-,^gmb=-——=-,

log„m2logfem3

试卷第2页，共17页

,116

所以log"m=--------7=---------------r=7.

log,,,ab\ogma+\ogmb5

故选：D.

6.己知正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外接球的表面积为（）

A.16兀B.20KC.8兀D.5兀

【答案】B

【分析】

根据正六棱柱的性质可求解半径，由表面积公式即可求解.

【详解】如图，设正六棱柱下底面的中心为O',其外接球的圆心为点。，

则"5。'为等边三角形，

故AO'=2,即为其外接球的半径R,

所以R=AC=JAO‘2+CO'2=也+12=#>，

所以该正六棱柱的外接球的表面积为4兀（右）=2071.

故选：B.

7.已知直线，=履与圆C:（x+2）2+V=3相切，交曲线/=2px（p>0）于点P,若

|。尸卜8,O是坐标原点，则以P为圆心，以。为半径的圆与圆C的位置关系为（）

A.相交B.内含C.外离D.外切

【答案】C

【分析】

根据点到直线的距离求得3再联立直线与抛物线方程得点P坐标及圆方程，再考虑圆

心距即可.

【详解】

根据J।,解得k=土道,

结合抛物线的对称性，只需考虑左=石的情形,

=2£

y=y/3x,x=0,-3'

联立<解得或，

y2=2px,y=026P

所以|0P|==8,解得P=6,

此时点尸（4,46）,圆P的方程为（尤-4尸+（y-46『=36,

因为圆C和圆P的圆心距d=7（-2-4）2+（0-4^）2=2与>石+6，

所以两圆外离.同理当左=-―时，两圆也外离.

故选：C.

8.某中学有学生近600人，要求学生在每天上午7：30之前进校，现有一个调查小组

调查某天7：00~7：30进校人数的情况，得到如下表格（其中纵坐标,表示第x-l分钟

至第x分钟至U校人数，1<x<30,无eN*,如当x=9时，纵坐标，=4表示在7：08~7：

09这一分钟内进校的人数为4人）.根据调查所得数据，甲同学得到的回归方程是

y=3.6x-27（图中的实线表示），乙同学得到的回归方程是y=0.82e°①（图中的虚线

A.7：00~7：30内，每分钟的进校人数》与相应时间无呈正相关

B.乙同学的回归方程拟合效果更好

C.根据甲同学得到的回归方程可知该校当天7：09~7：10这一分钟内的进校人数一

定是9人

试卷第4页，共17页

D.该校超过半数的学生都选择在规定到校时间的前5分钟内进校

【答案】C

【分析】对于A,根据散点图判断；对于B,由图象结合函数的图象特征判断；对于C,

由回归方程得到的只能是估计值判断；对于D,根据统计表判断.

【详解】对于A,根据散点图知，7：00~7：3。内，每分钟的进校人数》与相应时间x

呈正相关，故A正确；

对于B,由图知，曲线y=0.82e°」6£的拟合效果更好，故乙同学的回归方程拟合效果更

好，故B正确；

对于C,表格中并未给出对应的值，而由甲的回归方程得到的只能是估计值，不一定就

是实际值，故C错误；

对于D,全校学生近600人，从表格中的数据知，7：26~7：30进校的人数超过300,

故D正确，

故选：C.

9.将函数Ax)的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移!■单位，得到函数

g(x)=sin(2x+9)[o<e<]j的部分图象(如图所示).对于VX],x2&[a,b],且无产马,

若g(W)=g(M，都有g(%+x2)=4成立，则下列结论中不正确的是()

C.g(X)在TI,—上单调递增

D.函数/(X)在0,y的零点为占,则占+2%+2%+-+2居_]+%=等

【答案】C

【分析】

由题意可得函数g(x)的图象在区间[。,国上的对称轴为x=与三，再结合

g(%+X2)=4可求出。，即可判断A；再根据平移变换和周期变换得原则即可判断B,

再根据正弦函数的图象和性质分别判断CD即可.

【详解】对于A,由题意可知函数g(x)的图象在区间［a,同上的对称轴为尤=笑三，

则x=0与x=%+/关于x=a对称,

又ga+%)=半，结合图象可得g(0)=g(占+%)=?，

所以sine=且，又。＜夕＜］，所以9=W，

223

所以g(x)=sin(2尤+巳)，故A正确；

对于B,g⑺=sin12x+"右移；个单位得到函数Wsi"-3的图象，

再将其横坐标缩短为原来的g得到〃x)=sin(4x-2的图象，故B正确；

,「3K1兀「7兀10兀

对于C,由x£兀,—,得2%+§£,—^―,

37c

所以g(x)在71,—上不单调，故C错误；

7T71

对于D,^t=4x-—,贝曲£--,571,

兀

函数y=sint在一1,5兀上有6个零点

贝1」乙+,2=兀，t2+t3=3n,t3+t4=5n,t4+t5=1n,+Z6=9TI,

%+2t,+2t3+2,+2虫+七=4(%+2尤2+2尤3+2x4+2毛+

所以玉+2%+2无§+■+2%n_1+xn——兀，故D正确;

故选：C.

【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路:

(1)将函数解析式变形为y=Hsin(ox+o)+5(0＞O)或y=Acos(ox+e)+B(0＞O)的

形式；

(2)将。％+9看成一个整体；

(3)借助正弦函数y=sinx或余弦函数＞=cosx的图象和性质(如定义域、值域、最值、

周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.

二、填空题

试卷第6页，共17页

4+2i

10.i是虚数单位，复数

【答案】l+3?/3z+l

【分析】

根据复数除法法则计算出答案.

【详解】9=(4+R(l+i)=4+6i+2i、*

L用用牛】一(l-i)(l+i)1-i22

故答案为：l+3i

11.已知二项式，x+a],则其展开式中含V的项的系数为.

【答案】4320

【分析】

求出展开式得通项，再令x的指数等于2,即可得解.

【详解】"x+点]展开式的通项为小=晨(2力6-]a[=26士3y

4

令6—§左=2,得左=3,

所以含%2的项的系数为23X33(2：=4320.

故答案为：4320.

2

12.己知双曲线尤2-匕=1与抛物线丁=8&的一个交点为AF为抛物线的焦点，若

m

IAFI-5,则双曲线的渐近线方程为.

【答案】丫=±氐

【分析】设4%，%),根据条件，利用抛物线的定义得到%=3,进而得到y：=24,代

入双曲线方程中，可得〃?=3,即可求出结果.

【详解】因为抛物线丁=8尤的准线方程为％=-2,设Ad,%),

因为|AP|=5,所以x0+2=5,得到x0=3,所以乂=8x3=24,

24

又4%%)在双曲线上，所以9--=1,得到机=3,

m

2

故双曲线为=其渐近线方程为y=±点v.

故答案为：y=±A/3X.

13.甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停

3

止比赛.已知甲每局赢的概率为M,每局比赛的结果相互独立.本次比赛到第3局才分出

胜负的概率为,本次比赛甲获胜的概率为.

12Q1

【答案】一/0.48—/0.648

25125

【分析】

空1：根据独立事件的乘法公式求解本次比赛到第3局才分出胜负的概率；

空2：利用独立事件的乘法公式和互斥事件概率加法公式求解甲获胜的概率即可.

【详解】

到第3局才分出胜负，则前两局甲、乙各赢一局，其概率为+=

JJJJJ

若甲获胜，分2种情况：①甲连赢2局，其概率为=不，

②前两局甲、乙各赢一局，第三局甲赢，+=

JJJJJJ1乙。

故甲获胜的概率为二+轨=袅.

25125125

故答案为：装，

14.如图，在平行四边形43CD中，ZABC=-,E为8的中点，P为线段AE上一点，

且满足BP=MBA+『C,则租=；若YAfiCD的面积为2石，则网的最小

值为.

【答案】|逋

33

【分析】设=由平面向量线性运算及基本定理可得加，由

\BP\=^||BC|2+||BA|2+|IBC\-\BA\结合基本不等式可得网的最小值，

【详解】由题意，设AP=心立次

贝i]BP=8A+AP=BA+AAE=8A+A（OE-ZM）=]_；A]BA+k8C,

l--k=m

所以[l-；/[BA+A:BC=，〃8A+g8C,所以＜72

9，所以相=£；

k=-3

3

试卷第8页，共17页

22

所以BP=—A4+—3C,

33

由YABCD的面积为26，得到卜C|.网q=25得到旧C|.网=4,

所以网"河+，wc川明=|j+k+瑞三铝，

当且仅当卜4=|胡卜2时，等号成立，

所以网的最小值为手.

故答案为：:；递.

33

15.设函数/（元）=［呼D，C,若/（幻=。有四个实数根力巧，/，a-4,且

［（X-4）,x>3

1/、1

占V%2V%3<%4，则：（工3+工4）%1+—的取值范围________.

4x9

【答案】

【分析】作出>=/（%）的图象，根据图象确四个根间的关系，从而得到

1z\11cl3

彳退+匕再+―=1+2%——,且:<玉<2,再利用函数的单调性即可求出结果.

4x2Xj2

-log2（x-l）,l<x<2

|log2(%-l)|,l<x<3

【详解】因为/（尤）=,所以/（尤）=log2（x-l）,24x<3,其图象

(X-4)2,X>3

（X-4）2,X>3

如图所示,

又/（x）=a有四个实数根，由图知-log2（Xi-l）=log2（尤2-1），得到占%=玉+%，即

II1

一+一=l,且/+%4=8,

玉x2

由|log2(x—1)|=1,得到％=3或%=所以5<玉<2,

Iz\Ic11cI

所以1(13+%4)%+~=2%H---—I+2X]----

*2）上单调递增，所以

故答案为:

三、解答题

16.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c.已知bsinA=acos（B-聿

⑴求角B的大小；

（2）设a=2,c=3,求sin（2A—5）的值.

【答案】（1）8=5

⑵至

14

【分析】（1）运用正弦定理求解；

（2）运用两角差公式求解.

【详解】（1）在一ABC中，由正弦定理得：sinBsinA=sinACOS]B-£

因为sinA>0,所以sin8=cos（8—二],可得sinB=，^cos8+,

I6J22

即sin5=geos5,tanB=6,又5£（0,兀），可得3=三；

（2）在ABC中，由余弦定理得：〃=4+/一2〃ccosB=7,0=近，

由Z?sinA=tzcos以及8=（,可得sinA=

2

因为a<c,所以A是锐角，所以cosA="，

因此sin2A=2sinAcosA=,cos2A=2cos2A—1=—,

77

sin（2A-B）=sin2AcosB-cos2AsinB=^^x---x—=

所以*J

'/727214

综上,5=-1,sin（2A-2）=哈

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是边长为1的正方形，PD_L底面ABQ）,

PB与平面ABCD所成角为45。，及歹分别是PCAD中点.

试卷第10页，共17页

⑴求证：DE//平面PFB；

(2)求平面PFB与平面EDB夹角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

S、回

⑵亏

【分析】

(1)取PB的中点M,连接证明四边形MEDE为平行四边形，则,

再根据线面平行的判定定理即可得证；

(2)以点。为坐标原点建立空间直角坐标系，根据P3与平面ABCD所成角求出

利用向量法求解即可.

【详解】(1)取尸8的中点连接

因为£,尸分别是尸CA£>中点，所以ME〃3c且ME=^BC,

又DF//BC且DF」BC,

2

所以ME〃。/且ME=D尸，

所以四边形MEDF为平行四边形，所以DE//FM,

又DEO平面PFB,FMu平面PFB,

所以DE〃平面耳B；

(2)连接83BE,

如图，以点。为坐标原点建立空间直角坐标系，

因为ED_L底面ABCD,所以/PBD即为尸8与平面ABCD所成角的平面角,

所以NP5£>=45。，所以尸应，

'16、

则8(1,1,0),0(0,0,0),E0,-,^-,F1,o,oV(o,o,V2),

故所=(-;,0,)「。1月

,FB=1,l,0j,DB=(l,l,0,D£=

22

设平面PFB的法向量为〃=(x,y,z),

n•FP=-—x+yflz=0

则有12，令％=2^2,贝Uy=-^2,z=1,

n•FB=—x+y=0

2

所以77=(20,-夜,1),

设平面BDE的法向量为m=(6i,b,c),

m•DB=a+b=Q

则有1J2，令Z?=-^2，则a=A/2,c=l,

m-DE=-b-\-----c=0

22

m-n_|4+2+1|_7

则cos(九〃

m||zz氐而一卮'

y/330

所以平面PEB与平面£Z汨夹角的正弦值为

55

18.已知S〃为数列｛叫的前几项和，且满足S“=2%+乙其中小且rwO.

⑴求数列｛为｝的通项公式；

试卷第12页，共17页

q2??-l2n

+1

⑵设bn=(-1)"2，若对任意的〃eN*,都有b,,求实数m的取值范围.

rz=li=\

【答案】(l)a“=-r2'T

(2)-1<77Z<2

【分析】

(1)利用。“，S"的关系式求解即可;

C2n-lA(2〃、2n-l2n

(2)由题意有＜m＜,利用分组求和法分别求出£如2白，再根

Vi=l/max\曰/mini=1i=1

(2n-l)

据数列的单调性分别求出Za即可得解.

\，=1/max

【详解】(1)由S“=2a”+r,

当"=1时，4=5|=2%+『，所以q=-r*。，

当"22时，a„=Sn-Sn_r=2an-2an_1,所以％=2a“_[,

所以数列｛4｝是以2为公比的等比数列，

所以a“=T?T；

一小一2")

(2)由(1)得^=

1-2

C

,,+1,,+1

则bn=(-1)—=(-1)向0-2")=(-1)+(-2)\

2n-l-(-2广+1

故2々=仿+么+■+&,T=1+

i=l1-(-2)3

2+1

2n-2[l-(-2f](2)"-2

»=瓦+瓦++b2n=0+

Z=11-(-2)3

2n-l+1-4"+l

而=随〃的增大而减小,

i=l33

2n-l—4+1

所以＞

i=imax3

口二上「二〒随”的增大而增大,

2x41-20

^^=2,

2n-l2n.

因为对任意的〃eN*,都有

«=1i=l

所以—1vwv2.

19.已知椭圆C:二+A=l(a＞匕＞0)过点(2,0),且椭圆C的离心率为2.

⑴求椭圆C的方程；

⑵若动点尸在直线了=-1上，过尸作直线交椭圆C于M,N两点，且P为线段跖V的中点，

再过尸作直线/LMN,证明：直线/恒过定点，并求出该定点的坐标.

22

【答案】⑴L+工=1

43

(2)证明见解析

【分析】

(1)由点(2,0)在椭圆C上，代入椭圆的方程，再由椭圆C的离心率为求得的

值，即可求解；

(2)设当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为丁-%=左5+1),联

立方程组，根据点尸的横坐标求得左,结合得到勺=-守，得出直线过定点；

当直线MN的斜率不存在时，得到直线/为x轴，进而得到结论.

【详解】(1)因为点(2,0)在椭圆。上，可得二+《=1,解得/=4,

ab

i12zy2—A21

又因为椭圆C的离心率为：，所以一r=彳，所以r斗=巴?=L,解得〃=3,

2a2a2a24

22

所以椭圆C的标准方程为土+匕=1.

43

33

(2)由题意，可设尸(一1,%),且％€(-.,沙

①当直线改V的斜率存在时，设直线MV的方程为，-%=%(X+1),M(X”M),N(＞2，%),

y-y0=k(x+l)

联立方程组尤22,

—+—=1

I43

222

整理得(3+4/)x+(8机+8k)x+(4*+8fcy0+4*-12)=0,

贝I]A=(8皿+8/y一4(3+4/)(4y；+8机+4^-12)=48(3V-2ky0-y1+3),

8B0+Sk~

所以％+x?=—

3+4公

试卷第14页，共17页

因为尸为MV的中点，所以一^=-1,即一股广华=_2,

23+4公

3

所以上MV=A=；；—（%片0）,经检验，此时A〉。，

4%

因为UMM,所以与=-学，所以直线/的方程为y-%=-学（尤+1）,

即〉=一半。+9），所以直线/恒过定点（一,，0）.

②当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为％=-1,

此时直线/为x轴，也过点（-1,0）.

【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：

1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化

量，即确定题目中核心变量（通常为变量左）;②利用条件找到上过定点的曲线产（无,y）=。

之间的关系，得到关于％与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点

的坐标；

2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情

况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

20.已知函数=竺二的图象在（1,〃功处的切线经过点（2,e）.

⑴求。的值及函数的单调区间；

⑵若关于x的不等式e'Inx-llU+%2+^-1^-2>0在区间。,+⑹上恒成立，求正实数

2的取值范围.

【答案】（1）0=1,单调递增区