2024年中考数学第一次模拟试卷（山东济南卷）（全解全析）

2024年中考第一次模拟考试（山东济南卷）

数学•全解全析

第I卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.图1所示的正五棱柱，其俯视图是（)

仁视方向

【答案】A

【分析】找到从上面看所得到的图形即可,注意看见的棱用实线表示.

【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，两条纵向的虚线.

故选：A.

【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.

2.2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行.国家主席习近平在主旨演讲中声

明：“本届高峰论坛期间举行的企业家大会达成了972亿美元的项目合作协议.”将972亿美元用科学记数法

表示成元，正确的是（）

A.9.72X102B.9.72x10sC.9.72xlO10D.9.72x10"

【答案】C

【分析】本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于等于10的数表示成ax10”的形式（a大于或等于1且

小于10,〃是正整数）；〃的值为小数点向左移动的位数.根据科学记数法的定义，即可求解.

【详解】解：972亿97200000000=9.72x101°,

故选：C.

3.如图，直线/〃〃，点A在直线〃上，点3在直线加上，连接4B,过点A作/C,48,交直线加于点C.若

Zl=50°,则/2的度数为（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】C

【分析】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角

相等；两直线平行，同旁内角互补.根据两直线平行，同旁内角互补得出NC4O+N2=180。，结合已知条件

即可求出/2的度数.

【详解】解：如图所示，

m//n,

：.ZG4Z)+Z1=18O°,

N1+4%C+N2=180。

ACLAB,

：.ABAC=90°,

,/Zl=50°,

・•・50°+90°+Z2=180°,

・・・Z2=40°,

故选：C.

4.下列计算正确的是()

A.3V2-2V2=1B.{a+b^=a2+b2

C./+</=[D.(a4)5=a9

a'7

【答案】C

【分析】根据二次根式的减法、完全平方公式、同底数幕的除法、负整数指数幕以及幕的乘方的运算法则

逐一分析即可.

【详解】解：：30_2/=血，

2

・二选项A不符合题意；

V=a2+2ab+b2,

I.选项B不符合题意；

Cl台+a。=@9=__,

选项C符合题意；

・・・（/）5=〃20,

I.选项D不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查二次根式的减法、完全平方公式（"±^『=/±2^+62、同底数累的除法^+优=优-、

负整数指数幕/0）以及幕的乘方（屋"）"=建"，掌握以上法则是解题的关键.

5.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【答案】B

【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别.根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即

可.如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.把一个图

形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项符合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；

故选：B.

6.三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图片，把三张上部

图片放入一个布袋，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中各随机摸取一张，则这两张小

图片恰好合成一张完整图片的概率是（）

3

【答案】B

【分析】将上部三张图片分别记作A、B、C,下部三张图片记作。、b,c,列表得出所有等可能结果,

从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.

【详解】解：将上部三张图片分别记作A、B、C,下部三张图片记作b、c,

列表如下：

ABc

a(A,a)(凡a)(C,a)

b(A,b)(民b)(C,b)

c（4。）(B,c)(C,c)

由表知，共有9种等可能结果，其中这两张小图片恰好合成一张完整图片的有3种结果，

所以这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为］3=g1,

故选：B.

【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有

可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情

况数与总情况数之比.

7.若点8（-1,%）、。（1,%）都在反比例函数了==（左为常数）的图象上，贝以、%、%的大

小关系为（）

A.yt<y2<y3B.%<%<必C.y2<^<y3D.%<%<%

【答案】c

【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的特征.由/+1>0可知，此函数图象在第一、三象限，根据反

比例函数的性质即可判定.

【详解】解：

.••反比函数图象在一、三象限，在每个象限内，〉随X的增大而减小，

3（-1,左）在第三象限内，C。,3）在第一象限内，

V-1>-2,

4

%>外,

故选：c.

8.《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为

负），如图1表示的是（+21）+（-32）=71的计算过程，则图2表示的过程是在计算（）

*•■0.UW■■■

三口置肛T.T一(DMIhBl]/

A.(-13)+(+23)=10B.(-31)+(+32)=1

C.(+13)+(+23)=36D.(+13)+(-23)=-10

【答案】A

【分析】本题考查了有理数的加减运算.

由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数,即可列式计算.

【详解】解：由题意得白色算筹表示正数,黑色算筹表示负数,

，图中表示的计算过程为（T3）+（+23）=10.

故选：A.

9.如图，在中，NACB=90。，/C=8C=4,点。为3C边上一动点（不与点8、C重合），CE垂直

AD交AB于点、E,垂足为点连接8〃并延长交NC于点尸，下面结论正确的个数是（）

①若AD是BC边上的中线，则ZW=述；②若乃平分NCAB，则生=我；③若8。=2。，则/E=3BE；

5BD2

@BH的最小值为百.

【答案】C

【分析】根据勾股定理求出/。=2石，根据三角形面积公式求出。8=勺5,得。8=冬5,据此判断①符

55

合题意；过点。作。“〃/C交B尸于点M,根据题意推出DW是△忒:尸的中位线，则。尸=2斯，根据直

角三角形的性质及平行线的性质推出V/C〃sVCDH,AACHsAADC,NDMH^NAFH,根据相似三角

5

形的性质即可判断②不符合题意;

当时，设CD=a,则8。=助，AC=BC=an+a,过点B作8N_L3C交CE的延长线于点N,

结合题意及直角三角形的性质利用44s推出V/CD到CBN（04S），根据全等三角形的性质得到

CD=BN=a,根据4CD+/CBN=180。，判断3N〃/C,进而推出V/CEsVBNE,根据相似三角形的

性质即可判断③不符合题意；根据当8H最短时，点厂为/C的中点，求解即可判断④符合题意；

【详解】解：是3C边上的中线，

/.BD=CD,

•.・BC=4,

:.CD=-BC=2,

2

\-ZACB=90°,AC=4f

/.AD=ACy]AC2+CD2=V42+22=275，

・・・CE^AD,

AD-CH,

:.AC,CD=AD・CH,

…ACCD4x24A/5

..C/ii——[———,

AD2755

DH=4CD1-CH2=J4T=竽,

故①正确，符合题意；

如图，过点C作。欣〃交AD的延长线于点

VZACB=90°,AC=BC,

.•.△/C5是等腰直角三角形,

AB=y/2AC>

ACV2

---=---,

AB2

CM//AB,

6

:.ZM=AMAB,

vAD平分/CAB,

/CAM=/BAM,

/./CAM=AM,

/.CM=AC,

•/CM//AB,

:NCDM对BDA,

.CDCMAC

,BD~AB~AB~2'

故②正确，符合题意；

当BO=2CD时，设CZ)=a,则&)=2〃，

/.AC=BC=2Q+〃=3。，

过点8作BNLBC交CE的延长线于点N,

C

:./N+/BCN=90。,

・.・C£垂直4。，

:.ZBCN+ZHDC=90°,

:.ZHDC=ZN,

又AC=BC,/CBN=ZACD,

NACD©CBN(AAS),

CD=BN=a,

QZACD+/CBN=180。,

:.BN//AC,

:NACE尔BNE,

AEAC3a,

'BE~BN~a~'

7

AE=3BE,

故③正确，符合题意；

CHLAH,

.,.点8在以/C为直径的圆上，

当88最短时，点尸为/C的中点，

:.CF=-AC=2,

2

BF=yjBC2+CF2=275，

的最小值为2君-2,

故④错误，不符合题意；

故选：C.

【点睛】此题是三角形综合题，考查了勾股定理、三角形面积公式、全等三角形的判定与性质、相似三角

形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质、相

似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键.

10.直线必=办+6和抛物线%=依？+岳；(°,6是常数，且)在同一平面直角坐标系中，直线M=ax+b

经过点(-4,0).下列结论：

①抛物线%=ax?+bx的对称轴是直线x=-2

②抛物线为=+法与x轴一定有两个交点

③关于x的方程ax?+6x=ax+6有两个根国=-4,x2=1

④若a>0,当x<-4或x>l时，%

其中正确的结论是()

A.①②③④B.①②③C.②③D.①④

【答案】B

【分析】0可得一4。+6=0,从而可求6=4。，即可求解；(§)可得公=62-4。。=6220,由。片0,可得八=62>0,

即可求解；③可判断抛物线也过(-4,0),从而可得方程办2+伍-a)x-6=0的一个根为x=-4,可求抛物线

%=ax2+(b-a)x-b的对称轴为直线x=-§,从而可得抛物线为=ax2+(b-a)x-b与x轴的另一个交点为

(1,0),即可求解；④当。>0,当一4Vx<1时，必<%,即可求解.

8

【详解】解：①•••直线M=ax+b经过点(-4,0),

—4。+6=0,

:.b=4a,

b

抛物线的对称轴为直线X==-建4tz=-2,

2a2a

故①正确；

@A=b2-4ac=b2>0,

由①得6=4a,

aw0,

6W0,

.・・△=〃>0,

二•抛物线歹2="2+bx与X轴一定有两个交点，

故②正确；

③当％=-4时，

y=16a-4b

二16。-16a=0,

抛物线也过(-4,0),

由ax2+bx=ax+b得

方程。+(6—Q)x—b=0,

方程的一个根为x=-4,

抛物线%="2+(6-。,

b-a_Aa-a_3

x--------------——,

2a2a2

Q

・二抛物线/=办之+9-。卜-6的对称轴为直线x=-a,

与％轴的一个交点为(-4,0),

解得：x=\,

9

，抛物线%="无2+（6-4）X-b与X轴的另一个交点为（1,0）,

关于x的方程ax?+bx=ax+b有两个根X]=-4,x2=1,

故③正确；

④当a>0,当-4<x<l时，

故④错误；

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，二次函数与一次函数交点，二次函数与不等式等，理解性质，

掌握解法是解题的关键.

第n卷

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）

11.因式分解：3m2-12=.

【答案】3（加+2）（加一2）

【分析】本题考查因式分解.先提公因式，再用平方差公式法因式分解即可.

【详解】解:3m2-12,

=3（/-4）,

=3（：〃+2）（m—2）.

故答案为：3（m+2）（W-2）.

12.一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出

1个球，是白球的概率为g.则布袋里红球有个.

【答案】1

【分析】设布袋里红球有x个，根据白球的概率列方程求解可得.

【详解】解：设布袋里红球有x个，

21

由题意得：-------=-,解得：x=l,

2+1+x2

经检验x=l是原方程的解.

.••布袋里红球有1个，

故答案为：1.

10

【点睛】本题考查根据概率求球的个数，认真读懂题意是关键.

13.关于x的一元二次方程日2+3X_I=O有两个实数根，则左的取值范围是.

9

【答案】左且左

4

【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程的二次项系数不为0,以及方程有两个实数根，判别式大

于等于0,列出不等式进行求解即可.

"0

【详解】解：由题意，得：j32_4A;x^_1)>0-

9

角牟得：kN—且人工0,

4

Q

故答案为：左之一;且左W0.

4

14.如图，在半径为遥，圆心角等于45。的扇形408内部作一个正方形COM,使点C在04上，点D、E

在。上，点尸在蓝上，则阴影部分的面积为.

【分析】连接。尸，由勾股定理可计算得正方形CDM的边长为1,则正方形C/)跖的面积为1,等腰直角三

角形COD的面积为:，扇形492的面积为9•(石丫兀，所以阴影部分的面积为

2ov7oo2

【详解】解：连接。尸，则=指，

•・,405=45。，

・•・ADCO=90°-ZCOD=45°.

・•・ZCOD=ZDCO.

：.CD=OD.

：.EF=ED=OD.

Rt^OEF中,

OE2+EF2=OF2,

：.(2^F)2+£F2=(V5)2,解得所=1

11

・•・OD=CD=EF=\

45/~?—xlxl-lxl二"—.

S阴影=S扇形A0B—S&ODC—SCDEFx$/51

360282

故答案为：|■兀-工

o2

【点睛】本题考查扇形面积的计算，勾股定理，正方形的性质；构造直角三角形运用勾股定理是解题的关

键.

15.如图，在菱形48CD中，边长为2+26，乙4BC=60。,E,尸分别是边/BBC上的点，且4E=2,

若将△EAF沿着E尸折叠，使得点8恰好落在/。边上的点"处，EB7/BD,折痕为E尸，贝UAB'的长

为.

【答案】2

【分析】过点5'作2'G工BA,交BA的延长线于点G,先求出B'E=BE=2G，再证明ZAB'G=30。，设/G=x,

则8'G=6X，4B'=2X,GE=X+2,在Rt^EGB'中，由勾股定理得(x+2)?+(氐『=(2班『，解方程求出

x=\,贝Ij48，=2x=2.

【详解】解：如图，过点Q作B'GLBN,交54的延长线于点G,则N9G/=90。，

；AE=2,AB=2+26

；.BE=AB-AE=26

12

由折叠的性质得，B'E=BE=2也,

•・•四边形45c。是菱形，ZABC=60°f

・・・/BAD=120°,

AB'AG=60°,

・•・/ABC=30°,

设4G=x,则5'G=GX,AB，=2X,

GE=AG+AE=x+2,

在RtZXEG9中，由勾股定理得EB"=£G2+QG2,

x=l或x=-2（舍去），

AB'=2x=2,

故答案为：2.

【点睛】此题考查了折叠的性质、菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握折叠

的性质、菱形的性质是解题的关键.

16.如图，点M的坐标为（3,2）,点尸从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿V轴向上移动，同时过点尸的

直线/也随之上下平移，且直线/与直线〉=-x平行，如果点M关于直线/的对称点落在坐标轴上，如果点P

【分析】过点M作“/，直线/,交V轴于点尸，交X轴于点£,与直线/相交于点A,则点E、F为点、M

在坐标轴上的对称点，过点〃■作轴于点。，设直线/的解析式为y=-x+6,由直线/与直线V=f

平行可得/。以=45。，即可证明与AOE尸均为等腰直角三角形，进而可求出点E、尸的坐标，根据

中点坐标公式可求出〃/和〃E的中点坐标，代入＞=-x+6可求出6值，即可得点尸坐标，即可求解.

13

【详解】如图，过点〃■作板，直线/,交V轴于点尸，交X轴于点£,与直线/相交于点A,则点E、尸为

点M在坐标轴上的对称点.

1—Z寸一"

।zVx!।

I'

0/\2\3~

F/

直线/与直线v=f平行，

••・设直线/解析式为y=-x+，，

过点M作九轴于点。，则OD=3,MD=2,

•••直线/的解析式为y=f+6,

AOPD=45°,

NOFE=ZOEF=45°,

:.AMDE与AOEF均为等腰直角三角形，

:.DE=MD=2,OE=OF=\,

^(1,0),F(0,-1).

•.•"(3,2),F(0,-1),

线段〃/中点坐标为(|,1).

■:直线y=-X+6过点(g,y),

•,L=一3+b

-22"

解得：6=2,

「•点尸坐标为(0,2),

.'.t—2.

・•・”(3,2),E(\,0),

线段小中点坐标为(2,1).

直线V=-％+6过点(2,1),

14

/.1——2+b,

解得：6=3,

•••点尸坐标为（0,3）,

=3.

.・•点W关于/的对称点，当仁2时，落在y轴上，当"3时，落在X轴上.

故答案为：2或3.

【点睛】本题考查了一次函数的图象与几何变换.注意在x轴、V轴上均有点〃的对称点，不要漏解；其

次注意点E、尸坐标以及线段中点坐标的求法.

三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.计算：|V3-2|+2COS30°-（-A/3）2+^-1^.

【答案】3

【分析】本题考查特殊角的三角函数值，实数的混合运算.先化简各式，再进行加减运算即可.掌握相关

运算法则，正确的计算是解题的关键.

【详解】解：原式=2-6+2x3-3+4

2

=2-用员3+4

=3.

x+31_

--------x+1>0

18.解不等式组：2在数轴上表示出它的解集，并求出它的正整数解.

3（x-5）<2x-l

【答案】%<5；数轴见解析；正整数解为：I,2,3,4,5

【分析】先分别求出一元一次不等式的解集，再将其解集在数轴上表示出来，取其正整数即可求解.

x+3.-x+1>0①

【详解】解：2,

3（尤-5）<2x-l②

解不等式①得，%<5,

解不等式②得，尤<14,

.♦•不等式组的解集为x45,

其解集在数轴上表示如下：

LILIII.1[■ILL1110n.

i012345678910II121314IS

15

该不等式组的正整数解为：1,2,3,4,5.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并在数轴上表示解集，熟练掌握一元一次不等式的解法及解集在

数轴上表示的方法是解题的关键.

19.如图，平行四边形48co中，N8CA的平分线交4D于E,N48C的平分线交EZ)于点R

(1)求证：AE=DF；

⑵若44=120。，BF=86,EF=3,求3C的长.

【答案】(1)见详解.

(2)13

【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质知识，

(1)根据平行四边形性质和角平分线性质可得N/AF=ZAFB,/DEC=ZDCE.即可得到AB=AF,

DE=DC.即可求证结论.

(2)过点/作,垂足为77,利用/胡尸=120。，AF=8力可计算出的长度，结合(1)即可

求出BC长度.

【详解】(1)解：•••四边形Z8CD是平行四边形.

；.AD〃BC,AB=DC,AD=BC.

:.NAFB=NFBC,/DEC=NECB.

是4BCD的平分线，BF是/4BC的平分线.

NABF=NFBC,ZDCE=ZECB.

：.ZABF=ZAFB,ZDEC=ZDCE.

：.AB=AF,DE=DC.

AF=DE.

：.AF-EF=DE-EF.

：.AE=DF.

(2)过点N作尸，垂足为H,如图：

16

由(1)知=且/B4F=120。，BF=84,

：./BAH=60°,BH=-BF=4e.

2

45〃=30。，

AH=-AB,

2

・,・加=必+必=Sd+加，AB=8.

：.AF=DE=AB=8.

・；EF=3.

：.AE=AF-EF=5,

：.AD=AE+ED=13.

・•・BC=AD=13,

20.某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度45=200cm,

遮阳棚前端自然下垂边的长度5C=25cm,遮阳棚固定点4距离地面高度296.8cm,遮阳棚与墙面的

夹角ZBAD=12°.

w

外阳光线

D------------------G

图1图2图3

(1)如图2,求遮阳棚前端2到墙面ND的距离；

(2)如图3,某一时刻，太阳光线与地面夹角/CFG=60。,求遮阳棚在地面上的遮挡宽度。下的长(结果精

确到1cm).(参考数据：sin72°®0.951,cos72°»0.309,tan72°=3.078,6v1.732)

【答案】⑴遮阳棚前端B到墙面的距离约为190.2cm

⑵遮阳棚在地面上的遮挡宽度。厂的长约为69cm

17

【分析】(1)作于£,在RtZXNBE中，根据sin/A4E=——列式计算即可；

AB

(2)作BEL4D于E,CH工4D于H,延长8C交。G于K,则BKVDG,可得四边形,四边形HDKC

是矩形，解直角三角形Rt/\48E求出4E,可得CK=ZW=210cm,然后RtACFK中，解直角三角形求出FK,

进而可得。尸的长.

【详解】(1)解：如图3,作于E,

HFRF

在中，sinZBAE=——,即sin72°=—,

AB200

BE=sin72°x20020.951x200=190.2cm,

答：遮阳棚前端8到墙面的距离约为190.2cm；

(2)解：如图3,作BE工4D于E,CH工AD于H,延长8C交DG于K,则BKLDG,

四边形四边形HDKC是矩形，

由（1）得3E=190.2cm,

DK=HC=BE=190.2cm,

Ap'AE

在中，cosZBAE=-----,即cos72。=-----,

AB200

AE=cos72°x200r0.309x200=61.8cm,

由题意得：EH=BC=25cm,

：.DH=AD-AE-EH=296.8-61.8-25=210cm,

：.CK=DH=210cmf

PK210

在Rt^CFK中，tanZCFK=—,gptan60°=—

FKFK

：.FK=2I。=半。121.25cm,

tan60°V3

：.DF=DK-FK=190.2-121.25«69cm,

答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度。厂的长约为69cm.

18

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造出直角三角形，

熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

21.近年来，网约车给人们的出行带来了便利，林林和数学兴趣小组的同学对“美团”和“滴滴”两家网约车公

司司机月收入进行了一项抽样调查，收集了两家公司各10名司机月收入情况(单位：千元)：

滴滴司机：45910455549

美团司机：4578676566

整理数据：画出统计表和统计图，如图所示：

“买团”网约《司机收入分布傥计图

“滴滴”网约车司机收入频数分布表:

月收入4千元5千元9千元10千元

人数(个)3421

根据以上信息，分析数据如表:

平均月收入/千元中位数众数方差

“滴滴”6b56.2

“美团”a.661.2

⑴请求出a的值；

(2)6=；m=；圆心角〃=°；

(3)林林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是林林，请从平均数、中位数，众数，方

差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并建议他的叔叔选择哪家公司？

【答案】(1)6

(2)5,40,72

(3)选“美团”，见解析

19

【分析】本题考查了统计的有关知识，解题的关键是掌握相关定义与有关的计算公式.

(1)根据加权平均数的计算公式可得。的值，根据中位数的定义可得方的值，用360。乘平均月收入7千元

所占比例可得圆心角〃的度数;

(2)根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可.

4xl+5x2+6x4+7x2+8xl

【详解】(1)解：“美团”的平均月收入。=------------;------------=6,

10

故答案为:6；

(2)“滴滴”网约车司机收入的中位数6=——=5,

2

“美团”网约车公司司机月收入中，“6千元”对应的百分比为4+10=40%,

2

圆心角n的度数为：360°X—=72°.

故答案为：5,40,72；

(3)选“美团”,理由如下:

因为平均数一样，“美团”的中位数、众数大于“滴滴”的，且“美团”的方差小，更稳定.

22.如图，48是OO的直径，C,。是OO上的两点，且3c=。。，8。交/C于点E,点尸在/C的延长

线上，BE=BF.

⑴求证：AF是。。的切线；

3

(2)若斯=6,cosZABC=~.

①求3尸的长；

②求OO的半径.

【答案】(1)见解析；

„„10

(2)①5；②

【分析】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形.

20

(1)利用圆周角定理，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可;

（2）①利用等腰三角形的三线合一和直角三角形的性质求出C尸=CE=^EF=3,

IF=ZABC,在Rt"CF

中，利用余弦的定义进行计算即可；②在中，利用余弦的定义求出N8,即可得到答案.

【详解】（1）证明：•••3C=JDC,

:.BC=DC，

ZA=ZCBD,

■：BE=BF,

:.NBEC=NF.

ZB为。O的直径，

ZACB=9QP,

ZBEC+ZCBE=90°,

ZF+ZA=90°.

/.ZABF=90。,

OB1BF,

Q。5是圆的半径，

・・.5尸是的切线;

（2）解：①由（1）得：BE=BF,

•••45是OO的直径，

/.BC1EF,

：.CF=CE=-EF=3,

2

/ABC+/CBF=90。,NCBF+NF=90。,

ZF=NABC,

CF

在RLBCF中，•••cosZF=——,

BF

3

:.BF=CF+—=5；

5，

②在RbBCT7中，BC=NBF?-CF?=4，

在RtAABC中，TcosZABC=^-=-,

AB5

,4B=竺,

21

oo的半径为—.

23.某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如下表:

甲水笔乙水笔

每支进价(元)aQ+5

每支利润(元)23

已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等.

(1)求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元.

(2)若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过

乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元.

(3)文具店为了吸引客源.准备下次再购进一种进价为12(元/支)的丙水笔，预算用1500元购进这三种水

笔若干支(三种笔都需购买)，其中甲水笔与乙水笔的数量之比为1:2,则该文具店至多可以购进这三种水

笔共多少支.

【答案】(1)甲、乙两种水笔每支进价分别为5元、10元

(2)购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元

(3)169支

【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，根据题意

找出等量关系，列出方程，函数关系式，以及不等式，熟练掌握相关性质是解题的关键.

(1)根据“花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等”列出方程求解即可；

(2)设利润为w元，甲种水笔购进x支，根据题意找出等量关系，列出一次函数表达式，根据一次函数的

增减性，即可解答；

(3)设购进甲种水笔加支，则购进乙种水笔2用支，一共购进〃支水笔，列出方程化简，得"=125+旦加，

12

根据〃-加-2加＞0,推出加＜60,再结合m、n均为正整数，得出当加=48时，n取得最大值，此时«=169,

即可解答.

【详解】(1)解：由题意可得，

400_800

二,

aa+5

解得，a=5,

22

经检验，。=5是原分式方程的解,

・.Q+5=10,

答：甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元;

（2）解：设利润为w元，甲种水笔购进x支,

。,2000-5x„,

w=2x+3x-------------=0.5x+600,

10

•・F=0.5>0,

・・・w随X的增大而增大,

•・•购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍,

.2000-5x.

..x<------------x4,

10

2

解得xW266

・・・、为整数,

...当x=266时，w取得最大值，此时w=733,迎存把=67,

答：该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元;

（3）解：设购进甲种水笔加支，则购进乙种水笔2加支，一共购进〃支水笔,

5加+10x2加+12（〃一加一2冽）=1500,

化简，得

…11

n=125Hm,

12

n—m—2m>0,

125+—m-m-2m>0,

12

/.m<60,

■：m,〃均为正整数,

；.当〃7=48时，〃取得最大值,此时〃=169,

即该文具店至多可以购进这三种水笔共169支.

24.阅读材料:“三等分角”是数学史上一个著名问题.今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的.在

研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1,步骤如下：

①建立直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边。与x轴正方向重合；

23

②在直角坐标系中，绘制函数＞=」的图象，图象与已知角的另一边。4交于点尸;

X

③以P为圆心、以20P为半径作弧，交函数＞=’的图象于点R；

X

④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点点。；

⑤连接OM,得至I］ZMOB.则ZMOB=^ZAOB.

思考问题:

⑴设P,,£|,求直线的函数解析式（用含0,6的代数式表示），并说明。点在直线。M上;

⑵证明：NMOB=gzAOB.

44

（3）如图2,若直线y=x与反比例函数y=［（xRO）交于点C,。为反比例函数y=、（xwo）第一象限上的一

个动点，使得NCOD=30。.求用材料中的方法求出满足条件。点坐标.

【答案】（l）y='x,证明见解析

ab

（2）见解析

⑶0（4-2君,4+2&）或。（4-2班,4-26）

【分析】（1）由尸河〃x轴，八四〃y轴，尸［生［，《4：］，即可得出M点的坐标，即可，再将点Q的坐标

代入解析式即可判断点Q是否在直线OM上；

（2）连接H?,交OM于点S,由矩形的性质和平行线的性质即可得到结论;

（3）先求出点C（2,2）,可得oc=2加,然后分两种情况讨论：当。点在OC下方时，当。点在0C上方时,

即可求解.

【详解】（1）解：设直线的函数表达式为歹=依,

由题意得：/PQR=NQRM=NPQR=90°,

24

.•.四边形尸。尺/为矩形,

...力,£|,季,£|,

把点"(b2］代入歹=丘得：k=^-,

Va)ab

・,・直线OM的函数表达式为y二二工,

ab

Q的坐标f满足y=-^-x,

Ib)ab

・••点。在直线。河上；

(2)解：连接尸H,交OM于点S,

由题意得四边形尸少”是矩形，

PR=QM,SP=^PR,SM=^QM,

：.SP=SM,

：.Z1=Z2,

・•・Z3=Z1+Z2=2Z2

,:PR=2PO,

：.PS=PO.

：./4=/3=2/2,

尸轴，

・•・/2=/5,

・・・4。3=/4+/5=3/5,^ZMOB=^ZAOB.

4

(3)解：・・•直线歹=］与反比例函数y=—(xwO)交于点C,

x

4

・・・%=一，解得：x=2或—2(舍去)，

x

25

.-.C（2,2）,

oc=2V2,

4

当。点在OC下方时，如图，以C为圆心，20c为半径画弧，交反比例函数y=.（xwo）于点E,烬EE//y

轴，作C/〃x轴，连接OF并延长交反比例与点尸，作CGIIEF，连接EG,CE与。尸交于点H,ZCOD=30°,

CE=2OC=472-GH=GE=272>

作G/_L£C于/,则G/=拒，,EI=2五-瓜,

GE=J（q2+（2后-府=252,

则方=2-（26-2）=4-26,：日=4+2&

【点睛】此题在考查三等分角的作法时，综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、矩形的性质以及三

角形外角的性质等，综合性较强.

25.如图1,在平面直角坐标系尤0y中，二次函数了=x2-4x+c的图象与y轴的交点坐标为（0,5）,图象的

顶点为矩形的顶点。与原点。重合，顶点4C分别在x轴，y轴上，顶点3的坐标为（L5）.

26

⑴求C的值及顶点M的坐标，

（2）如图2,将矩形/BCD沿x轴正方向平移/个单位（0</<3）得到对应的矩形.已知边C'。‘，A'B'

分别与函数y=x