2024年高考数学复习：新定义型几何图形综合问题（重点突围）(学生版)

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专题12新定义型几何图形综合问题

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目录

【直击中考】...................................................................................1

【考向一与三角形有关的新定义型问题】.....................................................1

【考向二与四角形有关的新定义型问题】....................................................11

【考向三三角形与圆综合的新定义型问题】.................................................23

【考向四四角形与圆综合的新定义型问题】.................................................31

尸9

忆，爵【直击中考】

【考向一与三角形有关的新定义型问题】

例题：（2022•江西抚州•统考一模）定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相

交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三

角形相似，我么就把这条线段叫做这个三角形的"华丽分割线

例如：如图1,4D把448C分成448。和ZUDC,若448。是等腰三角形，SLAADC-ABAC,那么/。就

是ZU8C的"华丽分割线

【定义感知】

⑴如图1,在V/BC中，Z5=40°,ZBAC=\\00,AB=BD.求证：4D是V/BC的“华丽分割线

【问题解决】

⑵①如图2,在V/8C中，48=46。，AD是V48C的“华丽分割线”，且△/AD是等腰三角形，则NC的度

数是;

②如图3,在V/8C中，48=2,AC=64D是Y4BC的“华丽分割线”，且△/灰）是以4D为底边的等腰

三角形，求华丽分割线的长.

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【变式训练】

1.（2022•山东济宁・三模）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图胤在VABC

中，AB=AC,顶角A的正对记作sa<W,这时sacU=T=会，容易知道一个角的大小与这个角的正对值

也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解答下列问题：

3

⑵如图，已知siib4=不，其中//为锐角，试求sadJ的值.

2.（2022春・福建龙岩•九年级校考期中）在一个三角形中，如果有两个内角a与△满足2a+尸=90。，那么

我们称这样的三角形为“亚直角三角形".根据这个定义，显然a+/<90。，则这个三角形的第三个角为

180。-（1+尸）>90。，这就是说"亚直角三角形”是特殊的钝角三角形.

A

（1）【尝试运用】：若某三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为100。，请求出它的两个锐角的度数;

⑵【尝试运用】:如图1,在RtV48C中，ZACB=90°,AC=4,8c=8,点。在边上，连接40,且4D

不平分/A4c.若△A&D是"亚直角三角形”，求线段的长;

⑶【素养提升】：如图2,在钝角V48c中，ZABC>90°,48=5,2C=3囱，V48c的面积为15,求证:

V28C是"亚直角三角形”.

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3.(2022秋,江苏常州•九年级校考期中)【理解概念】

定义：如果三角形有两个内角的差为90。，那么这样的三角形叫做"准直角三角形”.

⑴已知是“准直角三角形"，且NC>90。.

①若〃=60。，贝iJZB=。；

②若4=40。，则々=。；

【巩固新知】

(2)如图①，在中，ZACB=90。,AB=6,8C=2,点。在/C边上，若△48。是“准直角三角

形”，求CD的长；

图①

【解决问题】

(3)如图②，在四边形N8CD中，CD=CB,NABD=NBCD,AB=5,BD=8,且V/BC是"准直角三角形”,

求△BCD的面积.

A

图②

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4.（2022•山东青岛•统考中考真题）【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形.

例如：如图①.在V48C和V/0。中，分别是8C和5'C'边上的高线，且40=/。'，则V48c和

V/'B'C'是等高三角形.

图①图②图③

【性质探究】

如图①，用SVABC，Sv/B，u分别表示VABC和MA'B'C的面积.

则S“BC=：BC-AD,S^A,B.C,=A'D',

"AD=AD

SMBC''SZ\A,B'C=BC:B'C.

【性质应用】

⑴如图②，。是V/8C的边上的一点.若BD=3,DC=4,贝U$愕如：S△皿c=；

⑵如图③，在V/3C中，D,E分别是2C和48边上的点.若BE:4B=1:2,CD:BC=1:3,SAABC=1,则

S&BEC=，SACDE=；

⑶如图③，在V4BC中，D,E分别是8C和48边上的点，若BE:AB=l;m,CD:BC=l:n,SyABC=a,

贝US&CDE=-

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【考向二与四角形有关的新定义型问题】

例题：（2022・陕西西安•校考三模）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.

图1备用图

（1）问题发现：如图1,筝形/BCD中，AD=CD,AB=CB,若/C+AD=12,求筝形4BCD的面积的最

大值;

⑵问题解决：如图2是一块矩形铁片/BCD,其中NB=60厘米，3C=90厘米，李优想从这块铁片中裁出

一个筝形EFGH,要求点E是AB边的中点，点尸、G、〃分别在8C、CD、AD±.（含端点），是否存在

一种裁剪方案，使得筝形EFGH的面积最大？若存在，求出筝形EFG”的面积最大值，若不存在，请说明

理由.

【变式训练】

1.（2022・吉林长春•校考模拟预测）定义：如果一个四边形的一组对角互余，我们称这个四边形为对角互余

四边形.

阳I图2图③

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⑴问题1.利用下面哪组图形可以得到一个对角互余四边形（）

①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个直角三角形；④两个全等三角形.

⑵如图①，在对角互余四边形/BCD中，/。=30。，且ACLAD.若BC=1,求四边形/BCD

的面积和周长.

⑶问题2.如图②，在对角互余四边形48CD中，AB=BC,BD=13,ZABC+ZADC=90°,45=8,

CD=6,求四边形/BCD的面积和周长.

⑷问题3.如图③，在对角互余四边形NBCD中，BC=2AB,sinZABC=~,ZABC+ZADC=90°,

AD=10,求V/CD面积的最大值.

2.（2023春•江西抚州•九年级金溪一中校考阶段练习）【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做，等邻边

四边形

【问题探究】

⑴如图①，已知矩形/BCD是"等邻边四边形"，则矩形N3C。（填"一定"或"不一定"）是正方

形；

⑵如图②，在菱形4BCD中，NABC=120°,AB=4,动点〃、N分别在CD上（不含端点），若

ZMBN=6O°,试判断四边形WDN是否为"等邻边四边形"？如果是"等邻边四边形"，请证明；如果不是，

请说明理由；此时，四边形的周长的最小值为；

【尝试应用】

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⑶现有一个平行四边形材料/BCD,如图③，在Y4BCD中，AB=^17,BC=6,tanB=4,点E在BC

上，且2E=4,在Y/BCD边上有一点尸，使四边形/3EP为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形

ABEP的面积可能为的值___________.

3.（2022•江西赣州・统考二模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做"等邻角四边形".例如：如图

①，NB=NC,则四边形N3CZ）为"等邻角四边形”.

⑴定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是.

①平行四边形；②矩形；③菱形；④等腰梯形.

⑵深入探究：

①已知四边形N3CD为“等邻角四边形”，且乙4=120。，4=100。,则乙D=.

②如图②，在五边形/3CDE中，DE//BC,对角线3。平分/23C,求证：四边形/3OE为等邻角四边

形.

⑶拓展应用：如图③，在等邻角四边形/3C。中，NB=/C,点P为边8C上的一动点，过点P作

PM1AB,PNLCD,垂足分别为M,N.在点尸的运动过程中，尸初+PN的值是否会发生变化？请说明

理由.

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【考向三三角形与圆综合的新定义型问题】

例题：（2022•江西上饶•统考一模）定义：如果一个三角形有一个内角的平分线与这个角的对边的夹角是

60°,那么称该三角形为"特异角平分三角形"，这条角平分线称为"特异角平分线”.

图1

⑴如图1,MABC是一个“特异角平分三角形”,是一条“特异角平分线”

①当/C=90。时，试求40:50的值.

②在V/8C中，过点。作DE工48于点£,延长至点〃，HE=DE,若DE:AE=5.3,证明:

YAHEWADC.

⑵如图2.8D是e。的直径，/C是e。的切线，点C为切点，4814c于点/且交e。于点连接。〃

交BC于点、E,BD=4,AB=3.试证明是一个“特异角平分三角形

【变式训练】

1.（2022春•九年级课时练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成

的锐角称为该三角形第三个内角的"好角

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C

图1

⑴如图1,此是V/8C中乙1的"好角"，若//=a,则NE=；（用含a的代数式表示）

⑵如图2,四边形N5CD内接于e。，点。是优弧/C8的中点，直径2尸，弦NC,BF、CD的延长线于点

G,延长3c到点E.求证：N8GC是V/8C中N8/C的"好角

⑶如图3,V/3C内接于e。，乙8GC是V/3C中乙I的"好角”，8G过圆心。交e。于点Re。的直径为

8,乙4=45°,求FG.

2.（2022•湖南长沙•长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考一模）我们不妨定义：有两边之比为1：6的

三角形叫敬"勤业三角形

图1图2

⑴下列各三角形中，一定是"勤业三角形"的是；（填序号）

①等边三角形；②等腰直角三角形；③含30。角的直角三角形；④含120。角的等腰三角形.

⑵如图1,是的内接三角形，/C为直径，。为4B上一点，且作。交线

段O/于点尸，交。。于点E,连接3E交/C于点G.试判断△NED和△”E是否是勤业三角形”？如果是,

请给出证明，并求出JFD的值；如果不是，请说明理由；

（3汝口图2,在（2）的条件下，当4尸:FG=2：3时，求N8E。的余弦值.

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【考向四四角形与圆综合的新定义型问题】

例题：（2022秋•九年级课时练习）定义：有一个角为45。的平行四边形称为半矩形.

⑴如图1,若口/2。。的一组邻边/2=4,40=7,且它的面积为14拒.求证：口48。£＞为半矩形.

（2）如图2,半矩形/8C。中，ZU8D的外心。（外心。在A48。内）到N8的距离为1,。。的半径=5,

求ND的长.

（3）如图3,半矩形/BCD中，44=45。

①求证：CD是A42D外接圆的切线；

②求出图中阴影部分的面积.

【变式训练】

1.（2022•浙江宁波•校考模拟预测）定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为"对

角互余四边形

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⑴如图1,在“对角互余四边形"N3CD中，AD=CD,BD=65,ZABC+ZADC=90°,AB=4,CB=3,

求四边形48