2024年高考第一次模拟考试数学试卷（天津卷2）（解析版）

2024年高考第一次模拟考试(天津卷02)

数学

第I卷

参考公式：

•如果事件A、8互斥，那么尸(AuBQPXl+PZ).

•如果事件A、8相互独立，那么P(A3)=P(A)尸(3).

•球的体积公式万依，其中R表示球的半径.

•圆锥的体积公式V=；S/z,其中S表示圆锥的底面面积，〃表示圆锥的高。

选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合4=何2尤2-5》+2<。},B={x[0<x<l},则AB=()

A.[JB.g"C.(1,2)D.(2,+oo)

【答案】B

【解析】1-5尤+2<0,，g<x<2,故A

故选：B

2.已知条件p」41,条件q:x2-2xN0,则p是4的()

X

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】由题意〃:0"一°=或xvO,q:x2-2x>0<^x>2

xx[xw0

或xWO,

若x=0,则条件q:%2—2x20成立，但条件不成立，

x

若x=l,则条件p：」《l成立，但条件击f―2x20不成立，

x

因此〃是9的既不充分也不必要条件.

故选：D.

3.已知函数〃x）的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）

B.〃x)=(3'+3-*)cos2尤

C./(X)=(3，-3T)COS2JCD./(x)=(3r-3-A)sin2x

【答案】C

【解析】因为“X）的图象关于原点对称，所以“X）为奇函数,

而y=3'+3T为偶函数，y=3'-3-'为奇函数，y=sin2x为奇函数，＞=cos2x为偶函数,

了（无）应该为一个奇函数与一个偶函数的积，排除B与D.

又因为了用=0，/（x）=（3，+3）in2x不满足/5）=0,排除A,

3兀

0,C正确.

故选：c

4.(log43+log83)(log32+log92)=()

54

A.-B.-C.15D.12

45

【答案】A

［解析］(log43+log83)(log32+log92)

|log23|log32

4lg2lg3

5

4

故选：A

a

5.已知数列｛q｝满足n+l,a[=-l,则6oo=

A.-1B.1C.2D.1

【答案】A

【解析】由题意，数列｛%｝满足。用=4=-1,可得

1an

1cli

a[=,〃3=2,=1,。5=，，

a

所以数列｛4｝构成以3项为周期的周期数列,则ioo=4*33+1="I=-1

故选：A.

6.PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM2.5日均值在

35pg/m3以下，空气质量为一级；PM2.5日均值在35~75pg/m3,空气质量为二级;

PM2.5日均值超过75）ig/m3为超标.如图是某地8月1日至10日PM2.5的日均值（单位:

gg/m3）变化的折线图，下列关于PM2.5日均值说法正确的是（）

B.前4天的日均值的极差小于后4天的日均值的极差

C.前4天的日均值的方差大于后4天的日均值的方差

D.这10天的日均值的中位数为45

【答案】B

【解析】解：对于A,将10天中的PM2.5日均值按从小到大排列为30,32,34,40,

41,45,48,60,78,80,根据百分位数的定义可得，这10天中PM2.5日均值的70百

分位数是生詈=54,故选A错误；

对于B,前4天的日均值的极差为41-30=11,后4天的日均值的极差为78-45=33,故

选项B正确；

对于C,由折线图和方差的定义可知，前4天的日均值波动性小，所以前4天的日均值的

方差小于后4天日均值的方差，故选项C错误；

对于D,这10天中PM2.5日均值的中位数为一7上=43,故选项D错误.

2

故选：B.

7.半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形

围成的多面体，棱长为正的正方体截去八个一样的四面体，则下列说法错误的是（）

A.该几何体外接球的表面积为4兀

B.该几何体外接球的体积为47r半

C.该几何体的体积与原正方体的体积比为5:6

D.该几何体的表面积与原正方体的表面积之比为（2+6）:6

【答案】D

【解析】由题意得该几何体外接球的球心为原正方体的中心，

4

故外接球半径为1，外接球的表面积为4兀，体积为§兀，故A,B正确；

对于C,该几何体的体积”/方体-跖面体=（⑹=半，

正方体体积为2&，故该几何体的体积与原正方体的体积比为5:6；

对于D,该几何体有6个面为正方形，其余的面为边长为1的正三角形，

S表=6xl+8x#=6+26，S正=6X（75『=12,

所以该几何体的表面积与原正方体的表面积之比为（6+26）:12=（3+石）:6,故D错误.

故选：D.

22

8.在平面直角坐标系中，已知双曲线C:=-2=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为尸-

F2,过耳的直线与双曲线C的右支相交于点尸，过点0,名作ON，尸片,，尸片，垂足

分别为且M为线段PN的中点，=则双曲线C的离心率为（）

A.2B.C.D.平

22

【答案】D

【解析】因为弓，工为双曲线C的左、右焦点，

因为ON_LP£,g〃，因

所以ON〃工M,又。为线段可居的中点，

所以N为线段打〃的中点，且10M=；|町

又〃为线段PN的中点，

所以闺川=|可图=阿尸|=；归周，

在Rt。耳N中，|ON|=a,|。团=6,

所以闺M=JLTON『=b，

所以|尸制=3叫MP|=b,

因为点尸在双曲线的右支上，

所以|尸周-|尸阊=2%

故归区1=36-2,

在RtM招尸中，\MF2\=2a,\MP\=b,\PF2\=3b-2a,

由勾股定理可得：（2。）2+廿=网-2。）2,

所以8万2=12〃/?,BP2b=3af

所以4〃=9a2,Xb2=c2-a2,

故4c2=131,

所以e―岳

a~r

故选：D.

x+ln>0

9.设函数y(x)=<（兀、有5个不同的零点，则正实数。的取值范围

sina）x+—,-TI<X<0

I4j

为()

A.*

C.空m口胃

【答案】A

【解析】由题，当无>0时，/(x)=x+lnx,显然单调递增，且了=--lnl0<0,

10

/(2)=2+ln2>0,所有此时有且只有一个零点,

所有当—TIKXKO时，/(x)=sin0X+：有4个零点，令〃x)=0,

兀_三+也

即。x+—=E，左eZ,解得4,1，

4x=--------,KeZ

CD

由题可得一兀WX<0区间内的4个零点分别是左=0,-1,-2,-3,所以一兀即在左=-3与左=-4

之间,

兀C

------3兀

4>-71

G）々刀力曰1317

即《,斛得了40<下

44

---471

----------<-71

CD

故选：A

第n卷

二、填空题

10.已知复数z满足色=2i(其中i为虚数单位)，则同=

Z

【答案】

【解析】由l+二3i"i,得2=l亏+3i=(l笠+3i)"x(=-i)可3-'i一3在1

故答案为：叵.

2

11.二项式。工-十］展开式的常数项为

【答案】60

【解析】卜-2］展开式的通项为心=晨-（2尤广1_9］=C>26，（T）'x6g,

取6-|r=0,解得/'=4,常数项为C>26+（-I）,=60.

故答案为：60.

12.已知圆心为（4,0）的圆C与直线/：y=#x相切于点N（3,百），则圆C的方程

为.

【答案】（1）"=4

【解析】解：因为圆心为（。,。）的圆C与直线/：y=gx相切于点N（3,若）,

所以g=-6解得I，

所以圆心为（4,0）,半径为《=J（4—3）~+（6）=2,

所以圆C的方程为（x-4y+y2=4,

故答案为：（彳-4）2+产=4

13.已知a>l,b>l,则2地/+16晦“的最小值是.

【答案】8

【解析】因为。>1,b>l,所以log8aAOJogab〉。,

Igb

log”b=

Iga

因为■=>logabxlogba=l,

lg£

loga=

fcIgb

所以，2log°*+l6log40>2y/2log-b-16loSba=2,2砥"+4嗨。>2s百=8,

当log“6=2时取“=”.

故答案为：8.

14.某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过5个红绿灯路口.如果他恰好遇见2次红

灯，则这2次红灯的不同的分布情形共有种；如果他在每个路口遇见红灯的概率均

为g,用4表示他遇到红灯的次数，则£(/=.(用数字作答)

【答案】io|

【解析】经过5个红绿灯路口，恰好遇见2次红灯的分布情形有C；=10种；

因为随机变量48(5,g),所以矶。)=5x；=：

故答案为：10；j

JT

15.如图，在平行四边形ABCD中，/BAD=—,AB=2,AD=1,若M,N分别

3

是边AD，CD上的点，且满足12=世=心其中则AN.的取值范围

是.

【答案】

JT

【解析】作。ZBAD=-,AD=1,

3

y\

AH=-,DH=—,

22

A(0,0),B(2,0),C

^=^=A.,:.AM=(1-A)AD,DN=(1-A)DC,

AN=AD+DD=AD+(1-A)DC+(l-A)(2,0)=|-22,

同理可得：BM=AM-AB=(1-A)AD-AB=(1-A)-(2,0)

(31.V3=万+"3=,+3)

-------A,-----------A

I2222J

故AM5A1的取值范围是

三、解答题

16.在AABC中，。也。分别是角A5,。的对边，且3cosAcosC(tanAtanC-l)=l.

5兀

(l)^sin(2B--)的值；

6

(2)若a+c=适，6=百，求AABC的面积.

2

解：(1)i3cosAcosC(tanAtanC-1)=1：3cosAcosC---------------1=1

\,COSTICOSC)

3(sinAsinC-cosAcosC)=1

cos(A+C)=-~,/.cosB——

又0<5<»

,._2V2

..sinBH=------

3

4J97

sin2B=2sinBcosB=------cos2B=1-2sin9B=--

99

1_7-46

2~18^

+c2—Z?21(Q+C)—2ac—b?1

(2)由余弦定理得:cosBn=--------------=-•1-------L---------=-

2ac32ac3

-T73^/3nr45

又a+c=-----,b=73,ac=­

2----------32

c1.n150

-'-SMBC=-acsinB=-^-

17.如图，在长方体A8CD-AgGR中，AD=AAi=l,AB=2,点E在棱A3上移动.

(1)求证：DXE-

⑵当点E为棱A3的中点时，求点E到平面AC，的距离；

TT

⑶当AE为何值时，平面1EC与平面AECD所成的角为一？

4

(1)解：。为坐标原点，直线ZM,OC,O“分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

设AE=x,0<x<2

则A(1,0,1),2(0,0,1)E(LX,O),A(l,0,0),C(0,2,0)

因为。4・〃石=(1,0,1).(1,x,-1)=0,所以

所以

EB

(2)解：因为E为42的中点，则E(L1,O),

从而*=(1,1,-1),AC=(-1,2,0),ADj=(-1,0,1),

fn.Ar=0

设平面AC2的法向量为〃=(a,6,c),则[AD=0

(-a+2Z?=0[a=2b/、

即“，得_，从而力=(2,1,2),

I—a+c=(J\ci—c

所以点E到平面ACD,的距离为h=W曰=马上工=-

\n\33

TT

⑶解：由⑴AE=x'°<x<2时，平面REC与平面AE8所成角为“

则E(l,x,0),0(0,0,1),C(0,2,0),

CE=(l,x-2,0),CD}=(O,-2,l),

设平面REC的法向量机=(a,b,c),

m-CE=Q+(x—2)b=0

取Z?=l,得加=(2—%1,2),

mCD[=-2b+c=0

平面AECD的法向量P=(0,0,1),

兀\m-p\2夜

/.cos—=-------=,=——，

4\m\-\p\J(2一4+52

由0<x<2,解得x=2-&或x=2+V^(舍去).

JT

.•.AE=2-岔时，平面REC与平面AECD所成角为一.

4

22

18.设椭圆方=1(〃>6>0)的左、右焦点分别为%%点P"满足|*=|耳周.

(1)求椭圆的离心率e；

⑵设直线P工与椭圆相交于A,B两点，若直线P外与圆仁+炉+卜-6丁二胎相交于

M,N两点，且|MN卜求椭圆的方程.

O

解：⑴设近一%0),居(c,0)(c>0),

因为|尸名|=|居居|,所以而守寿=2c,

整理得2(与2+£-1=0,得-=-i(舍)，或£=[,

aaaa2

所以ej

2

⑵由(1)知q=2c,b=V3c,可得椭圆方程为3/+4y2=12c。，

直线尸工的方程为y=^（x-c）,

3x2+4y2=12c2

A,8两点的坐标满足方程组为＜

,7=A/3(X-C)

8

消去y并整理，得5--8c尤=0,解得：为=0,X2=~e

8

x=0

得方程组的解i一片和＜5

%=_J3c3白，

%二七

不妨设：A(|c,芈c),B(0,-V3c),

所以|A3|=J(|C)2+(孚C+指C)2=£C于是|M?V|="||A3|=2c,

8

|-V3-A^-A/3C|@2+c|

圆心（-1，6）到直线PF的距离为d=

22~2

222

因为屋+(刊F]=4,所以|(2+C)+C=16,

整理得：7c2+12c-52=0,得。=-亍（舍），或c=2,

所以椭圆方程为：—+^=1.

1612

19.已知q和，:均为给定的大于1的自然数，设集合，/=：口】:…gI：,集合

A={，*=玉+七。+・-49*'1凝€A/,i=l12J'"«nj

（1）当g=[j=3时，用列举法表示集合A；

(2)设了.1wX,s=/+a】qj=b：+么。・…4gz.其中

一47*三二*二JL：7.…”*.证明：若V贝V,!J$<r.

⑴解：本题实质是具体理解新定义，当4=2/=3时，M={0」},

+4xx=1,2,3),再分别对(石，积七)取

A={X\X=XV+2X239iGM,/

(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,o,0),(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(1,1,1),得到A={0,1,2,3,4,5,6,7}

(2)证明：大小不等式，一般利用作差法.

s-t=(al-bl)+(a2-b2)q++(%—%)尸+(。“-=为—,根据新定义:

<q—\,an—bn<—1,(z=1,2,,n—1),

所以s_/W(4_l)+(g_l)g++(q-Dq112-q"-'=(<7~1)(1"^-qn'=-1<0,即s<"

"q

20.设函数“无户心皿宜^^^.

⑴证明/(尤+2E)-/(x)=2Esinx,其中左为整数；

⑵设为为了⑴的一个极值点，证明［/(%)了=/匕;

1+%0

⑶设fM在(0,+co)内的全部极值点按从小到大的顺序排列4