2024届高三数学选填专项训练四试题含答案

2024届高三数学选填专项训练（4）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.已知全集为。=R,集合A={1,2,3,4,5},3={1,3,5,7},C={7},则下列论〃〃图中阴影

部分表示集合C的是（）

2.已知复数Z满足zG+DuS+fg,贝Ijz的共辗复数2的虚部为（）

3.从3双不同的鞋子中随机任取3只，则这3只鞋子中有两只可以配成一双的概率是（）

4.已知直线/：依+丁-2=0与。M-1）2+（丫一°）2=4相交于人、8两点，则.费。为钝角

三角形的充要条件是（）

A.ae(l,3)B.ae(2-a2+句

C.ae(2-V3,l)u(l,2+V3)D.-co,2-A/32+A/3,

5.已知函数〃尤）的部分图像如图所示，则/（x）的解

析式可能为（）

A.f（X）=XCOS7TX

B./（x）=（x—l）sin7TX

C.f（x）=xcos[^（x+l）]

D./(x)=(x-1)COSTUC

6.小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘（如图阴影部分），为了测

量该池塘两侧C,。两点间的距离，除了观测点C,。外，他又选了两个观测点P/,尸2,且

PiP2=a,已经测得两个角/尸/尸2。=*ZP2PID=/3,由于条件不足，需要再观测新的角，

则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C,。间距离的是（）

①NDBC和/OCP/；②NPjP2c和/P〕CP2；

③NBOC和NOCH.

A.①和②B.①和③

C.②和③D.①和②和③

7.如图（1）所示，已知球的体积为36兀，底座由边长为12的正三角形铜片ABC沿各边中

点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图（2）所示.则在图（1）所示的几何体中，下

列结论中正确的是（）

A.CD与8E是异面直线

B.异面直线与CD所成角的大小为45°

C.由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面面积为3兀

D.球面上的点到底座底面OEF的最大距离为3+如+而

8.已知。=68,6=7’,c=8$,则°,6,c的大小关系为（）

A.b>c>aB.c>b>a

C.a>c>bD.a>b>c

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.已知椭圆C:《+《=l,耳工为C的左、右焦点，尸为C上一点，且即，£区,若「此

42

交C点于点。，则（）

A.△尸与。周长为8B.ZF}PF2<^

C.国1面积为亨D.闺。|=?

10.已知函数f（x）=J1+COS%+Jl-cos%,则下列结论正确的有（）

A.兀为函数/（%）的一个周期B.函数人九）的图象关于直线％=]对称

C.函数了（X）在0,|上为减函数D.函数"X）的值域为[0,2]

11.已知等比数列{4}首项4>1,公比为q,前〃项和为5“，前w项积为（，函数

〃x）=x（x+4）（x+4）…（x+%）,若代（0）=1,则下列结论正确的是（）

A.{Igaj为单调递增的等差数列

B.0<q<l

c.1s,-言，为单调递增的等比数列

D.使得I>1成立的〃的最大值为6

12.已知函数是定义在（0,+“）上的函数,广⑺是〃尤）的导函数，若

犷（x）+d1（x）=e2，，且/g]=2e,则下列结论正确的是（）

A.函数/（x）在定义域上单调递增

B.函数/'（X）在定义域上有极小值

C.函数e21nx的单调递增区间为（1,+8）

D.不等式〃力>62工+6的解集为6,+，|

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知平面向量£与6的夹角为45。，a=（-1,1）,|&|=1,则,+0=.

14.已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，若把其展开式中所有

的项重新排列，则有理项互不相邻的概率为.

1119

15.若正数。，匕满足上+；=1,则的最小值_______.

aba-\b-1

221

16.已知双曲线E：r］-v左=l（a>0,6>0）,斜率为-§的直线与E的左右两支分别交于A,

B两点，点尸的坐标为（-1,2）,直线AP交E于另一点C,直线交E于另一点D若直

2024届高三数学选填题专项训练（4）答题卡

姓名分数

一、选择题

123456789101112

二、填空题

13..14,

15..16.,参考答案:

1.B

【解析】分析7与集合A、8的关系，可将集合C表示出来，进而可得出结论.

【详解】已知全集为U=R,集合A={1,2,3,4,5},3={1,3,5,7},C={7},

所以，7eA,7eB,即A,所以，C=(^A)B,

故选：B.

2.D

【分析】对Z(3+i)=3+i2°23化简求出复数z,再求出其共辗复数，从而可求出Z的共辗复数

Z的虚部.

【详解】由z(3+i)=3+i2°23,得Z=1^(3-i)(3_i)_9-6i+i?_4_3.

(3+i)(3-i)-10~-5-i1

所以-z=4：3+五,

3

所以z的共轨复数2的虚部为:,

故选：D

3.C

【分析】由古典概型的概率公式，三双不同的鞋子共有6只，共有盘=20种可能，满足条

件的有C；C：=12种可能，进而可得结果.

【详解】三双不同的鞋子共有6只，共有C；=20种，三只鞋子中有两只可以是一双，则可

以是三双中的一双，其余一只为剩余4只中任意一只，共有C；C：=12种，则概率为P=.=w

故选：C

4.C

【解析】设圆心C到直线/的距离为d,根据已知条件可得出&<且，可出关于实数。的不

r2

等式，由此可解得实数。的取值范围.

【详解】圆C的圆心为C(l,a),半径为厂=2,

由于一ABC为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则NG钻<45,

设圆心。到直线/的距离为d,则d=

I+।i,

贝|sinNCA5=—=,整理可得a?_4a+l<0,解得2—g<a<2+A/^.

ryja2+l2

因为直线/不过圆心C,则2a—2w0,解得awl.

综上所述，ae(2-V3,l)u(l,2+^).

故选：C.

【点睛】易错点点睛：本题考查利用直线与圆相交求参数，本题通过一ABC为钝角三角形求

参数。的取值范围，除了分析出《〈走之外，还应注意直线/不能过圆心，由此得出关于实

r2

数。的不等式组求解.

5.B

【分析】利用排除法，结合函数的性质即可得到正确答案.

【详解】利用排除法.

由图像可知/(0)=0,排除D选项；

又图像不关于原点对称，，排除A选项；

对于B：当xe(OJ)时，/(x)=(x-1)sin<0；当xe(l,2)时，/(无)=(x-l)sin乃x<0；当x=]

时，/(x)=(x-l)sin»x=0；符合要求.

对于C:/(x)=%COS[>T(X+1)]=-XCOS71X.

所以/(一龙)=xcos。(尤+1)]=—(-x)cos乃(一无)=xcos亦=-/(%),为奇函数，图像应该关于

原点对称，不符合要求.

故选：B.

6.D

【分析】由正余弦定理知已知三角形两角一边或两边一角或三边均可解出三角形任意一个量,

要求C,。间距离只需看O所在三角形是否已知两角一边或者两边一角即可.

【详解】根据题意，4P,P[D的三个角和三个边，由正弦定理均可以求出，中已知以，

/。鸟勺而.C。心中已知。鸟

若选条件①，则△口)1中已知两角一边，CD可以求；

若选条件②，由正弦定理可以求出C£及NCK，所以可以求出，则在，co鸟中已

知两边及夹角运用余弦定理即可求出CD.

若选条③，则在C。鸟中已知两边及一角，用正弦定理即可求出CD

故选：D

7.C

【分析】取所中点N,M,利用给定条件证明BC〃〃及AB//。/，推理判断A,B；

求出ABC外接圆半径，结合球面截面圆性质计算判断C,D作答.

【详解】取。£所中点N,M,连接AB,BC,AC,3M,aW,CN,如图，

因ABEF为正三角形，则BM_LEF,而平面BEF_L平面DFE,平面BEFI平面DFE=EF,

BMu平面3EF,

于是得2平面DFE,同理CN_L平面£>巫，即3M//CN,BM=CN=30

因此，四边形3CM0是平行四边形，有BCUNMIIDE,则直线CD与BE在同一平面内,

A不正确；

由选项A,同理可得AB〃D尸，则异面直线A8与CD所成角等于直线。尸与C。所成角60,

B不正确；

由选项A知，BC=MN=、DE=3,同理可得AB=AC=3,正.ABC外接圆半径r=石，

由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面圆是11ABe的外接圆，此截面面积为3无，C正

确；

47r

体积为36兀的球半径R,由彳炉=36兀得R=3,由选项C知，球心到平面ABC的距离

(1=收-产="，

由选项A,同理可得点A到平面DFE的距离为3#，即平面ABC与平面DFE的距离为3#，

所以球面上的点到底座底面。所的最大距离为R+d+BM=3+3拒+屈,D不正确.

故选：C

8.D

【分析】根据式子结构构造函数“力=04-尤)hx,利用导数判断出〃尤)在(6,口)上单调

递减，得到81n6>71n7>61n8,进而得至!J6®>77>8,,即可得到答案.

【详解】令/(x)=(14—x)lnx,贝！］尸(x)=Tiw+?-l.

因为y=-lux在上单调递减，y=—■-1在(0,+00)上单调递减,

所以/'(x)=-----1在上单调递减.

，414

而广(5)=—ln5+——1>0,/(6)=-^6+——1<0,

56

所以在(6,+8)上有/'(“<0.

所以f(x)=(14-x)lnx在(6,+8)上单调递减.

所以〃6)>〃7)>〃8),即81n6>71n7>61n8

故68>77>86.故<2>b>c.

故选：D

9.AD

【分析】根据椭圆方程，求出对应的”,瓦。，利用几何性质即可得出正确的选项

【详解】由题意，在椭圆C：《+E=l中，a=2,b=c=④,不妨设尸在X轴上方,

所以/£尸乙＞60。，故B错;

△尸£。的周长为4a=8,A正确;

设怩。|=狈闺。|=4一机,

在△尸7口中，闺砰+\PQ^2\Fip\.\PQ\l=由0「

13

得1+(加+3)2-2x1x(机+3)x§=(4—m)2=^>m,

所以寓。|=二，D正确;

/=如阊,

所以=-SAPFF=-xlx2V2xl=—,

△以也54Ptyt'2525

故c不正确，

故选：AD.

10.ABD

【分析】计算f（x+兀）=可判断A;计算/（Ti-%）=/（%）可判断B;将

/（x）=Jl+cosX+Jl-cosX化简为/（无）=2sin（5+/,结合正弦函数的性质可判断C,D.

【详解】因为f（.x+兀）=Jl+COS（X+7t）+Jl-cos（；t+7t）=J1-COS尤+J1+COS尤=f（x）,

所以无为函数/（X）的一个周期，故A正确；

因为/（7I_X）=J1+COS（7I-X）+0-008（71-%）=Jl-COSX+J1+COSX=/（X）,

所以函数/（X）的图象关于直线x对称，故B正确；

因为/（x）=Jl+cosx+A/1-cosx=,2cos21jsin2,

因为xeo,|,所以々w0,弓,故/（X）=A/5COS_|+0S呜=2sin（X）,

由于5+U勺，故〃无）=2sind+?）在卜用上为增函数，故C错误；

244224L2J

由C的分析可知/（x）=2sing+；）在0,|上为增函数，所以〃龙）e［夜,2］,

故D正确，

故选：ABD.

11.BCD

【分析】首先求函数的导数，根据条件判断。<4<1,先判断B；再结合等比数列的定义和

等差数列的定义判断AC；最后数列前”项积的定义判断D.

【详解】函数"x）=x（x+4）（x+o2）…（x+?）,

则广（X）=（X+4）（X+%）…（X+%）+x［（x+）（X+%）…（X+%）］，

因为了'（。）=1,所以％的…%=1,

由等比数列的性质可得%为=a2a6=a3a5=a：,

所以'%=04=1,所以。4=1，

由4>1，可得0<4<1,故B正确;

因为等比数列｛4｝首项％>1,公比为4,所以4包=4,

则lga“+「lg%=lg—=lgq<°,故｛1g%｝为单调递减的等差数列，故A错误;

an

设

n

b=S_&=q(j]'二卫/,贝|袅=毛—=4为常数，

'"1-q1-q1-qq-1134尸

q-i

因为0<q<l,所以含<0,q”单调递减，

所以为单调递增的等比数列，故C正确；

因为4%•••%=1,且4>%…°，所以。1%…4>1，0<%<1,

所以使得<>1成立的〃的最大值为6,故D正确.

故选：BCD

12.AC

【分析】令M》)=#(x),得至小(》)=吗，求得尸(x)=e2'-,(x),令网力=/一根(x),

%X

12x_2

利用导数得到〃(尤)>〃($=0,进而得到，可判定A正确，B不正确；求得g，(x)=J=,

进而可判定C正确；设必x)=〃x)-e2*-e且9&)=0,求得”(力="，可得

n'(x)=e24(2-4x)---4x2l,进而可判定D错误.

【详解】<m(x)=#(x),则加(x)=/(x)+矿(x),

2x

2

因为步■(x)+无2-(X)=e\可得“X)+矿⑴=J,

x

又由〃尤)=个，可得/'(x)=mr(x)-x—m(x)_xf(^)+x2/r(x)-m(x)_e2%-m(x)

X2

2x1

令=e2x-m(x),可得〃(%)=2e2x-mf(x)=2e2x-----=e2x(2一一)=e2.r2x-1

X

当X£(o,g)时，/ir(x)<0,M%)单调递减；

当X£(；,+oo)时，力(%)单调递增，

所以/z(%)>h(^)=e-m(^)=e—；f(^)=e—；•2e=0,

即用x)>0,所以〃无)单调递增，所以A正确，B不正确;

22x_2

由函数g(x)=#(x)—e2]nx，可得g〈x)=f(x)+xf'(x)——=——

令g'(尤)>0,即e2*-e2>0,解得x>l,

所以函数g(尤)的单调递增区间为(L+8),所以C正确；

设0(x)=/(x)-e2*-e,则=则°，(x)=/，(x)_2e2*

因为4(x)+x7'(x)=e2)所以/。)=二二曾，

X

g、i，/、q2x-V(x)c2%e2x-xf(x)-2x2e2%

所以“(%)=-----2e2x=--------y-------,

XX

令n(x)=e2x-xf(x)-2x2e2x,

则nr(x)=2e2x-f(x)~xf\x)-4xe2x-4x2e2x

P^X

=2e2x----4.re2x-4x2e2x

X

=e2x(2-4x)---4x2

注意到时，2—4x<0,进而"(x)<0,〃(x)单减,

矢口了〉；时“〃

I<0,即0(x)vO.”

时°(x)单减，而所以D错误.

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，极值，利

用导数解决有关不等式的问题，解题的关键是根据题意合理构造函数，然后利用导数解决,

考查数学转化思想和计算能力，属于难题

13.75

【分析】根据向量的模的平方等于向量的平方，代入可得答案.

【详解】根据题意，«=(-i,i),则时=&,

又由a与匕的夹角为45。，忖=1,贝1a+M2=/+2a)+『=2+2+l=5,

则卜+B卜氐

故答案为：A/5.

【点睛】本题考查向量的模、数量积的计算，属于基础题.

14.-

9

【分析】根据C=c：,可得〃=8,利用二项式展开式的通项公式求出有理项，再利用插空法

以及古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】由C：=C：,得〃=8,

*

的展开式中的通项为38一C"6

当丁=0,6时为有理项，其余7项为无理项，

A7A之7

所以有理项互不相邻的概率为P=卡=£.

7

故答案为：—

15.6

【分析】正数0,6满足，+)=1,可得a>L且b>l；即a-l>0,且6—1>0；由，+。=1

abab

1191

变形为a-1=士；化―■+=为——+9(a-1)应用基本不等式可求最小值.

b-\a-\b-\a-1

【详解】解：.正数。，6满足工+：=1,:.a>l,且6>1；

ab

工+工=1变形为—=1,:.ab=a+b,:.ab—a—b=0,(«-1)(^-1)=1,：.a—\=--—；

ababb-1

a—1>0,•-+——-=+9(〃—1)..2J-9((2—1)=6,

114

当且仅当一7=9(〃—1),即。=1土；时取“="(由于，>1,故取。=$,

a-13