2023-2024学年湖北省孝感市高考数学模拟密押卷 含解析

2023-2024学年湖北省孝感市高考数学模拟密押卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1）,则这个几何体的体积是（）

33

2.已知集合M={x|T<x<5},N={x|N<2},则以N=()

A.{x|-1<x<2}B.{x|-2<x<5}C.{x|-l<x<5}D.{x[0<x<2}

3.在长方体ABC。—中，AB=1,AD=^2,A&=百，则直线。。与平面ABC1所成角的余弦值为（）

A73RV3rV15nVw

2355

4.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是

体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连

排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，贝！1“六艺”课程讲座

不同的排课顺序共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

5.已知等边△ABC内接于圆「：x2+y2=l,且尸是圆了上一点，则PA-（PB+PC）的最大值是（）

A.V2B.1C.V3D.2

6.直线I过抛物线V=4x的焦点且与抛物线交于A,B两点，则4|AF|+|3尸|的最小值是

A.10B.9C.8D.7

3x-4y+10>0

7.设x,y满足约束条件（x+6y-4>0,则z=x+2y的最大值是（）

2x+y-8W0

A.4B.6C.8D.10

8.设m，”是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若机_1_〃，nila,则加_LczB.若〃〃/夕，0工a,则加_La

C.若加_L，，"_L，，n±a,则D.若〃z_L〃，n工）3,/3La,则7”_L（z

9.第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖

牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人

都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（）

1119

A.—B.—C.—D.—

1054040

10.若函数/（尤）=|山％|满足/（a）=/（b）,S.o<a<b,则4，厂+2—4的最小值是（）

4〃+2/?

3厂

A.0B.1C.-D.2^2

11.已知数列｛4｝是公比为2的正项等比数列，若金、%满足24<金<1024可，则57_1）2+”的最小值为（）

A.3B.5C.6D.10

4（1A2,9

12.己知a=痣，b=log,—,c=l-I，贝!J（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x>0

13.满足线性的约束条件XVy的目标函数Z=2x-y的最大值为

x+y<2

14.如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且a-c=JJ,那么椭圆

的方程是.

15.设/（X）=湃（A0）,过点尸Q,0）且平行于y轴的直线与曲线C：y=f（x）的交点为Q,曲线C过点。的切

线交x轴于点尺，若S（1,f（1））,则APRS的面积的最小值是.

16.设函数/（x）=-3/+6x在区间口,包上的值域是[-9,3],则b—a的取值范围是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在A市与B市之间建一条直达公路，中

间设有至少8个的偶数个十字路口，记为2m，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概

率均为！.

(1)现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示：

A市居民3市居民

喜欢杨树300200

喜欢木棉树250250

是否有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性;

(2)若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有X个路口种植杨树，求X的分布列以及数学期望；

(3)在所有的路口种植完成后，选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为M,求证：3M..m(m-l\m-2).

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K\.k)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

18.(12分)已知点P在抛物线C：k=2勿(0〉0)上，且点尸的横坐标为2,以P为圆心，|PO|为半径的圆(。为

原点)，与抛物线C的准线交于M,N两点，且=

(1)求抛物线C的方程；

(2)若抛物线的准线与y轴的交点为H.过抛物线焦点F的直线/与抛物线C交于4,3,且AB,求|AE|-忸丹

的值.

19.(12分)已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，等比数列也｝的前"项和为T“，且q=2=1,%=闻，&+仇=15.

(1)求数列｛%｝与也｝的通项公式；

(2)求数列｛士子］的前"项和.

20.(12分)如图，在三棱柱5CE中，平面A5CDL平面至跖，侧面A3CD为平行四边形，侧面至防为

正方形，AC±AB,AC=2AB=4,〃为ED的中点.

(1)求证：用//平面ACM；

(2)求二面角"一AC—尸的大小.

21.(12分)已知椭圆C：5+.=1(。〉6〉0)的离心率为右焦点为抛物线/=4%的焦点

(1)求椭圆C的标准方程；

4

(2)。为坐标原点，过。作两条射线，分别交椭圆于V、N两点，若。河、OV斜率之积为-二，求证：△MON

的面积为定值.

22.(10分)设数列■-，的前一项和为-,且----_一_数列■-、满足---,点---在

luOJk_二_；一--二十；-一二IMDJULTUIUD«IJDWJ

二一二一;二。上‘二三二.

(1)求数列，的通项公式；

(2)设一，求数列:-的前-项和-.

一=Oz—，匚

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

1132

几何体为一个三棱锥，高为4,底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4,所以体积是；义4、7><42=<，选A.

323

2、A

【解析】

考虑既属于M又属于N的集合，即得.

【详解】

N={x\-2<x<2^,:.Mr>N={x\-l<x<2}.

故选：A

【点睛】

本题考查集合的交运算，属于基础题.

3、C

【解析】

在长方体中43//G2，得。A与平面ABG交于2,过。做DO,叫于。，可证OOJ_平面ABC］。］,可得

ND2A为所求解的角，解MAADDj,即可求出结论.

【详解】

在长方体中AB//G。，平面ABC1即为平面ABC,DX,

过。做。。，绚于。，QAB_L平面A4,。。，

。0匚平面明。1。,二48_1。0,43AR=D,

：.DO，平面ABCXDX,/DRA为DDl与平面ABC,所成角,

在WAAZ*,£>〃="=亚AD="做=迅,

DDXV3V15

/.cosZDDjA二

~AD^~45~~T

•••直线DDX与平面ABC,所成角的余弦值为半.

故选:C.

【点睛】

本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题.

4、C

【解析】

根据“数”排在第三节，贝！1“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有延=2种，剩余的3门全排列,

即可求解.

【详解】

由题意，“数”排在第三节，贝产射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6

节，有3种，再考虑两者的顺序，有用=2种，

剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有看=6种，

所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有3x2x6=36种不同的排法.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，

着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

5、D

【解析】

如图所示建立直角坐标系，设P(cos6,sin。)，贝!|P4.(P8+PC)=l-cos。，计算得到答案.

【详解】

1—走

如图所示建立直角坐标系，则A(LO),B,设P(cos6,sin。)，

5'一号

则尸A•(尸与+PC)=(1—cos—sin。)•(T-2cos—2sin6)

=(l-cos6))(-l-2cos^)+2sin20=2cos20-cos^-l+2sin20=1-cos0<2.

当。=—»,即P(—1,0)时等号成立.

故选：D.

本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.

6、B

【解析】

根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得而+西=5=1；再由基本不等式可求得4仙同+忸同的最小值.

【详解】

由抛物线标准方程可知p=2

因为直线1过抛物线y2=4%的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知

112

---1---=—

网网

所以4|”|+忸4

=（4叫+所）.小嵩1

(\BF

=4+1+—+

[\AF

因为卜忸5为线段长度，都大于0,由基本不等式可知

+把)4AF

4+1+>5+2X---------

\BF\)所

>5+2x2

>9,此时忸同=2|AF|

所以选B

【点睛】

本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题.

7、D

【解析】

作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z的最大值.

【详解】

作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线/°：x+2y=0在可行域内平移当过点A时，z=x+2y取得最大值.

3x-4y+10>0,、

得：A2,4,z=10

由<[2x+y-8<0V7mmaaxx

故选：D

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基础题.

8、C

【解析】

根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果.

【详解】

对于A,当机为a内与九垂直的直线时，不满足加，4错误;

对于3,设。B=l,则当加为a内与/平行的直线时，mH/3,但根ua,p错误;

对于C,由zn_L/?,〃_L/?知：mlln,又“J_a，，机_Ltz,C正确;

对于。，设aB=l,则当为夕内与/平行的直线时，mlla,。错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础

题.

9、A

【解析】

根据题意，五人分成四组，先求出两人组成一组的所有可能的分组种数，再将甲乙组成一组的情况，即可求出概率.

【详解】

五人分成四组，先选出两人组成一组，剩下的人各自成一组，

所有可能的分组共有或=10种，

甲和乙分在同一组，则其余三人各自成一组，只有一种分法，与场地无关，

故甲和乙恰好在同一组的概率是

故选：A.

【点睛】

本题考查组合的应用和概率的计算，属于基础题.

10、A

【解析】

由/(a)=/0)推导出6=工，且将所求代数式变形为4'—4=在把—_L,利用基本不等式

求得2a+b的取值范围，再利用函数的单调性可得出其最小值.

【详解】

函数/(x)=|lnx|满足/(a)=/()),/.(Intz)2=(lnZ?)2,即(lnQ—lnZ?)(lnQ+lnb)二。，

0<a<bf:.]na<]nbf/.Ina+lnZ?=。，即=0naZ?=l,

/.l=ab>a29则0va<1,

由基本不等式得2a+b=2a+L22j2a-L=2jI,当且仅当。=工时，等号成立.

a\a2

4a2+b2-4(2^+/?)2-4ab-4{2a+b^-82a+b4

4a+2b2(2a+Z?)2(2a+b)22a+b

由于函数丁=之-4在区间［2忘,收）上为增函数，

乙X

l4a2+Z?2-42J24

所以，当2a+b=20时，取得最小值上—_a=o.

4。+2。22A/2

故选：A.

【点睛】

本题考查代数式最值的计算，涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.

11、B

【解析】

利用等比数列的通项公式和指数易的运算法则、指数函数的单调性求得1（加-“<10再根据此范围求（"-1）2+”的

最小值.

【详解】

数列｛4｝是公比为2的正项等比数列，am、an满足2an<am<10244,

m1

由等比数列的通项公式得2q•2”T<%•2-<1024q•，即2〃<<2*,

2<2m~"<210>可得1<加一”<10，且加、〃都是正整数,

求-11+〃的最小值即求在1<加-“<10,且相、”都是正整数范围下求最小值和〃的最小值，讨论”

取值.

二当〃2=3且〃=1时，（7〃-1）2+”的最小值为（3-1）'+1=5.

故选:B.

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式和指数基的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思

想，是中等题.

12、B

【解析】

/I（1、2.9z］\0

先将三个数通过指数，对数运算变形。=痣=63〉6°=1，^=logs^-<log51=0,0<c=^-j<^J=1再判

断.

【详解】

因为"左=6!>6。=1，人］吗（〈氏二1=°，°<。=。=L

所以a>c>b,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查指数、对数的大小比较，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

【解析】

作出不等式组表示的平面区域，将直线进行平移，利用z=2x-y的几何意义，可求出目标函数的最大值。

【详解】

由z=2x—y,得y=2x—z,作出可行域，如图所示：

平移直线y=2x-z,由图像知，当直线经过点C时，截距最小，此时z取得最大值。

x-y=0fx=l

由cc，解得I，代入直线z=2x—y,得Z=2xl—1=1。

x+y-2=0=l

【点睛】

本题主要考查简单的线性规划问题的解法——平移法。

14、空+贮

：B瞰

【解析】

由题意可设椭圆方程为：工-=1,<2>I->；|

a3b2

:短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在:轴上

:.—=tan60=A/3

c

又Q*-

•••a：=q,

22

.•.椭圆的方程为三+匕=1,

129

22

故答案为L+^=l.

129

考点：椭圆的标准方程，解三角形以及解方程组的相关知识.

15、匕

2

【解析】

111/e'(t-\\

计算RC—-，0),PR=t-«—)=-,APRS的面积为S=导数S，=<01,由S，=0得f=l,根据函数

ttt2t2产

的单调性得到最值.

【详解】

“0〃y轴，P(/,0),：.Q(t,f⑺)即QCt,J),

又/(x)—e,x(/>())的导数/(x).,.过0的切线斜率左=fj，

.2T

,〃'一021

设A(r,0),则上=------=td，:・r=t一一,

t-rt

即A(t—90),PR=t-(t—)——,

ttt

又S(L/(l))即S(Ld),.♦.△PRS的面积为S=J,

2t

导数由s，=0得f=L

2tl

当f>l时，S，>0,当0Vf<l时，S，V0,；.f=l为极小值点，也为最小值点，

AAPRS的面积的最小值为二.

2

故答案为：一.

2

本题考查了利用导数求面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.

16、[2,4].

【解析】

/(x)=-3/+6x配方求出顶点，作出图像，求出/(%)=-9对应的自变量，结合函数图像，即可求解.

【详解】

/(%)=—3/+6x=—3(x—Ip+3,顶点为(1,3)

因为函数的值域是[-9,3],

令-3%2+6%=-9，可得x=-l或x=3.

又因为函数/(x)=-3x2+6x图象的对称轴为x=l,

且/(1)=3,所以6—a的取值范围为⑵4].

故答案为:[2,4].

本题考查函数值域，考查数形结合思想，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)没有(2)分布列见解析，E(X)=2(3)证明见解析

【解析】

(1)根据公式计算卡方值，再对应卡值表判断..

(2)根据题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,分别求得概率，写出分布列，根据期望公式求值.

(3)因为至少8个的偶数个十字路口，所以2根.8,即帆.4.要证3M../n(m-l)(m—2),即证.双根-产-2),

根据组合数公式，即证.2ct；易知有C+i>成立.设2m个路口中有p(peN,p„2m)个路口种植杨树，下面

分类讨论①当pe{0,1,2}时，由M=Clm_p..C1n.论证.②当pe{2小—22%—1,2刈时，由M.C或一?论证•③

当3蒯72机—3时，"=C；+Ct「，设/■(0二0+穹叱乃融2相—3,再论证当。="时，/(P)=C+tl-p

取得最小值即可.

【详解】

⑴本次实验中，迎咨心23^10]<10.828,

500x500x550x450

故没有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性.

(2)依题意，X的可能取值为0,1,2,3,4,

故p(X=0)=&J=P(X=4),P(X=1)=C^1«=P(X=3),

p(x=2)=qg

)168

X01234

1j_3j_1

p

1648416

故E(X)=4xg=2.

(3)V2m..8,...m,.4.要证3M..m0—1)0—2),即证M..2C,：；

首先证明：对任意m,kwN*,m..k,有

证明：因为c\c：=c3>o,所以c3>&.

设2m个路口中有p(pGN,p,,2m)个路口种植杨树,

①当pe{0,1,2}时,

3r3_(2m-2)(2〃-3)(2m-4)_(m-l)(m-2)(2相-3)

oo

因为九.4,所以2m—3>相，

于是M>4x砥-T)(*2)=4C3>2C〉

6

②当pe{2m—2,2m—1,2词时，M=C；G.2,同上可得M〉2C,：

3

③当3地2m—3时，M=Cp+Cln_p,设/XphC+CliJ张中2m-3,

当整上2根—4时，fgD-flpf+i+CLYYLCH

显然夕w2机一夕一1,当夕>2机一夕一1即温助2机一4时，/(夕+1)>/(夕)，

当「<2m一夕一1即整上机一1时，/(j»+l)<f(p),

即f(m)<f(m+l)<<f(2m-3)；f(3)>f(4)>...>f(m),

因此/(P).J»=2C3即M..2C；.

综上，M..2CI，BP3M..m(m-l)(m-2).

【点睛】

本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列以及期望、排列组合，还考查运算求解能力以及必然与或然思想，属

于难题.

18、(1)x2=4y(2)4

【解析】

(D将点P横坐标代入抛物线中求得点尸的坐标，利用点尸到准线的距离d和勾股定理列方程求出P的值即可；(2)

设A、3点坐标以及直线的方程，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，以及垂直关系，得出关系式，计算

|A耳-忸目的值即可.

【详解】

,2

(1)将点尸横坐标与=2代入d=2py中，求得》=一,

■P

.,.P(2,二)，|0P|=-^+4,

PP~

72p

点P到准线的距离为4=一+£,

P2

解得p2=4,：.p=2,

.••抛物线C的方程为：三=4＞；

(2)抛物线必=4丁的焦点为歹(0,1),准线方程为y=—l,H(0,-l)；

设A(X]，%)，

直线AB的方程为y^kx+1,代入抛物线方程可得好一4依—4=0,

/.玉+%2=4左，王九2=一4，…①

由可得心/如8=—1，

j7y—11%+1

又^AB=^AF=，^HB=，

X]x2

...%T.%+l=j,

Xjx2'

•••(xTG+D+XW=0，

•*.+—(X；-%2)-1+/々=0,…②

把①代入②得，X；—后=16,

贝!||4/|—|3用=%+1—%—1=；(工：—石)=；*16=4.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线与圆的方程应用问题，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

x

19、(1)。“=2〃-1；bn=T~(2)("_1)义2用_"；+1)+2

【解析】

3x2

⑴设数列｛«„｝的公差为4由%=§3可得,6+4d=36+；—d,由4=4=1即可解得d=2,故4=2"-1,由

%+a=15，即可解得q=2，进而求得bn=2'T.

(2)由(1)得，S"Z="Q"-1)=".2"一利用分组求和及错位相减法即可求得结果.

nn

【详解】

(1)设数列｛4｝的公差为d,数列也｝的公比为q,

3x2

由应二名可得，q+4d=3勾+2d,

整理得2%=d,即d=2,

故=2〃一1,

由%+d=15可得"=8,贝!|刎=8,即q=2,

故“=2"T.

2

(2)由(1)得，Sn=n,Tn=T-\,

故=n-2n—n9

所以，数列子

的前〃项和为(1x21+2x2?++"x2")-(1+2++"),

设月,=1X21+2X22++(n-l)x2,!-1+n，x2,!@,

则2匕=1x2?+2x2?++(〃-1)X2"+〃X2"+I②，

=«x2n+1-(2+22+23+..+2")=(n-l)x2n+1+2,

综上，数列的前«项和为(八一1)x2用—+2.

【点睛】

本题考查求等差等比的通项公式，考试分组求和及错位相减法求数列的和，考查学生的计算能力，难度一般.

20、(1)证明见解析(2)45°

【解析】

(1)连接BD,交AC与。，连接由MO//EB,得出结论；

(2)以A为原点，AC,AB,AE分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，求出平面ACM的法向量，利用夹角

公式求出即可.

【详解】

(1)连接BD,交AC与。，连接MO,

在ADEB中，MO//FB,

又歹5a平面ACM,MOU平面ACM,

所以EB//平面ACM；

(2)由平面A3CD_L平面ABEF,AC±AB,AB为平面ABC。与平面ABEF的交线，故AC_L平面至跖，故

AFLAC,又所以APJ_平面ABC。，

以A为原点，AC,AB,AE分别为x,V,z轴建立空间直角坐标系，

4(0,0,0),C(4,0,0),5(0,2,0),D(4,-2,0),F(0,0,2),M(2,-l,l),

设平面ACM的法向量为m=(x,y,z),AC=(4,0,0),AM=(2,-1,1),

[m-AC=4%=0

由V,得加=(o,l,l),

m-AM=2x-y+z=Q

平面ACF的法向量为AB=(0,1,0),

1_y/2

41~2

故二面角"—AC—尸的大小为45。.

【点睛】

本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

22

21、(1)土+匕=1；(2)见解析

54

【解析】

(1)由条件可得c=l,再根据离心率可求得。力，则可得椭圆方程;

(2)当与x轴垂直时，设直线的方程为：x=tQ由碎,与椭圆联立求得M,N的坐标，通

过31、ON斜率之积为-g列方程可得f的值，进而可得△MQV的面积；当与％轴不垂直时，设"(七,X),

N(%2，%)，MN的方程为>=履+机，与椭圆方程联立，利用韦达定理和。暇、QV斜率之积为-g可得

2"/=5产+4,再利用弦长公式求出MN,以及。到MN的距离，通过三角形的面积公式求解.

【详解】

(1)抛物线V=4x的焦点为尸(1,0),

7.C=1,

A/5c小

*:e=——，/.一=——，

5a5

.\a=59b=2,

22

椭圆方程为土+工=1;