2023-2024学年宁夏石嘴山市高三年级上册册期中考试数学（理）试题（附答案）

o

2023_2024学年宁夏石嘴山市高三上册期中考试数学（理）试题

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.设全集0={123,4,5,6,7,8,9},集合/={1,2,3,5},8={2,4,6},则图中的阴影部分表示的

集合为（）

O

而

抑

A.2}B.卜⑹C.也3,5}D.也6,7,8}

2.命题“女23,--2x+3<0”的否定是()

A.VxN3,X2-2X+3<0B.93,f—2,x+320

喙C.Vx<3,x2-2x+3>0D.王<3,%2-2x+320

p[cos[,l]

O3.已知点I3J是角1终边上一点，则sina=()

V5近12V5

A.5B.2C.2D.5

教4.下列关于求导叙述正确的是（）

A.若/(x)=sinx,则/''(x)=-cosxB,若"x)=lnx+x,则/(X)一三

C.若则/'(x)=4xD.若/（♦"J,则八°）=1

5.“〃=1”是“幕函数/(x)=&-3〃+3)x"3”在（0,+8）上是减函数,，的一个（）条件

O

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

cos70°cos20°

6.l-2sin225°等于()

百V31

A.4B.2C.2D.2

7.函数/口）=出工+2》-1的零点所在的区域为（）

O

A.1RB.（一亭D.。，2）

f（x）=i「

8.若函数+l的定义域为R,则实数加的取值范围是（）.

A.[0,4）B.（°，4）:[4,+oo）D.[°，町

「/、xsinx

/（x）—

9.函数''2的图像大致为（）

一小,

_A_/»

一342吊公wX\3『X

A」,1

3八二L八3、

・3兀/\・1/"、/\3兀上

2P/-2K\/0\/27t\x

C.'1D.

21个单位长度后得到函数g（x）的

/（x）=cos|—X--|

10.已知函数123J的图象向右平移

图象，且g（x）+g（f）=。，则42。+』-（）

日-1展-6

A.4B.4C.2D.2

x3-ax2+ax+l（a<l）.

11.已知函数,3在西v，马3,4%）处的导数相等，则不等式

/a+x2）z加恒成立时机的取值范围为（）

D.Bi

A.STB.（-叫C.（-

7171

f（x）=sin（①x+（p）（（D>0,|^>|<—）,x=-—X—

12.已知函数24为"X）的零点，4为V=〃x）图象的

（工,驾

对称轴，且“X）在1836单调，则。的最大值为

A.11B.9

C.7D.5

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

(x-l)2,x<0,

/(%)=<J_

13.若函数E+，则

14.曲线k,smx2-2cosx在点12J处的切线方程为.

CosL+i^L

15.已知I12>3,贝!]I12J.

y(x)=,2'xW0

16.已知函数眄|户>0,则函数g(x)=/lx)-3/(x)+2零点的个数是

三、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答)

(一)必考题(共60分)

已知函数()((⑷〉。H<-

17./x=4sin0x+p)/>0,2)的部分图象如图所示.

(1)求函数/(X)的解析式；

71

(2)将V=图象上所有点向右平移不个单位长度，得到了=gG)的图象，求V=gG)的图象

离原点。最近的对称中心.

.已知函数小)=sinx+cosx+—

18I6

(1)求函数/(X)单调递增区间；

g(x)=/(2x-—)(\。潦

⑵若函数3,求在12」的值域.

sin4-sin5+sinCsinB

19.已知A45C的内角/、B、C满足sinCsiib4+sin5-sinC.

(1)求角/；

(2)若A42C的外接圆半径为1,求A43C的面积S的最大值.

20.已知函数〃x)=x_alnx(aeR).

⑴当。=2时，求曲线丁=/(X)在点HlJ⑴)处的切线方程；

⑵求函数"X)的极值.

21.已知函数/(x)=lnx-x+l,xe(0,+oo),g(x)=ex-ax_

⑴求/(x)的最大值；

(2)若对4e(0,+s),总存在/曰1,2]使得/(xjvgg)成立,求"的取值范围.

(二)选考题(共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一

题计分)

【选修4-4：坐标系与参数方程】

x=2+乌

V2

1

y——t

22.在直角坐标系xP中，直线/的参数方程为2(,为参数)，以坐标原点。为极点，

X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为夕"cos?^+9sin26=9

(1)求直线/的普通方程和曲线°的直角坐标方程；

(2)若直线/与曲线C交于M,N两点，设尸(2,0),求四|+即|的值.

【选修4-5：不等式选讲】

23,已知/(x)=|2x-a|+|x-l].

⑴当。=3时，求不等式AM"的解集；

⑵若〃x)N5r,对VxeR恒成立，求实数。的取值范围.

1.B

【分析】根据交集和补集的含义即可得到答案.

【详解】由题意得"C8={2},

则在集合B中去掉元素2即为阴影部分表示的集合.PH}

故选：B.

2.B

【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解.

【详解】解：因为命题“王»3,丁-2x+3<0”为存在量词命题，

所以其否定为“VXN3,X2-2X+3>0--

故选：B.

3.D

【分析】先求出点尸到原点的距离，再根据正弦函数的定义求解.

（_______12石

【详解】依题意点尸的坐标为（2'J,"⑵2,2；

故选：D.

4.B

利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则可判断各选项的正误.

【详解】对于A选项，/（x）=sin\则/'G）=cosx,A选项错误;

对于B选项，/（x）=Mx+x,则丁，B选项正确；

对于C选项，"x）=4x：则/'（x）=8x,c选项错误；

对于D选项，/（x）=d,则/'（x）="T,.,./‘（0）=0,口选项错误.

故选：B.

本题考查导数的计算，熟练利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则是解答的关键,

考查计算能力，属于基础题.

5.A

p2-3w+3=l

【分析】由幕函数+在（0,+司上是减函数，可得储一3〃<0,由充

分、必要条件的定义分析即得解

【详解】由题意，当“=1时，/6）=”-2在（°，+"）上是减函数，故充分性成立；

若暴函数/卜）=（"2一切+3）-X"6在（0,+8）上是减函数，

,2一3〃+3=1

则1"2-3"<0,解得“=1或〃=2

故必要性不成立

因此“n=1”是“幕函数/（X）=I-3〃+3）x"3"在（0,+”）上是减函数,，的一个充分不必要条件

故选：A

6.C

【分析】根据三角函数的诱导公式以及二倍角公式，可得答案.

—qin40。

cos70°cos20°_sin20°cos20°_?_1

【详解】1-2sin225°cos50°sin4002.

故选：C.

7.C

根据函数的解析式求得2，根据函数的零点的判定定理求得函数/（'）=/内+2》-1的零

点所在区间.

【详解】解「.函数〃x）=/"x+2xT,定义域为色+8）,且为连续函数，

故函数/。）=加+21的零点所在区间为行“，

故选：c.

本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题.

8.A

【分析】由题意可知“X2+WX+1>°的解集为R,分机=°,两种情况讨论，即可求解.

八x）=］「2

【详解】函数1加厂+机X+1的定义域为R,可知相x2+M+l>0的解集为R,

若切=°,则不等式恒成立，满足题意;

Jm>0

若加wO,则［八二机2_4加<0,解得.〈加<4

综上可知，实数机的取值范围是0V加<4.

故选：A.

9.D

【分析】根据函/(X)为偶函数，可排除C项，结合y=sinx的取值可正可负值，可排除B项;

/f-Ko

由12),可排除A项，即可得到答案.

【详解】由函数2的定义域为R关于原点对称,

(-x)sin(-x)=xsinx⑴

且满足22-k<可得/(X)为偶函数，排除C项,

xJ/f-Ko

当2时，可得.排除AB项.

故选：D.

10.B

【分析】根据左右平移可得函数g(x)的解析式，再根据其对称性可得夕，进而可得解.

/(x)=cos-X--I(p\0<^z?<—j

【详解】函数123J的图象向右平移I2J个单位长度得

1z、兀］(11兀、

g(x)=cos

由g(x)+g(-x)=。，得gG)关于坐标原点(。，。)对称,

1八1兀兀7

—x0——(D=一+左兀

即22,32k£Z

(p=---2kn

解得3k£Z

71兀

0<a)<—0=不

又2,所以3

(.5%.(717l\.兀兀兀.兀

=女——=sm——=sm——I——=sin—cos——Fcos—sin一

所以V6J12(66464

1V2A/3V2V2+V6

二一X----1------X=-----------

22224

故选：B.

11.C

【分析】由题得‘(x)="-2ax+a,由函数/(x)在X］，三已产三)处的导数相等，得再+工2=2°,

由/(w+xJN加恒成立，得"d/(2a)(a'l)恒成立，然后构造函数，利用导数求函数的最小值即

可

【详解】由题得/6)=--2"+。由函数/(X)在为，工式外*%)处的导数相等，得玉+%=2。

Q/(X]+三"m恒成立，m</(2a)(a<D恒成立.

1324

/\(2\=—(2Q)-Q(2Q)+ci,2a+1=—+2tz24-1(Q<1)

g33

贝"g'(Q)=-4a2+4Q=_4Q(Q_])

当ae(-co,0)时，g'(a)<0；当ae(O,l)时，g'(a)>0

'g(a)在(-co,0)上单调递减，在(。,1)上单调递增,

二g(°L=g(°)=1,VgQL=1.

故选：C.

此题考查不等式恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，属于中档题

12.B

71_71

【分析】根据已知可得3为正奇数，且3412,结合1—1为/G)的零点，工—1为

715兀

v=/(x)图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合/G)在1836上单调，可得①的

最大值.

71_71

【详解】•・工一一^为了(、)的零点，为y=f(x)图象的对称轴，

2〃+11_九2几+12TI_71

42,即4co2,(„GN)

即s=2〃+l,(z?eN)

即3为正奇数，

715兀5717171T

------------—

•・/(X)在1836上单调，则361812-2,

?冗71

------2——

即7。一6,解得：（O<12,

----------F

当3=11时，4中=也，在Z,

71

<—

•・・|（p|2,

71

•••（P4,

715万

此时了（%）在1836不单调，不满足题意；

9%

---------F

当3=9时，4（p=hr,左EZ,

71

<—

■',|（p|2,

_71

••.cp4,

7t5%

此时/（x）在1836单调，满足题意；

故（B的最大值为9,

故选民

本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查，题目新颖，是一道考查能力的好题.注意

本题求解中用到的两个结论：①""）=/'吊（5+夕）（/*°，°二°）的单调区间长度是最小正周

期的一半;②若"x）=/sin（ox+（p\A'°，。*°）的图像关于直线X=X。对称，则/（X。）=/或

17

13.4

【分析】根据解析式求函数值即可.

【详解"（TAD』，所以/（"T）"（4）=4+；=；

17

故答案为.了

[4y=^x—7i+\

y\y,\.

【分析】求导，求出用直线方程的点斜式求出切线方程，即可求解.

_71

【详解】求导P=cosx+2sinx,将代入得斜率为2,

71

y-\=2\x

直线为I

故y=2x-"+l

本题考查导数的几何意义，属于基础题.

1

15.3

(17)[(万)3].(1

cosa-\----7=cosa----|+一7=sina-------=—

【详解】I12J[I⑵2」(12；3

点睛：三角函数求值的三种类型

(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.

(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.

16.6

【分析】由题知/々"I或/(x)=2,进而作出函数/(x)的图象，数形结合求解即可.

【详解】解：令gO。,即,(X)-3/(X)+2=0,解得/(x)=l或/(x)=2,

作出函数/(X)的图象如图，

由图可知，方程/(x)=l有3个实数解，/6)=2有3个实数解，且均互不相同,

所以，g(x)=°的实数解有6个，

所以，函数g(X)=/2GA3/0)+2零点的个数是6个.

故6

*.⑴小sinf2%+-^-

4

⑵

【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出。，由五点法作图求出。的值，可

得函数的解析式.

（2）根据函数〉=/sin（ox+°）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的

对称性，求得且仁）的图象离原点。最近的对称中心.

27171T12兀

【详解】（1）解：由图形可得/=1,3622。，解得。=2,

1兀兀C,

sin12x2+9=1—+0=—+2左兀

，即32(keZ),

712

(p=—+2kn

6(keZ).

71

又阳2,

"(x)=sin12x+:

⑵解:由⑴知小片sin12'+・

71g(x)=sinsin12x一£

将v=/（x）图象上所有点向右平移6个单位长度，得到

klL7L

2x--=knx=------1------

令6壮Z,解得212,keZ,

kit7C_

了十运°

所以g（x）的对称中心为(斤eZ),

故当人=°时，得到名仁）的图象离原点。最近的对称中心为

5兀c7兀C7

---------F2左兀,—+2左兀

18.(1)L66k£Z.

⑵L与

【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数/（X）的解析式，结合正弦函数性质求函数

712兀

⑵由小)的解析式求出"Ai吟-§)XG2X--G

由可得3,利用正弦

函数的基本性质即可求得值域.

【详解】(1)因为

.y/31.1.A/3./兀、

"x)=sinx+cos=smx+——cosx——sinx=—sinx+——cosx=sm(x+—)

22223

TTTTTTiTT7T

--+2kTi<x+-<-+2kTi+2hc<x<-+2fai

由232kwZ,得66壮Z,

,/、--卜2kn,—F2AJT

所以函数J(x)单调递增区间L66」，keZ.

g(x)=f(2x-y)=sin(2x-1)

(2)由(1)可知,

jrc7L712兀

XG0,-2x--e

因为」，所以

L23L33j如图:

sin(2x-—)G-^-,1

所以3L2」

所以g(x)在［'2」的值域为［2__

71

19.(I)3

(2)4

sirU-sinB+sinC_sinB

【分析】(1)将sinCsitvi+sin5-sinC,转化为〃+c2-1=6c,再由余弦定理

求解；

（2）根据A48C的外接圆半径为1,得到°=2Rsin/=G,再利用余弦定理结合基本不等式

,cS.=—bcsmA

求得左43,再由Rr2求解.

sirk4-sin^+sinC_siaS

【详解】（1）解：因为sinCsiM+sinS-sinC,

a-b-\-c_b

所以ca+b-c,

gpb2+c2-a2=bc,

.b2+c2-a21

cosA=-------------=—

所以2bc2,

因为心（°，,），

A=—

所以3；

（2）因为A48C的外接圆半径为1,

所以a=27?sinZ=6

由余弦定理得/=/+c?-26ccos/,

22

—b+c-bc>bc;

所以历43,当且仅当6=c时，等号成立,

36

S=-Z>csin^<-x3x—=

所以‘222

3-

故A48C的面积S的最大值是4

20.⑴工+夕-2=0

（2）答案见解析

【分析】（1）当。=2时，求出/⑴=1，/«）=T,然后利用点斜式即可求出切线方程；

（2）分类讨论，当时、当。>°时，/'（X）的正负情况，再判断单调性，从而确定极值.

【详解】（1）函数/⑴的定义域为（&+"）,"X.

,2

当a=2时，/（x）=x-alnx,/（X）/x（x>0）；

因而/⑴=U”）=T,

所以曲线V=〃x）在点/"J⑴）处的切线方程为'-「TXT）,即x+>_2=0

(2)由尤x,

①当时，/'(》)>0,函数/(X)为(°，+00)上的增函数，函数“X)无极值；

②当。>°时，令/"(x)=0,解得x=a,

所以xe(O,a)时，/'(x)<0,“功在(0,a)上的单调递减,

r

xe(a,+s)时，f(x)>0；/(x)在(%+8)上的单调递增.

所以函数"X)在x=a处取得极小值，且极小值为“°)=°-"ha,无极大值.

综上所述，当时，函数/(©无极值；

当。>°时，函数/(X)在处取得极小值，且极小值为无极大值.

21.(1)0

⑵2

【分析】(1)求出函数的定义域以及导函数，根据导函数得出函数的单调性，进而即可得出答

案；

(2)设g(x)=靖-ax在［1，2］上的最大值为g(x)1mx,可将已知转化为g(x)max*°.求出g'(x),

根据。的范围，讨论函数的单调性，得出关系式，求解即可得出答案.

【详解】⑴由已知可得，〃x)=lnx-x+l定义域为(0,+为，‘一》x.

当0<x<l时，有小)>0,所以>(X)在(°』)上单调递增;

当x>i时，有/所以/a)在a+s)上单调递减.

所以，/(X)在》=1处取得唯一极大值，也是最大值〃1)=31-1+1=0.

(2)设8⑴=靖-ax在［1,2］上的最大值为gGL,

根据已知可得出，而g'(x)=e'-,

当。时，有g'(x)=e、-a20在［1,2］上恒成立，

此时有g(xL=8(2)=/-2/0恒成立，满足题意；

当°>0时，解8'。)=d-°=。可得，x=lna.

所以当x<Ina时，g'(x)〈o；当x>Ina时，g'(x)>0.

则g（x）在（Y°，lna）上单调递减，在（Ina,+C0）上单调递增,

若InaWl,gpO<a<e,此时,8（无）在口，2］上单调递增，

所以，g（x）m「g（2）=e2-2a"-2e>0,满足题意;

若l<lnq<2,即e<q<e\

此时g（X）在U［n