安徽省合肥二中2024年高考数学二模试卷含解析

安徽省合肥二中2024年高考数学二模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在等差数列｛4｝中，若S”为前〃项和，2%=勺+12,则心的值是()

A.156B.124C.136D.180

2.在正方体ABC。—AB1GA中，E,尸分别为CG，的中点，则异面直线AF，所成角的余弦值为()

A1R属C2瓜1

A.»15.---------L•----------U•

4455

3.已知函数/(%)=「,若/(〃)>/(»,则下列不等关系正确的是()

Inx,x>1

11

—；——<-；—B.y/a>y/b

a+1b+1

C.a2<abD.In+1^>In+1^

n—i

4.若复数z=——在复平面内对应的点在第二象限，则实数。的取值范围是()

1+z

A.(-1,1)B.(-co,-l)C.(1,+<»)D.(0,+oo)

5.函数/(x)=sin(x+e)在［0,句上为增函数，则。的值可以是()

71

A.0B.—C.兀D.

2~2

6.已知i为虚数单位，若复数2=三+1,则三=

2—1

9

A.-+iB.1-i

C.1+i

i

7.已知集合4={-2,T,0,l,2},B={x\x-x+2>Q},则AB=()

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2}

8.(J2%)的展开式中炉的系数为()

X

A.-84B.84C.-280D.280

9.设向量a,b满足同=2,W=l,卜⑹=60,则卜+田的取值范围是

A.[0,+oo）B.[百,+oo）

C.[0,6]D.[73,6]

10.阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时

中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不

同的阅读计划共有（）

A.120种B.240种C.480种D.600种

'x+y>2,

11.若实数满足不等式组则3x+y的最小值等于（）

x-y>0,

A.4B.5C.6D.7

12.数列｛4｝满足：a3=-,afl-an+l=2anan+l,则数列｛4a.｝前10项的和为

1020918

A.—B.—C.—D.—

21211919

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知多项式（x+l）3（x+2）2=x5+aix4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a《=,as=.

2x-y+2>0

14.实数尤。满足<x-y+lW0,则z=2x+y的最大值为.

x+y—2W0

15.设复数z满足4z+l)=—3+2。则』=.

16.在A6c中，8C为定长，河+2Aq=3叩，若ABC的面积的最大值为2,则边的长为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知正项数列｛4｝的前〃项和=。〃+2-2/eN*.

（1）若数列｛4｝为等比数列，求数列｛4｝的公比4的值;

（2）设正项数列出｝的前〃项和为7“，若伪=1,且—1.

①求数列也｝的通项公式;

%+出+a3

②求证:

2

18.(12分)设函数/(x)=k+3|,g(x)=|2x-l|.

(1)解不等式/(x)<g(x);

(2)若2/(x)+g(x)>or+4对任意的实数x恒成立，求。的取值范围.

19.(12分)设上eR,函数g(无)=以尤—e),其中e为自然对数的底数.

Y

(1)设函数/(x)=----------

1-lnx

①若左=-1,试判断函数/(X)与g(x)的图像在区间(1,五)上是否有交点；

②求证：对任意的keR,直线y=g(x)都不是y=/(x)的切线；

(2)设函数〃(无)=2尤-尤lnx+xg(x)-e^,试判断函数/z(x)是否存在极小值，若存在，求出左的取值范围；若不

存在，请说明理由.

20.(12分)第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、

田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开,

武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家

做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，

现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分(满分100分)数据，统计结果如下：

组别[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

频数5304050452010

(1)若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设〃，b分别为这200人得分的平均值和标准差

(同一组数据用该区间中点值作为代表)，求〃，b的值(〃，〃的值四舍五入取整数)，并计算P(51<X<93)；

(2)在(1)的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分

低于〃的可以获得1次抽奖机会，得分不低于〃的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A

21

的概率为；，抽中价值为30元的纪念品8的概率为一.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记y

33

为他参加活动获得纪念品的总价值，求y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.

(参考数据：P(〃—S<X<〃+5)土0.6827；尸(〃—23<X<〃+23)a0.9545；

P(〃-33<X<4+35)^0.9973.)

21.(12分)如图，在长方体ABC。—A4Gq中，AB=25C=2AA=4,E为从已的中点，N为的中点,

M为线段W上一点，且满足MC=RG，/为■的中点.

(1)求证：EF〃平面ADC；

(2)求二面角N—A。-歹的余弦值.

22.(10分)己知圆尸1：(x+l)i+yi=，(1/长3),圆Fi：(x-l)】+yi=(4-r)L

(1)证明：圆Fi与圆尸i有公共点，并求公共点的轨迹E的方程；

(1)已知点。(m,0)(/n<0),过点E斜率为网时0)的直线与(I)中轨迹E相交于M,N两点，记直线。”的斜率

为如,直线QN的斜率为心，是否存在实数机使得"的+h)为定值？若存在，求出机的值，若不存在，说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

因为%+%=2。9=%+12,可得%=12,根据等差数列前几项和，即可求得答案.

【详解】

%+%-2%-aw+12,

%=12,

几=史笺也^=13%=13x12=156.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了求等差数列前九项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前〃项和公式，考查了分析能力和计

算能力，属于基础题.

2、D

【解析】

连接跳，BD,因为尸，所以/BED为异面直线AF与OE所成的角（或补角），

不妨设正方体的棱长为2,取6。的中点为G,连接EG,在等腰△班。中，求出cos/BEG=生=组，在利用

BE45

二倍角公式，求出cosNBED,即可得出答案.

【详解】

连接BE,BD,因为BEHAF,所以即为异面直线AF与所成的角（或补角），

不妨设正方体的棱长为2,则BE=DE=逐,BD=2日

在等腰ABED中，取BD的中点为G,连接EG,

____n

则EG—15—2、=y/3>cos/BEG==—产，

BE75

所以cosABED=cos2ZBEG=2cos2NBEG-1，

31

即：cosABED=lx——1=-,

55

所以异面直线AF,OE所成角的余弦值为g.

故选：D.

【点睛】

本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.

3、B

【解析】

利用函数的单调性得到的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案.

【详解】

•••/(X)在R上单调递增，且/⑷＞/3),

的符号无法判断，故/与/，/与。匕的大小不确定，

对A,当a=l力=-1时，-4—=^—,故A错误；

a+1b+1

1

对C,当a=l1=-1时，a=l^ab=-l9故C错误；

对D,当a=l力=—1时，ln(a2+l)=ln仅2+1),故D错误；

对B,对。＞。，贝!|姒＞折故5正确.

故选：B.

【点睛】

本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算

求解能力，属于基础题.

4、B

【解析】

复数z=@二=9士-色担"在复平面内对应的点在第二象限，可得关于a的不等式组，解得。的范围.

1+z22

【详解】

a—ia—1a+1.

z=---=---------1,

1+i22

由其在复平面对应的点在第二象限，

。一1<0

得《则a<-1.

[«+1<0

故选:B.

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

5、D

【解析】

依次将选项中的。代入，结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案.

【详解】

当。=0时，/(无)=sin尤在［0,句上不单调,故A不正确；

当6=薮时，/("=85%在［0,句上单调递减，故B不正确；

当。=72•时，/("=—sinx在［0,村上不单调，故C不正确；

当。=半时，〃x)=—cosx在［0,句上单调递增，故D正确.

故选：D

【点睛】

本题考查正弦、余弦函数的单调性，涉及到诱导公式的应用，是一道容易题.

6、B

【解析】

l+2i,(l+2i)(2+i),2+i+4i+2i2

因为Z=----Fl=------------------Fl=------------------+l=l+i,所以三=1一i，故选B.

2-i(2-i)(2+i)5

7、D

【解析】

先求出集合3,再与集合A求交集即可.

【详解】

17

由已知，x+2=(x-j)2+z>0,故5=火，所以A{-2,-1,0,1,2}.

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的交集运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.

8、C

【解析】

由题意，根据二项式定理展开式的通项公式4+1=CM//,得(1-2x)7展开式的通项为£+1=(-2『则

止网_展开式的通项为加1=(—21。门4,由左—1=2,得左=3,所以所求必的系数为(-2)3底=一280.故选

x

C.

点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数基的运算等有关方面的知识与技能，属于中低

档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式1+i=C"i7/,再根

据所求问题，通过确定未知的次数，求出厂，将厂的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.

9、B

【解析】

由模长公式求解即可.

【详解】

|tz+|=，(a+tb)，=+2a•bt+t-b~=,4+2f+厂=+1)"+32y[3,

当/=-1时取等号，所以本题答案为B.

【点睛】

本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题.

10、B

【解析】

首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果.

【详解】

盘里=10种分组方法;

将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有:

将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：禺=24种分配方法;

由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：10x24=240种

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.

11、A

【解析】

首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最小值.

【详解】

'x+y>2

解：作出实数x,，满足不等式组6表示的平面区域(如图示：阴影部分)

x-y>0

尤+y-2=0

由<得A(L1),

x—y=0

由2=3x+y得y=-3x+z,平移y=-3x,

易知过点A时直线在V上截距最小，

所以2.=3><1+1=4・

故选：A.

【点睛】

本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题.

12、A

【解析】

11c1

分析：通过对an-an+i=2anan+i变形可知--------=2,进而可知4=------,利用裂项相消法求和即可.

an2n-1

11c

详解：a”一atl+l=2anan+1,———2,

an+\an

1

XV—=5,

a3

/.--=-_+2(n-3)=2n-l,即为二—-—,

册为2〃—1

anan+l=〈(4―4+1)=Ijo11-、:jI，

2212〃-12n+lJ

...数列{44+J前10项的和为++4一(]=；[1一()=号

故选A.

点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子

的结构特点，常见的裂项技巧：⑴』JHA}(2)不心-孙

(3)

]_J________]1_11

伽—1)伽+1)一42"—「2”+J(4)〃(“+1)5+2厂=2此外，需注意裂项

“("+1)(“+1)(“+2)

之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、164

【解析】

只需令X=0,易得as,再由(X+1)3(X+2)2=(X+1)5+2(X+1)4+(X+1)3,可得04=C；+2C；+C；.

【详解】

令x=0,得。5=(0+1)3(0+2)2=4,

而(X+1)3(X+2)2=(X+1)3[(X+1)2+2(X+1)+1]=(X+1)5+2(X+1)4+(X+1)3；

则04=C；+2C；+C；=5+8+3=16.

故答案为：16,4.

【点睛】

本题主要考查了多项式展开中的特定项的求解，可以用赋值法也可以用二项展开的通项公式求解，属于中档题.

5

14、

2

【解析】

画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值.

【详解】

解：作出可行域，如图所示，

则当直线z=2x+y过点C时直线的截距最大，％取最大值.

由x+y+-2l==0%—；2♦•・仁13/同理5(。,2),4T。)，

卜-2

z。=5，zB=2,zA=-2

.•・4=2取最大值.

故答案为：—.

2

本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以

对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数

求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.

15、l-3z.

【解析】

利用复数的运算法则首先可得出z,再根据共飘复数的概念可得结果.

【详解】

•.•复数Z满足z.(z+l)=—3+2K

-3+2z

:.z+l=------=2+3i,/.z-l+3i9

i

故而可得1=1—3i，故答案为1—31.

【点睛】

本题考查了复数的运算法则，共趣复数的概念，属于基础题.

16、2

【解析】

设3C=a,以B为原点，8C为x轴建系，则3(0,0),C(a,0),设A(x,y),ywO,

\AB+2Ac\=\(2a-3x,-3y)\=3a,利用求向量模的公式，可得卜―g1+y2=a2(y*0),根据三角形面积公式

进一步求出。的值即为所求.

【详解】

解：设BC=a,以3为原点，为x轴建系，则3(0,0),C(a,0),设A(x,y),ywO,

i2

由5板=53。3，可得马丁区+=2.

则BC=。=2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查向量模的计算，建系是关键，属于难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)q=¥史；(2)①b,,=n；②详见解析.

2

【解析】

(1)依题意可表示M，S],相减得出=。4-。3,由等比数列通项公式转化为首项与公比，解得答案，并由其都是正

项数列舍根；

(2)①由题意可表示2Tn,2Tn+l,两式相减得22+1=始+2-%-1,由其都是正项并整理可得递推关系

d+2-%+i=1，由等差数列的通项公式即可得答案；

②由已知=4+2—2,“eN*关系，表示Sn+l=an+3-2并相减即可表示递推关系an+2=an+an+1,显然当〃=1,2,3

时，E4+:+。3成立,当“4,“eN*时，表示

2

£,=彳+墨+*+号％+号幺+.••+竺萼亘+,由分组求和与正项数列性质放缩不等式得证。

乙乙乙乙乙乙乙

【详解】

解：(1)依题意可得，=。3-2,邑=。4-2,两式相减，得。2=。4一。3，所以。2-电(7，

因为4〉0,所以/—q_l=0,且q>0,解得q=3叵.

(2)①因为2，=%-〃一1,所以2&1=”+2-〃一2,

两式相减，得2%1即氏2=(%+丁•

因为久>0,所以2+2=2+1+1，即2+2—2+1=1.

而当〃=1时，2T\=阿一2,可得e=2,故4―4=1,

所以2用-优=1对任意的正整数〃都成立,

所以数列｛〃｝是等差数列，公差为1,首项为1,

所以数列也｝的通项公式为么=n.

②因为Sa=a〃+2—2,所以S.+i=。“+3-2,两式相减，得。,+1=*-4+2，即。”+3=。”+1+4+2

所以对任意的正整数”..2,都有=4+

令匕=丁丁级+十梦+*+…+尹+F,

而当〃=1,2,3时，同＜-%+：+%显然成立,

所以当/.4,〃eN*时，月=彳+枭+果+号％+%篝+...+&力-3+2+2+。〃一1

乙乙乙乙乙2”T2"

^^3^^2^^3〃4।+%一2।%一1

耳+级+尹+声+¥++笳+

^^2^^3^^3

---1---1----1---F।〃2.一3।〃4+

2223242521F2^

_%+%+%।J_p4--Pvq+42+/1XpA--P—q+"2+41J.p

_23422〃T234〃2234

所以匕＜%+学+”3+衿即

所以券

，得证.

【点睛】

本题考查由前"项和关系求等比数列公比，求等差数列通项公式，还考查了由分组求和表示数列和并由正项数列放缩

证明不等式，属于难题.

2

18、(1)(-℃,--)(4,+oo)；(2)(-1,4].

【解析】

试题分析:

(1)将绝对值不等式两边平方，化为二次不等式求解.(2)将问题化为分段函数问题，通过分类讨论并根据恒成立问

题的解法求解即可.

试题解析:

⑴由已知，可得x+3|＜|2x-],

即|x+3『<|2x-l|2.

整理得3f—lOx—8〉0,

解得■或x)4.

故所求不等式的解集为1-oo,-|)u(4,+oo).

-4x—5,%<—3.

rc1

(2)由已知，设/z(x)=2/(x)+g(x)=2|x+3|+|2x-l|=<7,—3<x<—,

2

/U1

4x+5,x>—.

①当xV-3时，只需-4x-5>6a+4恒成立,

艮|3依<一4九一9,

x<—3v0,

~4X—9.9r-^iv

/.a>---------=-4——怛成乂

xx

Q>—1,

②当—3〈无弓时,只需7)区+4恒成立,

即心-3<0恒成立.

~3ci—3V0

只需<1,

-tz-3<0

[2

解得一1<a<6.

③当xN工时，只需4%+5>ax+4恒成立,

2

BPax<4x+l.

TX>->0,

2

4x+l.1l44

a<-------4H—，旦^

XX

4+工>4,且无限趋近于4,

X

:,a<A.

综上。的取值范围是(-1,4].

19、(1)①函数Ax)与g(x)的图象在区间(1,6)上有交点；②证明见解析；(2)左>0且左

2e

【解析】

(1)①令/(x)=/(x)-g(x),结合函数零点的判定定理判断即可；②设切点横坐标为天，求出切线方程，得到

毛=2e-e/nx。，根据函数的单调性判断即可；

(2)求出力(X)的解析式，通过讨论上的范围，求出函数的单调区间，确定左的范围即可.

【详解】

解：(1)①当上=—1时，函数g(x)=-x+e,

4-F(x)=/(x)-g(x)=-~~-+x-e,,

1-lnx

则尸⑴=2-e<0,F(&)=38-e>。,

故尸(1)尸(五)<0,

又函数万(x)在区间(1,五)上的图象是不间断曲线，

故函数F(x)在区间(1,五)上有零点，

故函数/(x)与g(x)的图象在区间(1,77)上有交点；

②证明：假设存在上eR,使得直线y=-x-e)是曲线y=/(x)的切线，

切点横坐标为％,且%e(0,e)「(e,+co),

则切线y=f(x)在点x=%切线方程为>=广(%)(x-Xo)+/(%)，

即2一-%.2_一尤0/叫)+:

22

,(lnx0-I)(lnx0—I)1-btx0，

,2-lnx02x0-x0lnx0x0_

22

(lnx0-I)，(/nx0-I)l-lnx0'

消去左，得尤0=2e-e/〃尤0,故满足等式，

令s（Xo）=Xo-2e+e/«Xo,所以s'（无（））=1+一,

故函数s(x。)在(0,e)和(e,+8)上单调递增，

又函数s(x0)在/=e时s(e)=0,

故方程x0=2e-elnx0有唯一解七=e,

又飞€(0上)J(e,+co),

故天不存在，即证；

(2)由h(x)=2x—xlnx+xg(x)—ekx—2x—xlnx+kx2—2%ex得,

%>0,fi'(x)=1—Iwc+2k(x—e),

令祖(x)=l—/nx+2左(犬一e),

贝！|W(%)=2左一人二装」，

xx

m(e)="(e)=0,

⑴当鼠。时，〃(%)递减，

故当xe(0,e)时，//(x)>0,/z(x)递增，

当xe(e,+8)时，h\x)<0,7z(x)递减，

故/z(x)在x=e处取得极大值，不合题意；

(拓)左>0时，贝！(尤)在(0,1)递减，在(右，+8)递增，

2k2k

①当0vkv，时，—>e,

2e2k

故加(X)在(0,4)递减,

2k

可得当xe(O,e)时，h'(x)>0,

当xe(e」)时，h\x)<0,

2k

m(—)=(1—2ke)+2e%-In-'

kk

ii

-j-1

易证丝令m(k)=26—In巴，易33)，

k2kk2e

令”!>2e,

k

故〃⑺二2々一历/—贝!|H(，)=2e------1>0,

t

故〃⑺在(23住)递增，

贝!]〃⑺>〃(2e)>〃⑴>0,

即Ov左<」-时，m>09

2e

故在h7，丝)内存在毛，使得m(%o)=。，

故"(九)在(二天)上递减，在(%,+8)递增，

2k

故例>)在x=x0处取得极小值.

②由(1)^i\k=——――=e

2e92k9

故〃(幻在(0,e)递减，在®+8)递增，

故1£(0,+8)时，〃(%)..0,傲幻递增,不合题意;

③当左>—时，0<—<e9

2e2k

当xe(二,e)时,〃(x)<0,f(x)递减,

2k

当xe(e,+8)时，h'(x)>0,f(x)递增，

故/x)在x=e处取极小值，符合题意，

综上，实数左的范围是左>0且左，

2e

【点睛】

本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题.

20、(1)〃=65,cr«14,P=0.8186；(2)详见解析.

【解析】

(1)根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而X〜N(65,142),计算尸(51<X<93)即可;

(2)列出V所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而可得需要的总金额.

【详解】

解：(1)由已知频数表得:

…、CU530”40「50ru45遁20-10「

E(X)—35x------F45x------F55x------1-65x------1-75x------85x--------1-95x------65,

200200200200200200200

D(X)=(35-65)2x0.025+(45-65)2x0.15+(55-65)2x0.2+(65-65)2x0.25+(75-65)2x0.225

+(85-65)2x0.1+(95-65)2x0.05=210,

由196<er?<225，则14<b<15,

而14.52=210.5>210,所以era14,

则X服从正态分布N(65,14),

所以

-2a<X</J+2cr)+-a<X<ju+a)

P(51<X<93)=P(〃—er<X<〃+2。)

2

0.9545+0.6827

=0.8186；

2

(2)显然，P(X<〃)=P(X2〃)=0.5,

所以所有y的取值为15,30,45,60,

121

P(y=15)—X——，

233

111227

-_-_--AXZ_|____V—x—二--，

3318

1211122

__\zxz____L

----ZXA------r—X—X—=—

32339

1111

_--_--\zz\丫A_—__-—

318,

所以y的分布列为：

Y15304560

1721

P

318918

1721

所以E(y)=15x—+30x—+45x—+60x—=30,

318918

需要的总金额为：200x30=6000.

【点睛】

本题考查了利用频率分布表计算平均数，方差，考查了正态分布，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望,

主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题.

21、(1)证明见解析(2)—独0

35

【解析】

⑴解法一：作DXD的中点H,连接EH,FH.利用三角形的中位线证得EH//A.D,利用梯形中位线证得FH//CD,

由此证得平面4。。〃平面EHF,进而证得Ef7/平面A。。.解法二：建立空间直角坐标系，通过证明直线所的方

向向量和平面4。。的法向量垂直，证得所〃平面A。。.

(2)利用平面ACN和平面4歹。法向量，计算出二面角N-AC-E的余弦值.

【详解】

(1)法一：作的中点连接EH,尸〃.又£为4。的中点，二£//为例。2的中位线，二£“〃4。，又

斤为的中点，...EH为梯形2DCM的中位线，...在平面4。。中，\DCD=D,在平面EHF

中，EHFH=H,：.平面ADC〃平面EHF,又EFu平面•••斯〃平面A。。.

另解：(法二)二•在长方体A3CD-44GR中，DA,DC,两两互相垂直，建立空间直角坐标系。-孙z如

图所示,

则。(0,0,0),42,0,0),5(2,4,0),

C(0,4,0),2(0,0,2),A(2,0,2),

4(2,4,2),£(0,4,2),£(1,0,2),

MI,4,0),加(0,3,2),rkpij

(1)设平面A。。的一个法向量为机=(x,y,