2024年高考数学一轮复习（新高考版）圆的方程

§8.3圆的方程

【考试要求】i.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.

2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.圆的定义和圆的方程

定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆

圆心C(a,b)

标准(x-〃)2+(j-b¥—P(r>0)

半径为r

方程圆心《一号一f)

x2+y2+Dx+Ey+F=0

一般

(D2+E2~4F>0)半径r=^\jD2+E2-4F

2.点与圆的位置关系

平面上的一点MQo，yo)与圆C：Q—a)2+(j—6)2=，之间存在着下列关系：

⑴M在圆外,即(尤o—a)2+(jo—b)2>产0M在圆外；

(2)|MC|=r^M在圆上，即(比-a)2+•一b)2=rOM在圆上；

(3)\MC\<r^M在圆内,即(无o—a)2+(yo—b)2<^OM在圆内.

【常用结论】

1.以A(xi，ji),8(x2，y2)为直径端点的圆的方程为Q—尤i)(x—X2)+(j—刃)=0.

2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上.

3.圆心在任一弦的垂直平分线上.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(V)

(2)。-2)2+。+1)2=层3/0)表示以(2,1)为圆心，。为半径的圆.(X)

(3)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=O表示圆的充要条件是A=CW0,B=0,D-+E--

4AF>0.(V)

(4)若点Af(xo,yo)在圆r+y+Dx+Ey+EnO夕卜，则焉+yW+Dxo+Eyo+QO.(J)

【教材改编题】

1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()

A.(x-l)2+(y-l)2=l

B.(x+1)2+3+1)2=1

C.(x+1)2+8+1)2=2

D.(X—1)2+51)2=2

答案D

解析因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径/=产行=也，则该圆的方程为(X—

+(厂H

2.若曲线C：/+9+2以一4ay—10。=0表示圆，则实数a的取值范围为()

A.(-2,0)

B.(—8,-2)U(0,+8)

C.[-2,0]

D.(-8,-2]U[0,+8)

答案B

解析由A2+y2+2ar—4ay—10a=0,

得(x+a)2+(y—•2a)2=5a2+10a,

由该曲线表示圆，可知5a2+10a>0,解得a>0或a<—2.

3.(多选)下列各点中，在圆(x—l>+(y+2)2=25的内部的是()

A.(0,2)B.(3,3)

C.(-2,2)D.(4,1)

答案AD

解析由(0—1>+(2+2)2<25知(0,2)在圆内；由(3—1户+(3+2)2>25知(3,3)在圆外；由(一2

一1产+(2+2)2=25知(一2,2)在圆上，由(4一1)2+(1+2)2<25知(4,1)在圆内.

■探究核心题型

题型一圆的方程

例1(1)(2022•全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为

答案(尤一2)2+0—3)2=13或(X—2)2+(厂1)2=5或前+Q—含=半或1一|)2+(厂1)2

169

一石

解析依题意设圆的方程为炉十＞2+.+4+尸=0,其中。2+层一4Q0.

若过(0,0),(4,0),(-1,1),

F—0,

贝“16+4Z)+F=0,

A+1-D+E+F^Q,

F=0,

解得<O=—4,满足。2+E2—4Q0,

、E=-6,

所以圆的方程为V+y2—6y=0,

即(x—2)2+(y—3)2=13；

若过(0,0),(4,0),(4,2),

7=0,

则《16+40+/=0,

16+4+4O+2E+尸=0,

F=0,

解得<。=—4,满足。2+足2—4Q0,

£=-2,

所以圆的方程为x2+y2—4x-2y=0,

即(x—2)2+(y—1)2=5；

若过(0,0),(4,2),(-1,1),

F=Q,

则｛l+1-D+E+F^O,

16+4+4Z)+2E+F=0,

'/=0,

解得J3，满足。2+序—4QO,

„__14

L£-3,

所以圆的方程为^十丁―8打―1斗4=0,

即Q—5+(厂”=票

若过(-1,1),(4,0),(4,2),

l+1-D+E+F^O,

则116+4。+/=0,

」6+4+4。+2£+歹=0,

16

Fr=：，

解得＜「16满足D2+E2-4f>0,

。一亍

lE=—2,

所以圆的方程为

x1+y2—^x—2y—^=0,

即Q一|)2+0—1)2=喘

(2)(2022•全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0上，点(3,0)和(0,1)均在。M上，则。闻的方程

为.

答案(x—l)2+(y+1)2=5

解析方法一设。M的方程为(X—。)2+。一份2=户，

2Q+Z?—1=0,

则，(3—〃)2+从=於,

^2+(1—/7)2=^,

a=l,

解得b=—1，

、产=5,

二。〃的方程为(尤一l)2+(y+l)2=5.

方法二设0M的方程为d+f+Ox+Ey+FnCXDZ+EZ—dEX)),

2(-¥)+(—C)T=。,

D=~2,

解得E=2,

9+3£>+F=0,

F=-3,

A+E+F=0,

.•.。加的方程为/+9一2尤+2、-3=0,即(X—1)2+G+1)2=5.

方法三设A(3,0),8(0,1),OM的半径为r,

则以8=^^=—AB的中点坐标为G，£),

.,.AB的垂直平分线方程为y—3=31—3，即3x—y—4=0.

3x—y—4=0,x=l,

联立,2x+yT=。，解得

J=T，

AM(1,-1),

.,.户=|MA|2=(3-1)2+[0—(—1)产=5,

；.。知的方程为(x-l)2+(y+l)2=5.

思维升华求圆的方程的常用方法

(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.

⑵待定系数法

①若已知条件与圆心(a,6)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a,b,厂的值；

②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于。，E,E的方程组，进而求出。，E,尸的值.

跟踪训练1(1)圆心在y轴上，半径长为1,且过点41,2)的圆的方程是()

A.V+Cy—2)2=1

B./+。+2)2=1

C.(l1)2+53)2=1

D.x2+(y-3)2=4

答案A

解析根据题意可设圆的方程为炉+⑪一32=1,因为圆过点A(l,2),所以P+(2—b)2=i,

解得6=2,所以所求圆的方程为N+(y—2)2=1.

(2)若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y=—2x+3上运动，当半径最小时，圆的方程为

答案—D+Q-1＞号

解析设圆心坐标为(。，~2a+3),则圆的半径r=y(〃-01+(—2"+3—0)2=#5〃2—12〃+9

/(a-1)+£.

当时，rmin=4^.

故所求圆的方程为(%一'1)+Q—D2*.

题型二与圆有关的轨迹问题

例2已知Rt^ABC的斜边为AB,且4-1,0),3(3,0).求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边8C的中点M的轨迹方程.

解(1)方法一设C(x,y),因为A,B,C三点不共线，所以yWO.

因为AC_LBC,且BC,AC斜率均存在，

所以kAckBc=—1,

又Mc=*'融c=M'

所以%1,

%十1x~3

化简得f+y2—2x—3=0.

因此，直角顶点C的轨迹方程为炉十/一2x—3=0(yW0).

方法二设的中点为。，由中点坐标公式得。(1,0),由直角三角形的性质知|Cr>|=W|A2|

=2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以。(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A,B,C三点不共

线，所以应除去与x轴的交点).

所以直角顶点C的轨迹方程为(X—1)2+>2=4。/0).

(2)设M(x,y),C(x0,加)，

因为8(3,0),且M是线段BC的中点，

所以由中点坐标公式得了=宰，>=空

所以刈=2尤一3,yo=2y.

由(1)知，点C的轨迹方程为

(%—1)2+/=4(>#0),

将xo=2x-3,yo=2y代入得

(2x—4)2+(2y>=4,

即(x—2)2+y2=l(yW0).

因此动点M的轨迹方程为

(x—2)2+y2=l(yW0).

思维升华求与圆有关的轨迹问题的常用方法

(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.

(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.

(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.

跟踪训练2(2023•宜昌模拟)已知定点M(l,0),N(2,0),动点尸满足1PM=娘1PM.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)已知点8(6,0),点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点。的轨迹方程.

解(1)设动点P的坐标为(无，y),

因为M(l,0),N(2,0),且|PN=W|PM，

所以2>+尸=y[2-\l(x—1)2+y2,

整理得/+尸=2,

所以动点尸的轨迹C的方程为N+y2=2.

(2)设点。的坐标为(x,y),点A的坐标为(心,以)，

因为。是线段A3上靠近点8的三等分点，

所以AQ=2Q5,即(1一以，y—yA)=2(6—x,—y),

XA=3X-12,

解得，

jA=3y,

又点A在轨迹。上运动，

由⑴有(3尤一12)2+(3疗=2,

2

化简得(X—4)2+y2=*

2

即点。的轨迹方程为(X—4)2+丁=京

题型三与圆有关的最值问题

命题点1利用几何性质求最值

例3(2022・泉州模拟)已知实数x,y满足方程f+廿一以+1=0.求：

(1步的最大值和最小值；

(2)y—x的最小值；

(3)/+产的最大值和最小值.

解(1)如图，方程炉+/―4x+l=0表示以点(2,0)为圆心，,为半径的圆.

设"=鼠即＞=丘，则圆心(2,0)到直线y="的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、

最小值.

由［鲁君=/，解得储=3,

,•左max—9%min-•

Imin——

(2)设y—九=。，则y=x+b,当且仅当直线y=%+力与圆相切于第四象限时，截距6取最小值,

由点到直线的距离公式，得上瑟=小，即6=—2寸，

故(J_X)min=-2一乖.

(3)f+y2是圆上点与原点的距离的平方，设圆与x轴相交于点8和C'(点B在点C'左侧),

222

则伍+丹女7。。『=(2+小＞=7+4小，(x+/)min=|OB|=(2-V3)=7-4V3.

命题点2利用函数求最值

例4(2023•湘潭质检)设点尸(x,y)是圆3产=1上的动点，定点4(2,0),2(—2,0).则

丽•丽的最大值为.

答案12

解析由题意，得B4=(2—x,—j),

PB=(—2—x,—y),

所以丽・丽=/+丁一4,

由于点P(x,y)是圆上的点，故其坐标满足方程

f+g—3)2=1,

故/=—(y—3)2+1,

所以放.译=一。-3)2+1+9一4

=6y—12.

易知2WyW4,所以当y=4时，丽.西的值最大，最大值为6X4—12=12.

延伸探究若将本例改为“设点P(x,y)是圆(x—3)2+y2=4上的动点，定点4(0,2),8(0,

-2)"，贝力前十前|的最大值为.

答案10

解析由题意，知B4=(—x,2—y),

PB=(—x,—1—y),

所以该+访=(—2x,-2y),

由于点P(x,y)是圆上的点，

故其坐标满足方程(x—3)2+y2=4,

故/=—(x—3)2+4,

所以|丽+潘|=共4/+4y2=246尤一5.

由圆的方程(x—3>+y2=4,易知1WXW5,

所以当x=5时，|以+西|的值最大，最大值为2XW6X5—5=10.

思维升华与圆有关的最值问题的求解方法

(1)借助几何性质求最值：形如〃=；_，,t=ax-\-by,(x—a)2+(y—bp形式的最值问题.

(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选

用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.

(3)求解形如|PM+|PN|(其中N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：

①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和

转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.

跟踪训练3(1)设尸(x,y)是圆(x—2)2+/=1上的任意一点，则(x—5)2+(J+4)2的最大值是

()

A.6B.25C.26D.36

答案D

解析(尤一5)2+3+4)2表示点P(x,y)到(5,—4)的距离的平方，

VP(x,y)是圆(x—2A+y2=i上的任意一点，

.•.(X—5)2+(y+4)2的最大值为圆心(2,0)到(5,—4)的距离与半径之和的平方,

即[(x—5)2+。+4)2]皿*=[^/(2-5)*12+(0+4)2+1]2=36.

(2)若点尸(x,y)在圆^+产一2x—2y+l=0上，则才’的最大值为.

4

答案3

解析圆2x—2y+l=0可化为(%—1)2+。-1)2=1,圆心为(1,1),半径为1,

洋•表示圆上的点(尤，y)与点(一1,0)连线的斜率,

设过点(一1,0)的圆的切线斜率为k,

则圆的切线方程为y—0=%(冗+1),即kx-y-\-k=Q,

由圆心到切线的距离等于半径，

|左一1+川

可得

7官+1

4

解得Z=0或k=y

所以OWE*即会的最大值为*

课时精练

国基础保分练

1.(2023・六安模拟)圆心为(1,-2),半径为3的圆的方程是()

A.(x+l)2+(j—2)2=9B.(x-l)2+(j+2)2=3

C.(x+lp+G—2产=3D.(无一l)2+S+2)2=9

答案D

解析因为圆心为(1,-2),半径为3,

所以圆的方程为(x—1>+。+2)2=9.

2.(2023•宁德模拟)已知点M(3,l)在圆C：x2+y2-2x+4y+2k+4=0外，则k的取值范围为

A.~6<k<^B.%<-6或%*

C.k>~6D.左<3

答案A

解析:圆C：一+/一2x+4y+2Z+4=0,

・,•圆C的标准方程为(x—l)2+(y+2)2=l-2左，

圆心坐标为(1,-2),半径r=[l—24.

若点M(3,l)在圆C：2x+4y+2Z+4=0外，则满足〃(3—1)2+(1+2)2川1—2%,且1

—2k>0,即13>1—2左且衣,,即一6<k<2,

3.若△AOB的三个顶点坐标分别为A(2,0),8(0,-4),(9(0,0),则△AOB外接圆的圆心坐

标为()

A.(1,-1)B.(―1,~2)

C.(1,-2)D.(-2,1)

答案C

解析由题意得△A08是直角三角形，且NA08=90。.

所以AAOB的外接圆的圆心就是线段A8的中点，

设圆心坐标为(x,y),

2+00—4

由中点坐标公式得工=丁=1,丫=亍=—2.

故所求圆心坐标为(1,—2).

4.圆C：f+V—Zx-BuO关于直线/：y=无对称的圆的方程为()

A.V+y2—2y—3=0B.炉+9一2y—15=0

C.炉+/+2>-3=0D.x2+y2+2y-15=0

答案A

解析由题意，得圆C：(x—1)2+丁=4的圆心为(1,0),半径为2,

故其关于直线/：y=x对称的圆的圆心为(0,1),半径为2,

故对称圆的方程为f+(y—1>=4,

即x2+y2-2y-3=0.

5.点M,N是圆r+V+fcc+Zy—4=0上的不同两点，且点M,N关于直线/：无一y+l=0

对称，则该圆的半径等于()

A.2^2B.^2C.3D.9

答案C

解析圆x2+y2+履+2厂4=0的标准方程为G+1}+u+1)2=5+与，

则圆心坐标为(一号，一1),半径为r=45+亨,

因为点M,N在圆f+yZ+fev+Zy—4=0上，且点M,N关于直线/：l—y+l=0对称，

所以直线/：x—>+1=0经过圆心，

k

所以一］+1+1=0,解得％=4.

所以圆的半径r=^5+f=3.

6.自圆C：(x—3)2+。+4)2=4外一点尸引该圆的一条切线，切点为0,PQ的长度等于点尸

到原点。的距离，则点尸的轨迹方程为()

A.8x—6y—21=0B.8x+6y—21=0

C.6x+8y—21=0D.6x—8y—21=0

答案D

解析由题意得，圆心C的坐标为(3,-4),半径r=2,如图所示.

设尸(无()，y0),由题意可知|尸。|=|尸。|,且PQLC。，所以|尸。|2+户=|尸。2,所以看+找+4=(尤0

22

-3)+(y0+4),

即6刈一8比—21=0,结合选项知D符合题意.

7.已知aGR,方程-2+3+2亚2+4苫+8伊+5a=0表示圆，则圆心坐标为,半径

为.

答案(一2,-4)5

解析由圆的一般方程的形式知，a+2=a2,解得。=2或a=—1.

当。=2时，该方程可化为x2+y2+x+2y+,=0,

VD2+E2-4F=12+22-4X|<0,

；.a=2不符合题意；

当a=—1时，方程可化为f+y2+4x+8y—5=0,

即(X+2)2+(J+4)2=25,

圆心坐标为(一2,-4),半径为5.

8.己知等腰△ABC,其中顶点A的坐标为(0,0),底边的一个端点8的坐标为(1,1),则另一个

端点C的轨迹方程为.

答案f+y2=2(除去点(1,1)和点(一1,-1))

解析设C(x,y),根据在等腰△ABC中|A8|=|AC|,可得Q—Op+O；—0)2=(l—Op+Q—。产,

即苫2+产2.

考虑到A,B,C三点要构成三角形，因此点C不能为(1,1)和(一1,-1).

所以点C的轨迹方程为/+V=2(除去点(1』)和点(―1,-1)).

9.已知圆心为C的圆经过点A(l,l)和点8(2,-2),且圆心C在直线/：x—y+l=0上.线

段尸。的端点尸的坐标是(5,0),端点。在圆C上运动，求线段尸。的中点M的轨迹方程.

解设点。为线段A8的中点，直线加为线段的垂直平分线，则。©,一，.

又上AB=-3,所以就=/

所以直线m的方程为x~3y—3=0.

[x—3y—3=0,

由Jiic得圆心C(—3,-2),

1九—y+l=0,

则半径r=|CA|=^/(-3-l)2+(-2-l)2=5,

所以圆C的方程为(x+3)2+(y+2)2=25.

设点M(x,y),QQo,yo).

因为点尸的坐标为(5,0),

Cxo+5

|冗=2

\xo=2x—5,

所以

yo+Q

又点。(X0,加)在圆C：(x+3)2+(y+2)2=25上运动,所以(xo+3)2+5+2)2=25,

即(2r—5+3)2+(2y+2)2=25.

整理得Q—1)2+。+1)2=亨.

即所求线段P。的中点M的轨迹方程为(X—l)2+(y+1)2=宁25.

10.已知圆C1经过点A(l,3)和8(2,4),圆心在直线2无一y—1=0上.

⑴求圆Ci的方程；

(2)若M,N分别是圆G和圆C2：(X+3)2+(J+4)2=9上的点，点P是直线x+y=0上的点,

求IPMI+IPN的最小值，以及此时点尸的坐标.

解⑴由题意知4?的中点坐标为停，百，

4-3

kAB=2—]=1，

：.AB的垂直平分线为尸5一尤,

联立，

x=2,

解得

)=3,

即圆Ci的圆心坐标为(2,3),半径r=l,

其方程为(x—2>+(y—3)2=1.

(2)注意到点G(2,3)和点Cz(—3,—4)在直线x+y=O的两侧,

直线x+y=O与两圆分别相离，如图所示.

...|PM|+|/W|2|PCI|-1十|PC2|-32|GC2|—4=V^—4,

当且仅当M,N,尸在线段C1C2上时取等号，

此时点P为直线CC2与x+y=O的交点，

过Ci,C2的直线方程为7x—5y+l=0,

\x+y=O,

联立,

〔7x—5y+l=0,

.,.点P的坐标为(一心，自).

合提升练

33

11.若直线依一K一6=0(°>0,6>0)始终平分圆f+尸一4x+4y=0的周长，贝/+石的最小值

为()

A.1B.2C.3D.4

答案D

解析圆/十V一4工+-=0,即(X—2)2+(J+2)2=8,圆心为(2,-2),依题意，点(2,—2)

在直线ax—by—6=0上，

则有2a—(一2)6—6=0,整理得a+6=3,而a>0,b>0,

于是得介於m+此+£l=2+A"2+2\联=4,当且仅当a=b=|时取"=”，

所以3力方3的最小值为4

12.(多选)已知圆2x—4V+<J-5=0上有且仅有两个点到直线3x—4y—15=0的距离

为1,则实数。的可能取值为