2023-2024学年湖南省衡阳市城区九年级(上)期末数学试卷(含解析)

2023-2024学年湖南省衡阳市城区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是（）

A.%>3B.x>3C.%<3D.x<3

2.已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简|。一1|一7国二型的结果।>

0I2

是（）

A.2a-3B.-1C,1D,3-2a

3.关于工的一元二次方程（m-3）x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（）

A.0B.±3C.3D.-3

4.如图，在平面直角坐标系中，△4BC的顶点都在格点上，如果将△4BC沿y轴翻折，得到△4'B'C',那

么点B的对应点夕的坐标为（）

A.（0,2）B.（3,1）C.（1,4）D.（-3,-1）

5.已知X1,4是方程%2—3%—2=0的两根，则考+专的值为（）

A.5B.10C.11D.13

6.如图，若则下列各式错误的是（）

人.江=%

ACDF

B也=如

,ACDF

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cAB_AC

'DE~DF

DAB_=BC_

ADBE

7.如图，公路AC,BC互相垂直，公路48的中点M与点C被湖隔开.若测

得AM的长为1.2km,则M,C两点间的距离为（）

A.0.5km

B.0.6km

C.0.9km

D.1.2km

8.小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%,他明天将参加一场比赛，下面

几种说法正确的是（）

A.小亮明天的进球率为10%B.小亮明天每射球10次必进球1次

C.小亮明天有可能进球D.小亮明天肯定进球

9.如图，一艘潜水艇在海面下300米的点4处发现其正前方的海底C处

有黑匣子，同时测得黑匣子C的俯角为30。，潜水艇继续在同一深度直

线航行960米到点B处，测得黑匣子C的俯角为60。，则黑匣子所在的C

处距离海面的深度是（）

A.（480平+300）米

B.（960\后+300）米

C.780米

D.1260米

10.如图，能使△ABCs△4E。成立的条件是（）

A.Z.A=Z.A

B./.ADE=/.AED

cAC_AB

'AD~AE

DB^=AD

,EDAC

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11.如图，四边形48C。和A8'C'。'是以点。为位似中心的位似图形，若。A：

04=3：5,四边形48'C'D'的面积为9sn2,则四边形/BCD的面积为()

A.15cm2

B.25cm2

C.18cm2

D.27cm2

12.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用.

例：已知x可取任何实数，试求二次三项式2X2—12X+14的值的范围.

解：2x2-12%+14=2(x2-6x)+14=2(x2-6%+32-32)+14

=2[(x-3)2-9]+14=2(x-3)2-18+14=2(x-3)2-4.

•••无论x取何实数，总有("-3)220,2(x-3)2-4>-4.

即无论％取何实数，2x2-12x+14的值总是不小于一4的实数.

问题：已知x可取任何实数，则二次三项式—3x2+124—11的最值情况是()

A.有最大值一1B.有最小值一1C.有最大值1D.有最小值1

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

13.若最简二次根式7不々和\二字与是同类二次根式，则x的值为

14.一元二次方程3(X-2)2=x(x-2)的解为

15.已知关于x的方程ax2+2x—3=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是

16.如图，在四边形ABCD中，AB//CD,E,F分别是4C,BD的中点，已知

=CD=6,则EF=.

17.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P处放

一水平的平面镜，光线从点4出发经平面镜反射后刚好到古城墙C。的顶端C

处，已知AB1BD,CDLBD,测得4B=2米，BP=3米，PD=12米，那么

该古城墙的高度CD是米.

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18.“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号

召，坚持在某环形步道上跑步.已知此步道外形近似于如图所示的

Rt^ABC,其中4c=90。，AB与8c间另有步道。E相连，D地在力B正中

位置，E地与C地相距1km.若tan4ABe=3,/.DEB=45°,小张某天沿

4

路线跑一圈，则他跑了______km.

三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.(本小题6分)

计算：

(1)3J12—2\/48+(8；

(2)(』+茁)x弧

2。(本小题6分)

解方程：x2-6x-18=0.2.

21.(本小题8分)

如图，在△ABC中，。为AC边上一点，^DBC=^A.

(1)求证：4BDCSAABC；

(2)若BC=4,AC=8,求CD的长.

22.(本小题8分)

我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为4、B、C、。四个等级，并将结果绘制

成如图所示的条形统计图和扇形统计图.请你根据统计图解答下列问题.

(1)成绩为“B等级”的学生人数有名；

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(2)在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为______,图中m的值为______；

(3)学校决定从本次比赛获得“4等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛.已知“A等级”中有1

名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率.

23.(本小题8分)

某淘宝网店销售台灯，每个台灯售价为60元，每星期可卖出300个，为了促销，该网店决定降价销售.市

场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30个.已知该款台灯每个成本为40元.

(1)若每个台灯降x元。>0),则每星期能卖出个台灯，每个台灯的利润是元.

(2)在顾客得实惠的前提下，该淘宝网店还想获得6480元的利润，应将每件的售价定为多少元？

24.(本小题8分)

阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.

构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如：在计算tanl5。时，可构造如图1所示

的图形.在RtaACB中，ZC=9O°,/.ABC=30°,设4C=x(x>0),延长C8至点D,使得=4B,连结

(1)请根据上面的步骤，完成tanl5。的计算；

(2)请类比这种方法，计算图2中ttm22.5。的值.

25.(本小题10分)

问题背景：如图(1),已知△ABCS2\AOE,求证：△ABDS^ACE；

尝试应用：如图(2),在△ABC和△4DE中，4B4C=NOAE=90。，^ABC=^ADE=30°,AC与DE相交于

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点F.点。在8c边上，监=邪,求色的值.

26.(本小题12分)

如图，在矩形4BCC中，AB=4,AD=5,P是射线BC上的一个动点，过点P作PE14P,交射线DC于点

E,射线4E交射线BC于点F,设BP=a.

(1)当点P在线段BC上时(点P与点B,C都不重合)，试用含a的代数式表示CE；

(2)当a=3时，连接DF,试判断四边形4PFD的形状，并说明理由;

(3)当tan4PAE=£时，求a的值.

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答案和解析

1•【答案】B

【解析】解：由题意可知：3x-9>0,

•'•%>3,

故选:B.

根据二次根式有意义的条件列出不等式即可求出答案.

本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型.

2.【答案】A

【解析】解：由图知：1<a<2,

CL-1>0,Q—2<0,

原式=a-1—[―(a—2)]=a—1+(a—2)=2a-3.

故选：A.

根据数轴上a点的位置，判断出(Q—l)和(a—2)的符号，再根据非负数的性质进行化简.

此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出。一2<0是解题关键.

3.【答案】D

【解析】解：(m-3)%2+m2x=9x+5,

(m-3)x2+(m2—9)x—5—0,

由题意得：m-3K0,m2-9=0,

解得：m=-3,

故选：D.

把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可.

本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程二次项系数不为0以及一次项的概念是解题的

关键.

4.【答案】B

【解析】解：,••将△ABC沿y轴翻折，得到△A8'C',

•••点8(—3,1)与点次关于y轴对称，

•••夕(3,1),

故选：B.

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由折叠的性质可求解.

本题考查了翻折变换，轴对称中的坐标变化，关键是掌握点的坐标的变化规律.

5.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了完全平方公式以及根与系数的关系：若%,々是一元二次方程ax2+bx+c=0(a二0)的两根

时，%,+x=-^,x.x.=S利用根与系数的关系得到/+%=3,x.x=-2,再利用完全平方公式得

到4+x；=(/+X2)2-2X1X2,然后利用整体代入的方法计算.

【解答】

解：根据题意得％+,=3,X产2=-2,

所以号+岑=(入+X2)2~^xix2=32—2x(-2)=13.

故选：D.

6.【答案】D

【解析】解：•••zi//z2//z3,

.BC__EEAB__DE.施_AC

"AC-DF'AC-DF'DE—DF'

故选：D.

利用平行线分线段成比例定理和比例的性质对各选项进行判断.

本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

7.【答案】D

【解析】解：♦.•在RtZkABC中，AACB=90°,M为AB的中点，

MC=^AB=AM=1.2km.

2

故选：D.

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC=4M=1.2km.

本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.理解题

意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键.

8.【答案】C

【解析】解：根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%,他明天将参加一场比赛小亮明天有可能进球.

故选：C.

直接利用概率的意义分析得出答案.

此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键.

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9.【答案】A

【解析】解：由C点向4B作垂线，交48的延长线于E点，并交海面于F•,…?---------------渡凰......

占一?730。-60」中

点-\:

・•.\（

已知48=960米，ABAC=30°,NEBC=60。，工：

••.1

•1

・・•Z.BCA=Z.EBC-Z-BAC=30°,,*?.：

:.乙BAC=Z.BCA.

・・・亦=8/=960（米）.

在R3BEC中，sinzEBC=

BC

•••CE=BC-sin600=960x8=480、后（米）.

2

CF=CE+EF=（4800+300）米，

故选：A.

易证zB4C=NBa4,得B4=BC.然后在直角△BCE中，利用锐角三角函数定义求出CE,即可得出答案.

本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题、等腰三角形的判定等知识，解决问题的关键作出辅助线

构造直角三角形，属于中考常考题型.

10.【答案】C

【解析】解：由题意得，乙4=乙4,

若添加强=禁，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可判断△力BCSAAED,

ADAE

故C选项符合题意；

A.B、。选项均不能判定△ABCs△4ED,故不符合题意；

故选：C.

根据相似三角形的判定求解即可.

本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键.

11•【答案】B

【解析】解：

••・四边形力BCD和力'B'C'D'是以点。为位似中心的位似图形，。4：071=3：5,

“S四边形4B，C，。，：S四边形48CD-9：25,

四边形a'B'C'D'的面积为9CU12,

四边形48CD的面积=25cm2,

故选：B.

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根据位似图形的面积比等于位似比的平方即可求出边形ABCC的面积.

本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，

对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似比等于相似比，位似图形的面积比等于位似比

的平方.

12.【答案】c

【解析】解:"3x24-12%—11=-3(x2—4%)—11

=-3(x2—4%+4—4)—11

=-3(x—2)2+12—11

=-3(%-2)2+1,

・.•无论x取何实数，总有(%—2)220,

-3(x—2)2<0,

—3(x—2)2+1<1,

即无论x取何实数，二次三项式-3X2+12X-11有最大值1,

故选：C.

通过配方可得一3招+12x-ll=-3(x-2)z+1,即可知其最值情况

此题考查了配方法的应用，解题时要根据配方法的步骤进行解答，注意在变形的过程中不要改变式子的

值.

13.【答案】1

2

【解析】解：由题意，得x+2=3-x

解得x=£.

故答案是：K

根据同类二次根式的定义得出方程为+2=3—羽求出方程的解即可.

此题考查了同类二次根式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类二次根式的被开方数相同.

14.【答案】％=2,X2=3

【解析】解：3(X-2)2=X(X-2)

3(%—2)2=-x[x—2),

(x-2)[3(x-2)-x]=0,

(%—2)(2%—6)=0,

・•・x-2=0或2%—6=0,

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解得％=2,x2=3,

故答案为：％=2,X2=3.

先移项，然后提公因式即可解答此方程.

本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法.

15.【答案】。〉一工且a^O

3

【解析】解：由关于x的方程a"+2x-3=0有两个不相等的实数根

得△=b2-4ac=4+4x3a>0,

解得a>—£

则a>—；且a*0

故答案为a>-：且a+0

由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程ax2+bx+c=0（a40）的根的判别式是b2—4ac>0即

可进行解答.

本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程以2+以+。=0（（1*0）中，（1）当4>0时，方

程有两个不相等的实数根；（2）当△=（）时，方程有两个相等的实数根；（3）当4<0时，方程没有实数根.

16.【答案】3

DC

【解析】解：连接CF并延长交4B于G,

■■■AB//CD,

■­■Z.FDC=AFBG,4GB

车△FOC和△FBG中，

\.FDC=4FBG

FD=FB

4DFC=ZJBFG'

•••△FDC^△FBG{ASA）

.-.BG=DC=6,CF=FG,

AG=AB-BG=12-6=6,

■■CE=EA,CF=FG,

EF="G=3,

故答案为：3.

连接CF并延长交AB于G,证明△?£>（；丝△FBG,根据全等三角形的性质得到BG=DC=6,CF=FG,求

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出4G,根据三角形中位线定理计算，得到答案.

本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于

第三边的一半是解题的关键.

17.【答案】8

【解析】解：由题意可得乙4PB=NCP。,

"AB1BD,CDA.BD,

：.Z.ABP=乙CDP=90°,

在aaBP和△＜；£）「中，

Y.ABP=Z.CDP

AAPB=/.CPD）

.•.△ABPs△CDP,

.AB_CD

BPDP

••♦48=2,8P=3,PD=12,

•.•一2—-—CD,

312

即CD=8,

故答案为8.

先证明△ABPs△（；£）「，可得殁=殁，再代入相应数据可得答案.

BPPD

本题主要考查相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形对应边成比例.

18.【答案】24

【解析】

解：过。点作L»F_LBC,

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设EF=xkm,则。尸二无攵血，BF=-xkm,

3

在Rt△BFD中，BD=\：BF2+DF2=i/cm,

、3x

・・・D地在AB正中位置,

,­，AB=2BD=^-xkm,

3

vtanZ-ABC=

4

・•・cosZ-ABC=

5

.%+f%+1_4

5，

3

解得久=3,

则BC=8km,AC—6km,AB-10km,

小张某天沿ATCTETBTDFA路线跑一圈，他跑了8+10+6=24(/cm).

故答案为：24.

过。点作1BC,设EF=xkm,则。尸=xkm,BF=±xkm,在RtZiBF。中，根据勾股定理得到BD,进

3

一步求得4B,再根据三角函数可求X,可得BC=8km,AC=6km,AB=10km,从而求解.

此题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容.解决此问题的关键

在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题.

19•【答案】解：(1)原式=6、"一845+2、伤

=—2+2\，2；

(2)原式=、［*\&+、历7*\口

=1+9

=10.

【解析】(1)直接利用二次根式的加减运算法则化简，进而计算得出答案；

(2)直接利用二次根式的混合运算法则化简，进而计算得出答案.

此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键.

20.【答案】解：方程整理得：x2-6x=18.2,

配方得：x2-6x+9=27.2,即(x-3)2=华，

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开方得：x-3=±2^170,

5

解得：%.=3+^70,X=3-^^.

1525

【解析】方程移项后，利用完全平方公式变形，开方即可求出解.

此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

21.【答案】解：（1）：4OBC=44,4BCD=4ACB,

BDCABC；

Q）,:4BDCFABC,

.BC__DC_

"AC—BC'

"BC=4,AC=8,

4DC

••・8=丁

：.CD=2.

【解析】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型.

（1）根据相似三角形的判定即可求出答案.

（2）根据相似三角形的性质即可求出CD的长度.

22.【答案】（1）5；

（2）72°；40；

（3）“力等级”2男1女，从中选取2人，所有可能出现的结果如下：

71人

里勇女

男里男女男

弱男男女男

女里女里女

共有6种可能出现的结果，其中女生被选中的有4种，

.p=—=—

“广（女生被选中）一展_不

【解析】解：⑴3+15%=20（名），20-3-8-4=5（名）,

故答案为：5；

(2)360°=72°,8+20=40%,即m=40,

故答案为：72。，40；

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(3)见答案.

(1)4等的有3人，占调查人数的15%,可求出调查人数，进而求出B等的人数；

(2)D等级占调查人数的玲，因此相应的圆心角为360。的/即可，计算C等级所占的百分比，即可求出m的

值；

(3)用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率.

本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，列表法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出

现的结果是求概率的前提.

23.【答案】(300+30x)(20-x)

【解析】解：(1)由题意知，若每个台灯降x元(x>0),则每星期能卖出(300+30%)个台灯，每个台灯的利

润是(60—40—%)=(20—x)元.

故答案是：(300+30x)(20-x)；

(2)由题意，得(20-x)(300+30x)=6480,

解得久=8,x=2(舍去)

所以，定价为52元.

(1)根据售量(件)与售价(元/件)之间的函数关系即可得到结论.

(2))根据销售利润=销售数量x每个台灯的利润列出方程并解答.

考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄懂题意，找到等量关系，列出方程.

24.【答案】解：(1)由题知，

设4C=x(x>0),延长CB至点C,使得BD=AB,连结AD,

因为NABC=30。，AB=BD,

所以4D=N£MB=15。.

在ABC中，

sin30°=隼

AB

则AB=2%,

同理可得，BC=^x,

所以CD=2x+

在RtZsACD中，

tanD=—=~一=2-《3,

AD2x+73%

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即t即15°=2-点

(2)延长CB到点D,使BD=BA,

因为4aBe=45。，AB=DB,

所以4D=4DAB=22.5°.

令4C=久，则BC=x,AB="x,

所以BO=AB=\/2x,

则CD=CB+DB=x+\2x.

在RtaACD中，

tanD=—==\.'2—1

CDx+\'2x'

即tan22.5°=事■-I.

【解析】(1)根据题中所给思路，继续完成计算即可.

(2)按照(1)中的计算方式，即可解决问题.

本题考查解直角三角形，熟知正切的定义及勾股定理的熟练运用是解题的关键.

25.【答案】问题背景

证明：:△ABCs△4DE,

...改=悔^BAC=^DAE,

ADAE

：./.BAD=/.CAE,熊=吗

ACAE

.-.AABD^AACE;

尝试应用

解：如图1,连接EC,

图1

•••NBAC=miE=90。，/.ABC=/.ADE=30°,

ABCs△ADE,

由（1）知△480s

...但=他=\回，NACE=乙ABD=/.ADE,

CEBD'

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在RtZXAOE中，Z.ADE=30°,

嚏3

AD_AD

EC-AE

,:乙ADF=LECF,Z.AFD=zFFC,

:AADFsAECF,

.DF_AD

CFCE

【解析】问题背景

由题意得出组•=丝，/.BAC=Z.DAE,则484。=4a4E,可证得结论;

ADAE

尝试应用

连接EC,证明△ABCs△ADE,由（1）知△力BDs△力CE,由相似三角形的性质得出丝=殁=\后,

AACE=AABD=Z.ADE,可证明△ADFsZiECF,得出空=m=3,则可求出答案.