天津市重点中学2023-2024学年高三年级上册统练2数学试题（含答案）

天津市重点中学2024届高三年级统练二

数学学科

温馨提示：本试卷包括第1卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，共150分，用时120分

第I卷选择题（共45分）

一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

1.若集合A=WI2x-3|£l）.ff贝『c,元素的个数是（）

A.2B.3C.4D,5

2.设℃贝y=3,是“直线g+2y+3a=°和直线3x+（"l）y=a-7平行”的（

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3,若。=logfi.b=2^,c=0.3”则（）

A.c>a>bB.a>b>cC.a>c>bD.b>a>c

5.已知E'"是两条不同的直线，a'y是三个不同的平面，则下列正确的是（）、

A.若m’anla贝严//nB,1X则叨夕

C.若m〃①叨a则m〃nD若叩/am/阳则a〃口

6.在等比数列中，‘⑪一"成等差数列，则二:"'

3

A.3B.C.9D.9

1

7.已知抛物线厂=4i的焦点F是双曲线:二一的右焦点，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于A,B两

点.若AABF是等边三角形，则双曲线的方程为（）

4———=18.———=1。・丁一T=1D・丁一丁=1

3443777y

8,下列物体不能被半径为2（单位：m）的球体完全容纳的有（）

A.所有棱长均为28m的四面体

B.底面棱长为1m,高为3.8m的正六棱锥

C.底面直径为1.6m,高为3.6m的圆柱

D.上、下底面的边长分别为Im,2m,高为3m的正四棱台

9.已知函数小）=8知”一由3（3>01的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（）

A.函数“X）的图象关于点（正*0）中心对称

-甘丁-

B.函数八、）的单调增区间为kitm(kWR

5n

C.函数的图象可由'=2SE31的图象向左平移立个单位长度得到

D.函数心）=fg）在（°*）上有2个零点，则实数’的取值范围为亍丁

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

_1-X

10.复数’一百的虚部为.

2

x-

(7)的展开式中的常数项为(用数字作答).

12.已知圆心在直线"'3V=0上的圆C与y轴的负半轴相切。且圆C截”轴所得的弦长为J?,则圆C的方

程为.

13.已知11>>⑶>1,且时=喉严的最大值为.

14.如图，在△4“中，2.AC=3,而"0=3.点口是直的中点，点E在边AC上，3AE5C8E交川。于

点尸，设8尸=乂8+刈牖”&),则竺?二；点0是线段BC上的一个动点，则的最大值

为.

f(x)=(X：2U1若对于任意实数0,方程八"二"有且只有一个实数根，且

15.己知,函数

力②<8,函数广六刊的图象与函数1m+r的图象有三个不同的交点，贝『的取值范围为.

三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题14分)在AABC中，角*8'的对边分别为5c=2。''

D

(I)求角的大小；

(II)若a<6=20,AABC的面积为3VM

fl.c

⑴求的值：

(ii)求a“(2C+8)的值.

17.(本小题15分)如图，在直三棱柱ABC-/.的中

的中点.

(I)求异面直线“g"所成角的余弦值；

pAEF

(II)求点到平面的距离；

3

(Ill)求平面'I"与平面日夹角的余弦值.

1

18.(本小题15分)己知椭圆84与椭圆C2有相同的离心率，椭圆C2焦点在y轴上且经过点

(1V2)

(I)求椭圆Cz的标准方程：

(H)设'为椭圆的的上顶点，经过原点的直线,交椭圆于J于P'Q,直线与椭圆J的另一个交点分别为

三

点M和T若44"用与^的面积分别为力和求以取值范围、

19.(本小题15分)己知数列1瓦)5"是数列"J的前n项和，己知对于任意“'都有

30„=25„+3,数列电)是等差数列，且b；+5M+Lb.-3成等比数列，

(I)求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式；

rfn=-^-nehr.fdlnT

(II)记求数列3J的前项和

c=A"»*«

(III)记”峥M为偈敷求£出田。；+1

f(x)=cP+—xlna(a>0.aw1)

20.(本小题16分)已知函数

(I)求函数fC)在点(°力°"处的切线方程;

(11)求函数"''单调增区间;

4

(Ill)若存在TH使得(e是自然对数的底数)，求实数”的取值范围.

高三数学统练2答案

一、单选题

123456789

ACDCACCBD

二、填空题

101112131415

135_19_

(x+3)2+(y+l)2=922V5-2,4

~2e-2；16

三、解答题

16、

解：(1)2bcosC=2a-c,

故2sinBcosC=2sinA-sinC,

BP2sinBcosC=2sinBcosC+2cosBsinC-sinC,

整理得至U2cosBsinC二sinC,

因为Ce(0,n),sinC*0,

故cosBq，

又Be(0,n),

IT

故B=^~；

(2)S=yacsinB=-^-ac=3V3,

故ac=12,

所以

009JC99

b=a+c-2accos_g-=a+c-ac=(a+c)-3ac=28

故a+c=8,

又avc,

解得a=2,c=6.

(3)

4J3

sin(2C+8)=sin2CcosB+cos2CsinB=———

17、

5

解：以A为坐标原点，而，而，瓦A；的方向分别

为o•轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标

系(图略),则A(O,O.O).A|(O,O,2),B(2,O,O),

Bi(2,0,2),C(0,2,0),E(0,2,l),F(l,l,0).

(1)易知A|B=(2»0»—2)»EF=(1»—1.—1),

cos0=|cos<A|B.EF>|=?__=

iQll荫

4_V6

2^X733°

(2)设平面AEF的一个法向量为n=(a,b,c),

VAE=(0,2,l),AF=(l,l,0),

(n•AE=0X令

得1,则

In•A户=0

6=-1,c=2,，〃=(1,—1,2)■又AK|=(2.

0⑵，

点当到平面AEF的距离为；"I=#.

(3)

平面AE3的法向量%=(2J，2)

余弦值"=瑞席

18、

由题意知椭圆C：士+《=1的离心率为e=9Z.故椭圆仁的离心率也为也，

8422

设椭圆G的方程为4+W=|(a>ft>0).则£=立,.•.I_£==2〃.

a'b2a2a2

即品+，=L将(1,Q)代入得奈+%=1"0=2.

则椭班G的方程为，■+:=1：

【小问2详解】

由于/为椭圆。的上顶点，故4(0,2).

不妨设P在第•象限以及x轴正半轴上，尸(/，儿),则。(一x°,一K)，则注+寸=1.

42

2ro2+%=4-y：_4-yj

由题意知直线AP存在斜率.设其方程为y=kx+2,ke|->/2.0).

则40的直线方程为y=-?x+2,

k

x2y2

T+T=.整理得(2左2+1)/+施=0.

联汇代线4,和椭恨|却的方程

y=kx+2

6

由题意知直线4P存在斜率.设其方程为y=Ax+2,Aw|-j2,0)，

则AQ的直线方程为y=-^-x+2,

'k

x2y2_

+-

联立直线4,和椭圆q的方程84.整理得(2后2+1)/+8去=0,

y=kx+2

5,4—8k—8k

解存*=赤？即*必=西

联立直线/尸和椭圆g的方程，T+T=l,整理得伊+2尸+4去=0.

y=kx+2

故凶Li=9=2("+2),同理可求得Ujyi=9=f(f.+—,

2

\AP\xp2炉+1\AQ\xQk+S

S=|/A/||/N|；8(A+2『

S2\AP^AQ\(2公+1乂炉+8)'

&_8-8/2_8

设/=3+2Jw(2,4］，则同—(2/-3)(r+6)-2/2+9/-18~,

，-189c,lI、？25

而——H----h2=-18o(z——)+.

由于;故丁=-1&；一，+1在；€由；)时单调递而

2

BP-18(y-l)+ye(2,^].

7

19.(1)当〃=1时，3q=2q+3,解得q=3.

当“22时，34T=2S,T+3,

所以3a”-3%=2a”=>2=3,

%

即｛4｝是以首先4=3,公比为3的等比数列，即为=3”.

因为4=log33=l,&+5,4+1也一3成等比数列，

所以(4+1)2=(3+5)(&-3),即(l+3d+l)2=(l+d+5)(l+5d-3),解得d=2.

所以b,,=l+2(〃-l)=2〃-L

q”+21_2(〃+2)-2

⑵由(1)得％=

a„an+fi„(2〃-1)(2〃+1)-3”

2M+2_1]__________1

(2M-1)(2M+1)-3"2(2n-l)-3,,-1(2n+l)-3"

则(广4+&+4+…+4

_l.11、，/11、，11、Z11、]

―2r1x3°―3x3'+(3x31.5x32+5x32.7x33+…+(2»-1)-3"-1'(2»+1)-3"

」(□________1)

21x3°(2M+1)-3H

_11

-2-2(2«+1)-3";

2〃

(3)E4Q+I=C|C2+c*3+…+C2“q“+i,

«=l

因为*G”+2用=4+=)=(2〃T(32”T+3*)=y(2W-l).9\

设4=(2/-1>9”，前〃项和为K“，

则K“=1x4+3x92+…+(2〃一l)x9",

9K“=1x9?+3x9,+…+(2〃-3)x9"+(2H-1)X9"+1,

设力=(2〃一1b9",前力项和为K.，

则K,,=1x9'+3x9?+…+(2〃-1)x9",

9K“=1x9?+3x93+…+(2〃-3)x9"+(2M-1)X9"+1,

.、81(1-9叫

-8^„=9+2(92+---+9,j-(2n-l),9"+1=9+2x—y-^-(2M-l)-9"+1

竺+S.9〃+l

3232

8

20、

试题分析：(I)可得k=/'(0)=0,又/(o)=l,得切线方程为y=l：(2)求出/'(x),/'(x)>0

得增区间，/'(力<0得减区间：(3)存在石西武—川，使得-1成立，等价于当

x€[-l,l]|/(^)-/(^2)|</(^)^-/(x)mjn,所以只要/(x)1Mx-/(x)m/e-l即可.

试题解析：(1)因为函数/(x)=a、+x2-xlna(a>0,awl),

所以f'(x)=axlna+2x-lna,/,(O)=O,

又因为f(0)=1,所以函数/(x)在点(。,/(0))处的切线方程为尸=1.

(2)由(1),f\x)=axlna+2x-lna=2x+^ax-ijlna,

因为当a>0,awl时，总有/'(x)在&上是增函数.

又/'(0)=0,所以不等式/'(x)>0的解集为(0,+8),

故函数/(X)的单调增区间为(0,+8),递减区间为(YO,0).

(3)因为存在芭,2式-1,1],使得|/(芭)-/(丐)|20-1成立，

而当xe[-1』时，|/(±)-/仁)|