2024年湖北省荆州市中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年湖北省荆州市中考数学一模试卷一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）在实数3.14159，，0，π，中，有理数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（3分）下列计算正确的是（）A．（﹣3ab2）2＝6a2b4 B．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0 C．﹣6a3b÷3ab＝﹣2a2b D．a2+a3＝a53．（3分）函数中自变量x的取值范围在数轴上可表示为（）A． B． C． D．4．（3分）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，下列关于该几何体三视图的描述：①主视图是中心对称图形；②左视图是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的是（）A．① B．② C．③ D．②③5．（3分）校篮球队员小亮训练定点投篮以提高命中率．如表是小亮一次训练时的进球情况：投篮数（次）50100150200…进球数（次）4081118160…则下列说法正确的是（）A．小亮每投10个球，一定有8个球进 B．小亮投球前8个进，第9，10个一定不进 C．小亮比赛中的投球命中率一定为80% D．小亮比赛中投球命中率可能超过80%6．（3分）如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章ABCDE上，若直尺的下沿MN⊥DE于点O，上沿PQ经过点E，则∠ABM的度数为（）A．152° B．126° C．120° D．108°7．（3分）若关于x的方程x2﹣4x+k+2＝0有两个不相等的实数根，则直线y＝（k﹣2）x+1不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（3分）在平面直角坐标系中，，B（1，0），将线段AB平移得到线段DC，点A，点C．若分别连接BC，DA得到四边形ABCD为菱形，则点D的坐标是（）A．（﹣1，0） B．（﹣1，0）或 C． D．或9．（3分）古希腊数学家曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法．如图，点A和点B分别表示埃及的西恩纳和亚历山大两地，两地的经度大致相同，且实际距离（的长），同一时刻在B地测量太阳光线偏离直射方向的角为α，实际测得α是7.2°．由此估算地球周长用科学记数法表示为（）A．4×104km B．2×104km C．4×103km D．2×105km10．（3分）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，OA＝OC，则下列结论：①abc＜0；②；③ac﹣b+1＝01+x2＝2；x1•x2＜0．其中正确的有（）A．①② B．②③ C．①③④ D．①④二、填空题（共5题，每题3分，共15分）11．（3分）将二次三项式x2﹣2x﹣3化为a（x+k）2+h的形式是．12．（3分）A，B，C，D四名选手参加赛跑，赛场共设1，2，3，选手以随机抽签方式决定各自的跑道，则A．13．（3分）已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OB于点N；（2）分别以点M，大于的长为半径画弧；（3）画射线OP，射线OP即为所求（如图）．从上述作法中可以判断△MOP≌△NOP，其依据是（在“SSS”“SAS”“AAS”“ASA”中选填）14．（3分）已知是二元一次方程组的解，则．15．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，点A的对应点为点D，点E在△ABC内，当∠CBE＝∠BAC时，AC＝4，则AF的长为．三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（6分）先化简，再求值：，其中．17．（6分）如图，在△ABC中，点D，AC边的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于F，求证：DF＝AC．18．（6分）如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10m，坡面AC的坡角为45°．为了方便行人推车过天桥，使新坡面CD的坡度，若新坡底D处需留3m的人行道（参考数据：，）19．（8分）某中学举办七、八年级全体学生的安全知识比赛活动后，从这两个年级分别随机抽取10名学生的比赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．x≤85；B．85＜x≤90；C．90＜x≤95；D．95＜x≤100），82，86，90，95，99，99；八年级10名学生的比赛成绩在C组中的数据是：94，91七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表平均数中位数众数满分率七年级9292.5c10%八年级92b9930%（1）a＝；b＝；c＝；根据以上信息，解答下列问题：（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生体育技能水平更好？请说明一条理由；（3）该校七年级有1800人，八年级有1900人参加了此次比赛，请估计参加此次比赛获得成绩优秀（x＞95）20．（8分）【实验操作】在如图所示的串联电路中，用一固定电压为15V的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小L＝2Ω）亮度．已知电流I与电阻R，RL之间关系为，通过实验得出如下数据：R/Ω…1234n6…I/A…5m…（1）填写：m＝，n＝；【探究观察】（2）根据以上实验，构建出函数（x≥0），①在平面直角坐标系中画出对应函数（x≥0）的大致图象，写出该函数的一条性质；【拓展应用】（3）结合函数图象，直接写出不等式21．（8分）如图，AB是半圆O的直径，过AB的延长线上的一点P作半圆O的切线，连接AC，过弦AC上的点E（不与点C重合），交直线PC于F．（1）请判断△CEF形状，并说明理由；（2）若CP＝12，AP＝16，求弦AC的长．22．（10分）今年荆州马拉松比赛召开前，某体育用品专卖店抓住商机，计划购进A，A种跑鞋的进价比B种跑鞋的进价每双多150元，A，B两种跑鞋的售价分别是每双550元（1）求A，B两种跑鞋的进价分别是多少元？（2）该体育用品专卖店根据以往销售经验，决定购进A种跑鞋的数量不多于B种跑鞋的，销售时对B种跑鞋每双降价25%出售．若这批跑鞋能全部售完23．（11分）如图2，将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在对角线BD上，B的对应点分别记为A′，B′，BC分别交于点E，F．（1）如图1，当点B′与点D重合时，请判断四边形BEDF的形状；（2）如图2，当AB＝4，AD＝8，求tan∠B′FC的值；（3）如图3，当A′B′∥AC时，试探究AB与BC之间的数量关系．24．（12分）如图，已知经过点A（﹣2，0）和B（x，0）（x＞﹣2）与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D．（1）请用含m的代数式表示n和点D的坐标；（2）设直线EF垂直平分OC，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F，DF，∠CFD＝90°；（3）若在（2）的条件下，若点Q是抛物线上在y轴右侧的一个动点，点Q到抛物线对称轴和直线CD的距离分别是d1，d2，且d＝d1﹣d2，①求d关于t的函数解析式；②当0＜d≤1时，直接写出t的取值范围．

2024年湖北省荆州市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）在实数3.14159，，0，π，中，有理数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵3.14159，0，﹣是有理数，∴有理数的个数为3个，故选：C．2．（3分）下列计算正确的是（）A．（﹣3ab2）2＝6a2b4 B．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0 C．﹣6a3b÷3ab＝﹣2a2b D．a2+a3＝a5【解答】解：A．（﹣3ab2）4＝9a2b5，故本选项不符合题意；B．（a2）3﹣（﹣a8）2＝a6﹣a8＝0，故本选项符合题意；C.6a5b÷3ab＝﹣2a5，故本选项不符合题意；D．a2+a3不能计算，故本选项不符合题意；故答案为：B．3．（3分）函数中自变量x的取值范围在数轴上可表示为（）A． B． C． D．【解答】解：∵函数有意义，∴x+2＞2，解得：x＞﹣2，故在数轴上可表示为：．故选：A．4．（3分）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，下列关于该几何体三视图的描述：①主视图是中心对称图形；②左视图是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的是（）A．① B．② C．③ D．②③【解答】解：如图所示：左视图是轴对称图形．故主视图不是中心对称图形，故①说法错误；左视图是轴对称图形，故②说法正确；③俯视图是中心对称图形，不是轴对称图形．故选：B．5．（3分）校篮球队员小亮训练定点投篮以提高命中率．如表是小亮一次训练时的进球情况：投篮数（次）50100150200…进球数（次）4081118160…则下列说法正确的是（）A．小亮每投10个球，一定有8个球进 B．小亮投球前8个进，第9，10个一定不进 C．小亮比赛中的投球命中率一定为80% D．小亮比赛中投球命中率可能超过80%【解答】解：A、小亮每投10个球，故本选项错误；B、小亮投球前8个进、10个不一定不进，不合题意；C、小亮比赛中的投球命中率可能为80%，不合题意；D、小亮比赛中投球命中率可能为100%，符合题意；故选：D．6．（3分）如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章ABCDE上，若直尺的下沿MN⊥DE于点O，上沿PQ经过点E，则∠ABM的度数为（）A．152° B．126° C．120° D．108°【解答】解：由题意可得∠AED＝∠A＝（5﹣2）×180°÷7＝108°，∵MN⊥DE，∴∠BOE＝90°，∴四边形ABOE中，∠ABO＝360°﹣90°﹣108°﹣108°＝54°，∴∠ABM＝180°﹣∠ABO＝180°﹣54°＝126°，故选：B．7．（3分）若关于x的方程x2﹣4x+k+2＝0有两个不相等的实数根，则直线y＝（k﹣2）x+1不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：根据题意得：Δ＝（﹣4）2﹣3（k+2）＝﹣4k+2＞0，解得k＜2．则k﹣7＜0，则直线y＝（k﹣2）x+6不经过第三象限．故选：C．8．（3分）在平面直角坐标系中，，B（1，0），将线段AB平移得到线段DC，点A，点C．若分别连接BC，DA得到四边形ABCD为菱形，则点D的坐标是（）A．（﹣1，0） B．（﹣1，0）或 C． D．或【解答】解：如图，当C（0，D（﹣1，），D（1，2，四边形ABCD满足条件．故选：B．9．（3分）古希腊数学家曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法．如图，点A和点B分别表示埃及的西恩纳和亚历山大两地，两地的经度大致相同，且实际距离（的长），同一时刻在B地测量太阳光线偏离直射方向的角为α，实际测得α是7.2°．由此估算地球周长用科学记数法表示为（）A．4×104km B．2×104km C．4×103km D．2×105km【解答】解：如图：由题意得：OA∥BC，∴∠AOB＝α＝7.2°，设地球的半径为rkm，∵的长为800km，∴＝800，解得：πr＝，∴2πr＝＝40000＝4×107（km），∴估算地球周长为4×104km，故选：A．10．（3分）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，OA＝OC，则下列结论：①abc＜0；②；③ac﹣b+1＝01+x2＝2；x1•x2＜0．其中正确的有（）A．①② B．②③ C．①③④ D．①④【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝7，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞4，∴abc＜0，故①正确．∵点A到直线x＝1的距离大于6，∴点B到直线x＝1的距离大于1，即点B在（8，0）的右侧，∴当x＝2时，y＞8，即4a+2b+c＞8，∴a+b+，故②错误．∵C（0，c），∴A（﹣c，3），∴ac2﹣bc+c＝0，即ac﹣b+6＝0．由A（x1，4），B（x2，0），∴x8、x2是方程ax2+bx+c＝7的两个根，有x1+x2＝﹣＝2，x1•x2＝＜6．故选：C．二、填空题（共5题，每题3分，共15分）11．（3分）将二次三项式x2﹣2x﹣3化为a（x+k）2+h的形式是（x﹣1）2﹣4．【解答】解：x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣8﹣12＝（x﹣6）2﹣4，故答案为：（x﹣3）2﹣4．12．（3分）A，B，C，D四名选手参加赛跑，赛场共设1，2，3，选手以随机抽签方式决定各自的跑道，则A．【解答】解：画树状图如下：由图可知，共有12种等可能的结果、B两位选手抽中相邻跑道的结果有（1，（2，（6，（3，（3，（5，共6种，∴A、B两位选手抽中相邻跑道的概率为＝，故答案为：．13．（3分）已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OB于点N；（2）分别以点M，大于的长为半径画弧；（3）画射线OP，射线OP即为所求（如图）．从上述作法中可以判断△MOP≌△NOP，其依据是SSS（在“SSS”“SAS”“AAS”“ASA”中选填）【解答】解：由作法得OM＝ON，PM＝PN，∵OP为公共边，∴△MOP≌△NOP（SSS）．故答案为：SSS．14．（3分）已知是二元一次方程组的解，则2．【解答】解：把代入二元一次方程组，由②得：a＝8b﹣1，把a＝2b﹣7代入①得：b＝2，把b＝2代入a＝2b﹣1得：a＝3，∴＝＝9﹣3＝8，∴的立方根为：2，故答案为：8．15．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，点A的对应点为点D，点E在△ABC内，当∠CBE＝∠BAC时，AC＝4，则AF的长为．【解答】解：延长BE交AC于点G，作GH⊥AF于点H，∵AF⊥DE于点F，∴∠EFH＝90°，∵∠C＝90°，BC＝3，∴AB＝＝＝5，由旋转得∠AED＝∠C＝90°，BE＝BC＝7，∴∠FEG＝90°，∴四边形EFHG是矩形，∵∠CBE＝∠BAC，∴＝tan∠CBE＝tan∠BAC＝＝，＝，∴GC＝BC＝，BG＝×5＝，∴GA＝AC﹣GC＝4﹣＝，FH＝EG＝BG﹣BE＝，∵∠EGH＝90°，∴∠AGH＝∠CBE＝90°﹣∠BGC，∴∠AGH＝∠BAC，∵∠AHG＝∠C＝90°，∴△GAH∽△ABC，∴＝，∴AH＝＝＝，∴AF＝AH+FH＝+＝，故答案为：．三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（6分）先化简，再求值：，其中．【解答】解：原式＝＝•＝，∵，∴原式＝．17．（6分）如图，在△ABC中，点D，AC边的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于F，求证：DF＝AC．【解答】证明：∵点D，点E分别为AB，∴DE∥BC，AD＝BD，∵CF∥AB，∴DF∥BC，CF∥BD，∴四边形DBCF为平行四边形，∴FC＝BD，∴FC＝AD，∵AB⊥CD，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠FCD＝∠BDC＝90°，∴∠FCD＝∠ADC，在△FCD和△ADC中，，∴△FCD≌△ADC（SAS），∴DF＝AC．18．（6分）如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10m，坡面AC的坡角为45°．为了方便行人推车过天桥，使新坡面CD的坡度，若新坡底D处需留3m的人行道（参考数据：，）【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝10，则AB＝BC＝10米，在Rt△DBC中，坡面CD的坡度i＝1：，则BC：AB＝6：，∵BC＝米，∴BD＝BC＝10米，∴AD＝BD﹣AB＝10﹣10≈3.32（米），∵3+7.32＞10，∴离原坡角10m的建筑物应拆除，答：离原坡角10m的建筑物应拆除．19．（8分）某中学举办七、八年级全体学生的安全知识比赛活动后，从这两个年级分别随机抽取10名学生的比赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．x≤85；B．85＜x≤90；C．90＜x≤95；D．95＜x≤100），82，86，90，95，99，99；八年级10名学生的比赛成绩在C组中的数据是：94，91七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表平均数中位数众数满分率七年级9292.5c10%八年级92b9930%（1）a＝40；b＝94；c＝99；根据以上信息，解答下列问题：（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生体育技能水平更好？请说明一条理由；（3）该校七年级有1800人，八年级有1900人参加了此次比赛，请估计参加此次比赛获得成绩优秀（x＞95）【解答】解：（1）由题意得，a%＝1﹣10%﹣20%﹣，即a＝40；把八年级10名学生的比赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是94，故中位数b＝；七年级10名学生的比赛成绩中，99出现的次数最多．故答案为：40；94；（2）八年级学生体育技能水平更好，理由如下：因为两个年级的平均数相同，但八年级中位数和满分率比七年级高；（3）样本中七年级成绩优秀（x＞95）占比：4÷10×100%＝40%，样本中八年级成绩优秀（x＞95）占比：40%，1800×40%+1900×40%＝1480（人）．答：估计此次比赛获得成绩优秀的学生人数大约为1480人．20．（8分）【实验操作】在如图所示的串联电路中，用一固定电压为15V的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小L＝2Ω）亮度．已知电流I与电阻R，RL之间关系为，通过实验得出如下数据：R/Ω…1234n6…I/A…5m…（1）填写：m＝3，n＝5；【探究观察】（2）根据以上实验，构建出函数（x≥0），①在平面直角坐标系中画出对应函数（x≥0）的大致图象，写出该函数的一条性质；【拓展应用】（3）结合函数图象，直接写出不等式【解答】解：（1）根据题意得：m＝＝2，，解得：n＝2，故答案为：3，5；（2）①作图为：②由图象可知：函数值y随x的增大而减小或函数有最大值，没有最小值等；（3）由函数图象知，的解集为：x≥4或x＝3．21．（8分）如图，AB是半圆O的直径，过AB的延长线上的一点P作半圆O的切线，连接AC，过弦AC上的点E（不与点C重合），交直线PC于F．（1）请判断△CEF形状，并说明理由；（2）若CP＝12，AP＝16，求弦AC的长．【解答】解：（1）△ECF是等腰三角形．理由：连接OC，如图，∵PC是切线，∴OC⊥PC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCA+∠ECF＝90°，∵FD⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠A+∠AED＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∴∠ECF＝∠AED．∵∠AED＝∠FEC，∴∠FEC＝∠ECF，∴FE＝FC．∴△ECF是等腰三角形；（2）连接CB，如图，∵OC⊥PC，∴∠OCP＝∠OCB+∠BCP＝90°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴∠OCB+∠BCP＝∠A+∠ABC，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB，∴∠A＝∠BCP．又∵∠P＝∠P，∴△BCP∽△CAP，∴，又∵CP＝12，AP＝16，∴BP＝9，，∴AB＝AP﹣BP＝7，又∵AB2＝BC6+AC2，即，解得：．22．（10分）今年荆州马拉松比赛召开前，某体育用品专卖店抓住商机，计划购进A，A种跑鞋的进价比B种跑鞋的进价每双多150元，A，B两种跑鞋的售价分别是每双550元（1）求A，B两种跑鞋的进价分别是多少元？（2）该体育用品专卖店根据以往销售经验，决定购进A种跑鞋的数量不多于B种跑鞋的，销售时对B种跑鞋每双降价25%出售．若这批跑鞋能全部售完【解答】解：（1）设每双A种跑鞋的进价是x元，则每双B种跑鞋的进价是（x﹣150）元．根据题意，得＝1.5×，解得x＝450，经检验，x＝450是所列分式方程的根，450﹣150＝300（元），∴每双A种跑鞋的进价是450元，每双B种跑鞋的进价是300元．（2）设购进A种跑鞋a双，则购进B种跑鞋（80﹣a）双．根据题意，得a≤，解得a≤32．设这批跑鞋全部售完获利W元，则W＝（550﹣450）a+[500×（1﹣25%）﹣300]（80﹣a）＝25a+6000，∵25＞4，∴W随a的增大而增大，∵a≤32，∴当a＝32时，W值最大，W最大＝25×32+6000＝6800，此时购进B种跑鞋80﹣32＝48（双），∴购进A种跑鞋32双、B种跑鞋48双才能获利最大．23．（11分）如图2，将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在对角线BD上，B的对应点分别记为A′，B′，BC分别交于点E，F．（1）如图1，当点B′与点D重合时，请判断四边形BEDF的形状；（2）如图2，当AB＝4，AD＝8，求tan∠B′FC的值；（3）如图3，当A′B′∥AC时，试探究AB与BC之间的数量关系．【解答】解：（1）当点B′与点D重合时，四边形BEDF是菱形设EF与BD交于点O，如图1，由折叠得：EF⊥BD，∴∠BOF＝∠DOE＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠OBF＝∠ODE，∴△BFO≌△DEO（ASA