2023-2024学年云南大学附中九年级（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年云南大学附中九年级（下）开学数学试卷

一.选择题（共14小题）

1.下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

3.作为世界文化遗产的长城，其总长大约为6700000〃?.将6700000用科学记数法表示为

（）

A.6.7X105B.6.7X106C.0.67X107D.67X108

4.下列计算正确的是（）

A.2aX3a=5«B.（-a3）2=a6

C.6a4-2a=3aD.（-2a）3=-6a3

5.已知一个多边形的内角和是900。，则这个多边形是（）

A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形

6.某校随机抽查了10名参加2017年云南省初中学业水平考试学生的体育成绩，得到的结

果如表：

成绩（分）4647484950

人数（人）12124

下列说法正确的是（）

A.这10名同学的体育成绩的平均数为48

B.这10名同学的体育成绩的中位数为48

C.这10名同学的体育成绩的方差为50

D.这10名同学的体育成绩的众数为50

7.由5个完全相同的正方体组成的几何体的主视图是（)

从正面看

A.

8.

D.TLi」i)1.

-2-101234

9.按一定规律排列的单项式：a,-2a,4a,-8a,16a,-32a,•••,第〃个单项式是()

A.(-2)n''aB.(-2)naC.2n'aD.2na

10.如图，在△ABC中，D、E分别为线段8C、BA的中点，设△ABC的面积为Si,AEBD

s

的面积为S2,则£■2=()

S1

11.某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木.该活动开始后,

实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需

时间相同.设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是（）

A400300R300400

x-50xx-50x

C400300D300400

x+50xx+50x

12.如图，C,。是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD=6,则阴影部分的面积是（）

13.如图，在AABC中，ZC=90°,ZA=3O°,以点B为圆心，适当长为半径画弧，分

别交BA,BC于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧

交于点P，作射线5P交AC于点D若AC=12,则在△ABO中AB边上的高为（）

14.如果矩形ABCD满足坐=立1,那么矩形ABC力叫做“黄金矩形”.如图，己知矩

BC2

形ABCQ是黄金矩形，对角线AC,8。相交于。且BC=2,则关于黄金矩形ABC£）,下

列结论不正确的是（）

AD

A.AC=BD

nsV5-1

2

C.AC=8-2>/5

D.矩形4BC。的周长C=2遥+2

二.填空题（共5小题）

15.若式子工半有意义，则x的取值范围是

2---------

16.分国军因式：3m2-2m-16=.

17.如图，已知，OC，A8,Zl=58°24,，则N2=

a

18.计算：74

a?-2a+l

19.已知四边形ABC。是矩形，点E是矩形ABC。的边上的点，且E4=EC.若AB=6,

AC=2，i5，则DE的长是

三.解答题（共8小题）

20.(1)计算：V8-2sin45°+(2-TC)°-(y)~2

(2)解方程：—1=-^-

3x-l6x-2

21.如图，已知AO=8C,BD=AC.求证：ZADB=ZBCA.

22.有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2,4,6；另

有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1,3,5的三个完全相同的小球.小杰先转动

一次转盘，停止后记下指针指向的数字(若指针指在分界线上则重转)，小玉再从瓶子

中随机取出一个小球，记下小球上的数字.

(I)请用列表或画树状图的方法(选其中一种)表示出所有可能出现的结果；

(2)若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则

小玉赢，此游戏公平吗？为什么？

23.某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒.若购买9桶甲消毒液和6

桶乙消毒液，则一共需要615元；若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780

元.

(1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？

(2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液。桶，且甲消毒液

的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍.怎样购买，才

能使总费用W最少？并求出最少费用.

24.为积极落实“双减”政策，让作业布置更加精准高效，某市教育部门对友谊中学九年级

部分学生每天完成作业所用的时间进行调查，并用得到的数据绘制了如下不完整的统计

图，根据图中信息解答下列问题：

调查部分学生每天完成作业所用时间的统计图

图1图2

(1)本次共调查了名学生，并补全上面条形统计图.

(2)本次抽查学生每天完成作业所用时间的中位数为；众数为

(3)该校九年级有1700名学生，请你估计九年级学生中，每天完成作业所用时间为2

小时的学生约有多少人？

25.如图，在平行四边形ABCD中，连接BO,E为线段AO的中点，延长BE与的延长

线交于点F,连接AF,ZBDF=90°.

(1)求证：四边形ABOF是矩形；

26.如图，已知AB是。0的直径，点C在。。上，过点C的直线与AB的延长线交于点P,

AC=PC,ZCOB=2ZPCB.

(1)求证：PC是。。的切线；

(2)求证：BC=—AB；

2

(3)点M是标的中点，CM交AB于点N,若AB=4,求的值.

27.已知抛物线)，=-2x2+fev+c经过点(0,-2),当x<-4时，)，随x的增大而增大，当

-4B寸，y随x的增大而减小.设r是抛物线y=-2%2+bx+c与x轴的交点(交点也称

公共点)的横坐标，m=r+r-2r+1

r+60r-1

(1)求b、c的值；

(2)求证：r4-2产+1=60/2；

(3)以下结论：m<\,m=\,m>\,你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论.

参考答案

一.选择题(共14小题)

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；

B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

。、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意.

故选：A.

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决

问题的关键.

2.如图，直线c与直线a、b都相交.若a〃b,Zl=55°,则N2=()

C.50°D.45°

【分析】由对顶角相等可得，/3=/1=55°,又〃〃4由两直线平行，同位角相等可

得，Z2=Z3=55°.

解：如图,

2

VZ1=55°,N1和N3是对顶角,

.\Z3=Z1=55°,

■：a//b,

.*.Z2=Z3=55°.

故选：B.

【点评】本题主要考查平行线的性质，对顶角相等等内容，题目比较简单，掌握相关定

理可快速解答.

3.作为世界文化遗产的长城，其总长大约为6700000/n.将6700000用科学记数法表示为

()

A.6.7X105B.6.7X106C.0.67X107D.67X108

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为"X10",其中lW|a|V10,“为整数,

据此判断即可.

解：6700000=6.7X106.

故选：B.

【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为"X10",其中1W|4|

<10,确定。与”的值是解题的关键.

4.下列计算正确的是()

A.2ax3a=5aB,(-a3)2=a6

C.6a-r2a—3aD.(-2a)3=-6a3

【分析】直接利用整式乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案.

解：A、2aX3a=6a2,故此选项错误；

B、(-a3)2=/,正确；

C、6a-r-2a—3,故此选项错误；

D、(-2。)3=-8加，故此选项错误;

故选：B.

【点评】此题主要考查了整式乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解

题关键.

5.已知一个多边形的内角和是900。，则这个多边形是（）

A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形

【分析】设这个多边形是“边形，内角和是5-2）780。，这样就得到一个关于〃的

方程，从而求出边数”的值.

解：设这个多边形是〃边形，

则（«-2）780°=900°,

解得：”=7,

即这个多边形为七边形.

故选：C.

【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决.

6.某校随机抽查了10名参加2017年云南省初中学业水平考试学生的体育成绩，得到的结

果如表：

成绩（分）4647484950

人数（人）12124

下列说法正确的是（）

A.这10名同学的体育成绩的平均数为48

B.这10名同学的体育成绩的中位数为48

C.这10名同学的体育成绩的方差为50

D.这10名同学的体育成绩的众数为50

【分析】结合表格给出的数据，再根据众数、平均数、中位数的概念分别进行求解即可

得出答案.

解：A、这10名同学的体育成绩的平均数为46+47义2+48；49X2+50X4=48.6,故本

选项错误；

8、这10名同学的体育成绩的中，第5和第6名同学的成绩的平均值为中位数，中位数

为：强%=49,故本选项错误；

C、方差=—[(46-48.6)2+2X(47-48.6)2+(48-48.6)2+2X(49-48.6)2+4X(50

10

-48.6）2产50,故本选项错误;

。、10名学生的体育成绩中50分出现的次数最多，众数为50,故本选项正确;

故选：D.

【点评】本题考查了众数、平均数、中位数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的

关键.

7.由5个完全相同的正方体组成的几何体的主视图是（）

从正面看

'rrfiC.D.

【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案.

解：由5个完全相同的正方体组成的几何体的主视图是

故选：A.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图.

8.)

B.

-2-10

C.

-2-10

D.

-2-10123

【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即

可.

x+l>0①

；解不等式①得：%>-1,

解不等式②得：xW3,

不等式组的解集是-1<XW3,

在数轴上表示为：I；1!［二__________>,

^101234y

故选：B.

【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等

式组的解集是解此题的关键.

9.按一定规律排列的单项式：a,-2a,4a,-8a,16a,-32a,•••,第〃个单项式是()

A.(-2)n'laB.(-2)n«C.2"-'aD.2"a

【分析】根据题意，找出规律：单项式的系数为(-2)的辕，其指数为比序号数少1,

字母为

解：'.'a—(-2)1-'a,

-2a=(-2)2-%,

4a=(-2)3la,

-8a=(-2)4'a,

16a—(-2)5''a,

-32a=(-2)61a,

由上规律可知，第〃个单项式为：(-2)"%.

故选：A.

【点评】本题主要考查了单项式的有关知识，在解题时要能通过观察得出规律是本题的

关键.

10.如图，在AABC中，D、E分别为线段8C、BA的中点，设aABC的面积为Si,AEBD

s

的面积为52,则管2=()

S1

A

【分析】根据三角形的中位线定理，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可.

解：在△ABC中，。、E分别为线段8C、BA的中点，

为△ABC的中位线，

J.DE//AC,DE^—AC,

2

..ED_1

，AC-'2，

.SABED_1

•.-----=—>

SABAC4

故选：B.

【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质，熟练掌握这些性质

和定理是解决本题的关键.

11.某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木.该活动开始后,

实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需

时间相同.设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是（）

A4003000300400

x-50xx-50x

C400300D300400

x+50xx+50x

【分析】根据实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，可以列出相

应的分式方程，本题得以解决.

解：由题意可得，

400二300

xx-50

故选：B.

【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量

关系，列出相应的方程.

12.如图，C,。是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD=6,则阴影部分的面积是（）

【分析】连接OC、0D,根据C,。是以AB为直径的半圆周的三等分点，可得NC。。

=60°,△。。是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积求解即可.

解：如图，连接OC、OD.

VC,。是以A8为直径的半圆周的三等分点，

...NAOC=/COO=/OOB=60°,

又：OC=OD,

△08是等边三角形，

r.ZOCD=ZAOC=（）0°,OC=CD=6,

：.CD//AB,

***S44CO=S^OCDf

.c_c60^x62Z

360

故选：D.

【点评】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形

0C。的面积，难度一般.

13.如图，在△ABC中，NC=90°,NA=30°,以点B为圆心，适当长为半径画弧，分

别交8A,BC于点N,再分别以点M,N为圆心，大于AMN的长为半径画弧，两弧

交于点P，作射线8P交AC于点O.若AC=12,则在△ABZ）中AB边上的高为（)

A.3B.4C.5D.6

【分析】作。于E,利用8。是角平分线以及直角三角形30°所对的直角边是斜

边的一半即可求解.

解：作。于E.如图：

由作图可知，20是AABC的角平分线，

：.DE=CD,

：N4=30°,NAED=90°,

：.AD=2DE,

；AC=12,

：.AD+DC=2DE+DE=12,

；.OE=4.

故选：B.

【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形，以及30°角的直角三角形三边的关系,

解答本题的关键在于利用其性质进行解答.

14.如果矩形ABCD满足坐=立-1,那么矩形ABC。叫做“黄金矩形”.如图，已知矩

BC2

形ABC。是黄金矩形，对角线AC,BO相交于。且BC=2,则关于黄金矩形ABC。，下

列结论不正确的是（）

AD

A.AC=BD

nsV5-1

2

C.AC=8-2遥

D.矩形ABC。的周长C=2jg+2

【分析】根据矩形的性质可得/ABC=90°,AC=BD,再利用黄金矩形的定义求出求出

A8的长，从而在RtZXABC中，利用勾股定理求出AC的长，然后利用矩形的周长公式求

出矩形的周长，再求出△AOB的面积，逐一判断即可解答.

解：•••四边形A8CQ是矩形，

AZABC=90°,AC=BD,

•.•四边形A8CZ)是黄金矩形，且绘汽1BC=2,

BC2

.*.AB=y-1,

；•AC=VAB2+BC2=V(V5-l)2+22=V10-2V5，

二矩形ABC。的周长=2(AB+BC)=2X(5/5-1+2)=2y+2,

△AOB的面积=4■矩形ABCD的面积=1A8・BC=2X(J5-1)X2=^-1,

4442

故A、B、。都不符合题意，C符合题意：

故选：C.

【点评】本题考查了矩形的性质，黄金分割，三角形的面积，熟练掌握矩形的性质，以

及黄金分割的定义是解题的关键.

二.填空题(共5小题)

15.若式子运L有意义，则x的取值范围是x2-l.

2

【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于X的不等式，求出X的取值范围即可.

解：•.•式子空L有意义，

2

20,

解得工2-1.

故答案为：X，-1.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0.

16.分解因式：37n2-2/n-16=(wi+2)(3加-8).

【分析】直接利用ax^+bx+c(a#0)型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项

系数〃分解成两个因数0,。2的积GF2,

把常数项C分解成两个因数Cl,C2的积Cl"2,并使0C2+42C1正好是一次项那么可以

直接写成结果：ax2+hx+c—(aix+ci)(〃>+。2).

解：原式=(m+2)(3>n-8).

故答案为：(〃?+2)(3%-8).

【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确将常数项以及二次项系数分解得出

是解题关键.

17.如图，己知，OC_LA8,Zl=58°24，，则/2=31°36'.

【分析】根据垂直定义求出/8OC=90°,进而求出N2的度数.

解：VOCLAB,

.,.ZBOC=90°,

：N1=58°24',

AZ2=90°-58°24'=31°36'.

故答案为:31°36'.

【点评】本题考查垂线和度分秒的换算,理解互相垂直的意义是解决问题的关键.

a.a

18.计算:a-1

"Ia2-2a+l

【分析】根据分式的除法法则先把除法转化成乘法，再进行约分即可.

解：原式

a-1a

=a-1.

故答案为：a-\.

【点评】此题考查了分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键.

19.已知四边形A8CD是矩形，点E是矩形ABC。的边上的点，且EA=EC.若AB=6,

AC=2A/10，则DE的长是_合孕_鳄

OO

【分析】由勾股定理可求BC=2,分点E在C。上或在4B上两种情况讨论，由勾股定理

可求解.

解：如图，

：.CD=AB=6,AD=BC,/ABC=NAZ）C=90°,

BC=VAC2-AB2=V40-36=2,

：.AD=2,

当点E在CD上时，

,：AE^=DE2+AD2^EC2,

：.（6-DE）2=£>£?+4,

：.DE^~

3

当点E1在AB上时，

,/CE2=BE'2+BC2=E'A2,

；.4£2=（6-AE）2+4,

3______

•，.DE=VAD2+E/A2=J44^'=?孥“，

综上所述：DE=ZZ11或4，

33

故答案为：2叵或

33

【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.

三.解答题（共8小题）

20.⑴计算：Vs-2sin450+（2-兀）°

4严

(2)解方程:含-喘

【分析】(1)原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第

三项利用零指数累法则计算，最后一项利用负整数指数幕法则计算即可得到结果;

(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到

分式方程的解.

解：(1)原式=2-\/2-2X—+1-9=A/2-8;

(2)去分母得：4-6x+2=3,

解得：x~^,

经检验是分式方程的解.

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

21.如图，已知AO=BC,BD=AC.求证：NADB=NBCA.

【分析】根据SSS推出△ADB和△BCA全等，再根据全等三角形的性质得出即可.

［解答】证明：在XADB和△8CA中，

'AD=BC

"BD=AC>

AB=BA

A(SSS),

：.NADB=NBCA.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质.解题的关键是掌握全等三角形的性质和

判定的运用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等.

22.有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2,4,6；另

有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1,3,5的三个完全相同的小球.小杰先转动

一次转盘，停止后记下指针指向的数字(若指针指在分界线上则重转)，小玉再从瓶子

中随机取出一个小球，记下小球上的数字.

（1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果；

（2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则

小玉赢，此游戏公平吗？为什么？

【分析】（1）利用列表法表示所有可能出现的结果情况，

（2）列出两次得数之和的所有可能的结果，得出“和为3的倍数”“和为7的倍数”的

概率即可.

解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

摸铲、246

12,14,16,1

32,34,36,3

52,54,56,5

共有9种不同结果，即(2,1)(2.3)(2,5)(4,1)(4,3)(4,5)(6,1)(6,

3)(6,5)；

（2）列出两次得数之和的所有可能的结果如下:

摸铲、246

12+1=34+1=56+1=7

32+3=54+3=76+3=9

52+5=74+5=96+5=11

共有9种可能出现的结果，其中“和为3的倍数”的有3种，”和为7的倍数”的有3

种，

=工

P，小九胜，P(d'rKB>=3

因此游戏是公平的.

【点评】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每

一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件.

23.某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒.若购买9桶甲消毒液和6

桶乙消毒液，则一共需要615元；若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780

元.

(1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？

(2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液。桶，且甲消毒液

的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍.怎样购买，才

能使总费用卬最少？并求出最少费用.

【分析】(1)根据购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元：若购买8桶

甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元，可以列出相应的二元一次方程组，然后

求解即可;

(2)根据题意，可以写出W与。的函数关系式，根据甲消毒液的数量至少比乙消毒液

的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，可以得到a的取值范围，再根据一次

函数的性质，即可得到W的最小值.

解：(1)设每桶甲消毒液价格为x元，每桶乙消毒液的价格为y元,

9x+6y=615

由题意可得：

8x+12y=780,

(x=45

解得

ly=35

答：每桶甲消毒液价格为45元，每桶乙消毒液的价格为35元;

(2)由题意可得,

卬=45a+35(30-a)=10。+1050,

二卬随a的增大而增大，

V甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，

Ja>30-a+5

Ia<2(30~a)

解得17.5W“W20,

为整数，

...当。=18时，卬取得最小值，此时W=1230,30-。二⑵

答：购买甲消毒液18桶，乙消毒液12桶时，才能使总费用W最少，最少费用是1230

元.

【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，

解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组，写出相应的函数解析式，

利用一次函数的性质求最值.

24.为积极落实“双减”政策，让作业布置更加精准高效，某市教育部门对友谊中学九年级

部分学生每天完成作业所用的时间进行调查，并用得到的数据绘制了如下不完整的统计

图，根据图中信息解答下列问题：

调查部分学生每天完成作业所用时间的统计图

（2）本次抽查学生每天完成作业所用时间的中位数为1.5；众数为1.5.

（3）该校九年级有1700名学生，请你估计九年级学生中，每天完成作业所用时间为2

小时的学生约有多少人？

【分析】（1）用天完成作业所用时间为1小时的学生人数除以30%可得样本容量，再用

样本容量分别减去其他三组的人数可得“L5小时”的人数，并补全条形统计图即可；

（2）根据条形统计图分析出中位数和众数；

（3）用样本中每天完成作业所用时间为2小时的学生的比例乘总人数即可.

解：（1）本次调查的人数为：304-30%=100（人），

完成作业时间为1.5小时的有：100-12-30-18=40（人），

补全的条形统计图如图所示：

调介部分学'I加大.成f1业所用时间的统计图

故答案为：100;

（2）由（1）中的条形统计图可知，抽查学生完成作业所用时间的众数是1.5,

V1004-2=50,则中位数是1.5,

故答案为：1.5,1.5；

(3)1700XH-=306(名)，

100

答：估计九年级学生中，每天完成作业所用时间为2小时的学生约有306人.

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统

计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;

扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

25.如图，在平行四边形ABC。中，连接8D,E为线段的中点，延长8E与C。的延长

线交于点F,连接AF,NBDF=90。.

(1)求证：四边形A3。尸是矩形；

(2)若AO=5,DF=3,求四边形ABCF的面积S.

【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形，得NBAE=/FDE,而点E是A£>的中点，

可得△BE4丝△下££>(ASA),即知EF=£B,从而四边形A3。尸是平行四边形，又NBDF

=90°,即得四边形A8OF是矩形；

(2)由NA/7)=9(r,AB=DF=3,AF=BD,得S

AHDF=DF9AF=12,四边形ABC。是平行四边形，得C£>=48=3,从而SMCD=~^BD

•CD=6,即可得四边形ABC尸的面积S为18.

【解答】(1)证明：•・•四边形A8C。是平行四边形，

：.BA//CDf

:・/BAE=/FDE,

•・,点E是AO的中点，

:.AE=DE9

在△BEA和中，

'NBAE=NFDE

•AE=DE，

ZBEA=ZFED

.♦.△BEA丝△FEZ)(ASA),

:.EF=EB,

又；AE=DE,

四边形ABDF是平行四边形，

:NBDF=90°.

，四边形A8DF是矩形；

(2)解：由(1)得四边形480尸是矩形，

；.NAFD=90°,AB=DF=3,AF=BD,

4尸=7AD2-DF2=V52-32=4，

S矩形ABDF=DF・AF=3X4=12,BD=AF=4,

・・•四边形ABC。是平行四边形，

：.CD=AB=3,

：.S^BCD=—BD-CD=—X4X3=6,

22

四边形ABCF的面积S=Sign；ABDF+SABCD—12+6=18,

答：四边形A8CF的面积S为18.

【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及矩形的判定，全等三角形判定与性质，

勾股定理及应用等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明△BE4之△FED

26.如图，已知AB是。0的直径，点C在。。上，过点C的直线与AB的延长线交于点P,

AC=PC,ZC0B=2ZPCB.

(1)求证：PC是。。的切线；

(2)求证：BC=^AB；

(3)点M是品的中点，CM交4B于点N,若AB=4,求的值.

【分析】(1)已知C在圆上，故只需证明0C与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得

NPCB+/OCB=90°,即。C_LCP；故PC是。。的切线；

(2)48是直径；故只需证明8c与半径相等即可；

(3)连接MA,MB,由圆周角定理可得NACM=/BCM,进而可得

故代入数据可得

【解答】(1)证明：；OA=OC,

ZA=ZACO.

又；/(708=2/4,NC0B=2NPCB,

：.N4=/ACO=NPCB.

又是。。的直径，

AZACO+ZOCB=90°.

：.ZPCB+ZOCB=90°.

即OC_LCP,

：0C是。。的半径.

，PC是。0的切线.

(2)证明：•；AC=PC,

NA=/P,

ZA=ZACO=/PCB=NP.

又•.•/C0B=N4+/AC0,NCBO=NP+NPCB,

J.ZCOB^ZCBO,

：.BC=OC.

：.BC^—AB.

2

(3)解：连接M4,MB