如何求异面直线的距离

PAGEPAGE5如何求异面直线的距离求异面直线距离方法：

（1）（直接法）当公垂线段直接能作出时，直接求。此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键。（2）（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a,b距离，先作出过a且平行于b的平面α,则b与α距离就是a,b距离。（线面转化法）也可以转化为过a平行b的平面和过b且平行于a的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离。（3）（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用体积公式来求。（4）（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解。

两条异面直线间距离问题，教学大纲中要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离），这方面的问题的其它解法，要适度接触，以开阔思路。典型题目分析

正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a，求异面直线AC与BC1解法1：（直接法）取BC的中点P，连结PD，PB1分别交AC，BC1于M，N点，易证：DB1//MN，DB1⊥AC，DB1⊥BC1，∴MN为异面直线AC与BC1的公垂线段，易证：MN=B1D=a。（如图1所示）小结：此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解。解法2：（转化法）∵AC//平面A1C1B，∴AC与BC1的距离等于AC与平面A1C在RtΔOBO1中，作斜边上的高OE，则OE长为所求距离，如图2，∵OB=a,OO1=a，∴O1B=，∴OE=a。

小结：这种解法是将线线距离转化为线面距离。解法3：（转化法）∵平面ACD1//平面A1C1B，∴AC与BC1的距离等于平面ACD1与平面A1C∵DB1⊥平面ACD1，且被平面ACD1和平面A1C1B三等分；∴所求距离为B1D=a。

小结：这种解法是将线线距离转化为面面距离。解法4：（构造函数法）任取点Q∈BC1，作QR⊥BC于R点，作RK⊥AC于K点，如图4所示，设RC=x，则OK2=x2+(a-x)2=(x-a)2+a2≥a2,故QK的最小值，即AC与BC1的距离等于a。小结：这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离。解法5：（体积桥法）当求AC与BC1的距离转化为求AC与平面A1C1B的距离后，设C点到平面A1C1B的距离为h，则∵h·(a)2=·a·a2,∴h=a，即AC与BC1的距离为a。小结：本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体的高，然后体积公式求之。立体几何中几类问题在平面几何中，我们研究了平面图形及其性质，对于空间图形的问题，基本上无所接触。立体几何是研究空间图形及其性质的学科。由于空间图形的抽象性，一个图形可以是许多实际物体的抽象形式，因而立体几何在生产实际、科学试验中有广泛的应用。立体几何是在学习平面图形知识的基础上来研究空间图形。从平面到空间是观念上的一个飞跃，同学要从平面跳入空间，困难很多，怎样完成这个飞跃呢？要注意两点：

（1）充分发挥教具或用具的作用，逐步培养和训练同学们的空间想象能力，建立立体感。

（2）善于运用“转化”的思维方法——空间图形转化为平面图形