2023-2024学年山西省大同市铁路一中高一下数学期末统考试题含解析

2023-2024学年山西省大同市铁路一中高一下数学期末统考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知直三棱柱的所有顶点都在球0的表面上,,,则=()A．1 B．2 C． D．42．若、、为实数，则下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则3．若三角形三边的长度为连续的三个自然数，则称这样的三角形为“连续整边三角形”．下列说法正确的是（）A．“连续整边三角形”只能是锐角三角形B．“连续整边三角形”不可能是钝角三角形C．若“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍，则这样的三角形有且仅有1个D．若“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍，则这样的三角形可能有2个4．已知函数则的是A． B． C． D．5．已知，则的最小值为A．3 B．4 C．5 D．66．某市家庭煤气的使用量和煤气费(元)满足关系，已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：月份用气量煤气费一月份元二月份元三月份元若四月份该家庭使用了的煤气，则其煤气费为（）元A． B． C． D．7．在△ABC中，sinA:sinB:sinC=4:3:2，则cosA的值是（）A． B． C． D．8．下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）A． B．C． D．9．若变量满足约束条件则的最小值等于（）A． B． C． D．210．在中，，，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，，则________（用反三角函数表示）12．函数的反函数为____________.13．直线的倾斜角为_____________14．已知为锐角，则_______.15．382与1337的最大公约数是__________.16．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．直线的方程为.(1)若在两坐标轴上的截距相等，求的值；(2)若不经过第二象限，求实数的取值范围.18．等差数列中，，.（1）求通项公式；（2）若，求的最小值.19．已知向量的夹角为60°，且.（1）求与的值；（2）求与的夹角.20．已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求方程的解构成的集合.21．已知圆的圆心在线段上，圆经过点，且与轴相切.（1）求圆的方程；（2）若直线与圆交于，两点，当最小时，求直线的方程及的最小值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

由题得在底面的投影为的外心，故为的中点，再利用数量积计算得解.【详解】依题意，在底面的投影为的外心，因为，故为的中点，，故选B．【点睛】本题主要考查平面向量的运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2、B【解析】

利用等式的性质或特殊值法来判断各选项中不等式的正误.【详解】对于A选项，若，则，故A不成立；对于B选项，，在不等式同时乘以，得，另一方面在不等式两边同时乘以，得，，故B成立；对于选项C，在两边同时除以，可得，所以C不成立；对于选项D，令，，则有，，，所以D不成立.故选B.【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法，在实际操作中，可结合不等式结构合理选择相应的方法进行判断，考查推理能力，属于基础题.3、C【解析】

举例三边长分别是的三角形是钝角三角形，否定A，B，通过计算求出最大角是最小角的二倍的三角形，从而可确定C、D中哪个正确哪个错误．【详解】三边长分别是的三角形,最大角为，则，是钝角，三角形是钝角三角形，A，B都错，如图中，，，是的平分线，则，∴，，∴，，又由是的平分线，得，∴，解得，∴“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍的三角形只有一个，边长分别为4，5，6，C正确，D错误．故选D．【点睛】本题考查余弦定理，考查命题的真假判断，数学上要说明一个命题是假命题，只要举一个反例即可，而要说明它是真命题，则要进行证明．4、D【解析】

根据自变量的范围确定表达式，从里往外一步步计算即可求出.【详解】因为，所以，因为，所以＝＝3.【点睛】主要考查了分段函数求值问题，以及对数的运算，属于基础题.对于分段函数求值问题，一定要注意根据自变量的范围，选择正确的表达式代入求值.5、C【解析】

由，得，则，利用基本不等式，即可求解．【详解】由题意，因为，则，所以，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为5，故选C．【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6、C【解析】由题意得：C=4，将（25，14），（35，19）代入f（x）=4+B（x﹣A），得：∴A=5，B=，故x=20时：f（20）=4+（20﹣5）=11.5.故选：C．点睛：这是函数的实际应用题型，根据题目中的条件和已知点得到分段函数的未知量的值，首先得到函数表达式，再根据题意让求自变量为20时的函数值，求出即可。实际应用题型，一般是先根据题意构建模型，列出表达式，根据条件求解问题即可。7、A【解析】

由正弦定理可得，再结合余弦定理求解即可.【详解】解：因为在△ABC中，sinA:sinB:sinC=4:3:2，由正弦定理可得，不妨令，由余弦定理可得，故选：A.【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了运算能力，属基础题.8、D【解析】

设图中对应三角函数最小正周期为T，从图象看出，T=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=向左平移了个单位，即=，选D.9、A【解析】

由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【详解】解：由变量x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（﹣1，）．∴z＝2x﹣y的最小值为2×（﹣1）．故选A．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10、D【解析】

直接用正弦定理直接求解边.【详解】在中，，，由余弦定理有：,即故选：D【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】∵，，∴.故答案为12、【解析】

首先求出在区间的值域，再由表示的含义，得到所求函数的反函数.【详解】因为，所以，.所以的反函数是.故答案为：【点睛】本题主要考查反函数定义，同时考查了三角函数的值域问题，属于简单题.13、【解析】

先求得直线的斜率，由此求得对应的倾斜角.【详解】依题意可知，直线的斜率为，故倾斜角为.故答案为：【点睛】本小题主要考查直线斜率和倾斜角的计算，属于基础题.14、【解析】

利用同角三角函数的基本关系得，再根据角度关系，利用诱导公式即可得答案.【详解】∵且，∴；∵，∴.故答案为：.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三角函数的符号问题.15、191【解析】

利用辗转相除法，求382与1337的最大公约数.【详解】因为，，所以382与1337的最大公约数为191，故填：.【点睛】本题考查利用辗转相除法求两个正整数的最大公因数，属于容易题.16、【解析】

，，是平面内两个相互垂直的单位向量，∴，∴，，，为与的夹角，∵是平面内两个相互垂直的单位向量∴，即，所以当时，即与共线时，取得最大值为，故答案为.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)0或2；(2).【解析】

（1）当过坐标原点时，可求得满足题意；当不过坐标原点时，可根据直线截距式，利用截距相等构造方程求得结果；（2）当时，可得直线不经过第二象限；当时，结合函数图象可知斜率为正，且在轴截距小于等于零，从而构造不等式组求得结果.【详解】（1）当过坐标原点时，，解得：，满足题意当不过坐标原点时，即时若，即时，，不符合题意若，即时，方程可整理为：，解得：综上所述：或（2）当，即时，，不经过第二象限，满足题意当，即时，方程可整理为：，解得：综上所述：的取值范围为：【点睛】本题考查直线方程的应用，涉及到直线截距式方程、由图象确定参数范围等知识；易错点是在截距相等时，忽略经过坐标原点的情况，造成丢根.18、（1）；（2）【解析】

（1）等差数列中，由，，能求出通项公式．（2）利用等差数列前项和公式得到不等式，即可求出的最小值．【详解】解：（1）等差数列中，，．通项公式，即（2），，解得（舍去或，，的最小值为1．【点睛】本题考查等差数列的通项公式、项数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．19、（1），；（2）.【解析】

（1）根据，即可得解；（2）根据公式计算求解.【详解】（1）由题向量的夹角为60°，所以，，；（2），所以【点睛】此题考查平面向量数量积，根据定义计算两个向量的数量积，求向量的模长和根据数量积与模长关系求向量夹角.20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用二倍角公式化简函数，再逆用两角和的正弦公式进一步化简函数，代入最小正周期公式即可得解；（Ⅱ）由得，则，求解x并写成集合形式.【详解】（Ⅰ），所以函数的最小正周期.（Ⅱ）由得，，解得因此方程的解构成的集合是：.【点睛】本题考查简单的三角恒等变换，已知三角函数值求角的集合，属于基础题.21、（1）（2）的方程为，最小为【解析】