2024年云南昆明市高三三模数学高考试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页昆明市2024届“三诊一模”高考模拟考试数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置点好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图，已知集合，则图中阴影部分所表示的集合为（

）A． B． C． D．2．已知点在抛物线的图象上，为的焦点，则（

）A． B．2 C．3 D．3．已知中，，则的面积等于（

）A．3 B． C．5 D．4．某学校邀请五个班的班干部座谈，其中班有甲、乙两位班干部到会，其余班级各有一位班干部到会，会上共选3位班干部进行发言，则班至少选到一位班干部的不同的选法种数为（

）A．10 B．12 C．16 D．205．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列说法错误的是（

）A．若，则“”是“”的必要条件B．若，则是“”的充分条件C．若，则“”是“”的充要条件D．若，“”是“”的既不充分也不必要条件6．在定点投篮练习中，小明第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，若小明在第一次命中的条件下第二次命中的概率是，在第一次未命中的条件下第二次命中的概率是，则（

）A． B． C． D．7．某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图.底座是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线一头连着底座端点，另一头都连在球的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球的体积为（

）A． B． C． D．8．函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且与轴有且仅有一个交点，对任意，（搜了一下其他题目，少了条件就加上了）且当时，.则下列说法正确的是（

）A．B．为奇函数C．在单调递减D．若，则二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．在一个有限样本空间中，事件发生的概率满足，，与互斥，则下列说法正确的是（

）A． B．与相互独立C． D．10．已知函数的最小正周期大于，若曲线关于点中心对称，则下列说法正确的是（

）A．B．是偶函数C．是函数的一个极值点D．在单调递增11．已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在在上方，过作角平分线的垂线.垂足为是坐标原点，则下列说法正确的是（

）A．若，则直线的斜率为B．若，则C．若，则D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知复数满足，则.13．过点可以向曲线作条切线，写出满足条件的一组有序实数对.14．以表示中最大的数.已知，则的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解等应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．甲、乙两位同学组成学习小组进行项目式互助学习，在共同完成某个内容的互助学习后，甲、乙都参加了若干次测试，现从甲的测试成绩里随机抽取了7次成绩，从乙的测试成绩里随机抽取了9次成绩，数据如下：甲：93

95

81

72

80

82

92乙：85

82

77

80

94

86

92

84

85经计算得出甲、乙两人的测试成绩的平均数均为85.(1)求甲乙两位同学测试成绩的方差；(2)为检验两组数据的差异性是否显著，可以计算统计量，其中个数据的方差为个数据的方差为，且，若，则认为两组数据有显著性差异，否则不能认为两组数据有显著性差异.若的临界值采用下表中的数据：

123456781161200216225230234237239218.519.019.219.219.319.319.419.4310.19.559.289.129.018.948.898.8547.716.946.596.396.266.166.096.0456.615.795.416.195.054.954.884.8265.995.144.764.534.394.284.214.1575.594.744.354.123.973.873.793.7385.324.464.073.843.693.583.503.44例如：对应的临界值为5.41.请根据以上资料判断甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果是否有显著性差异.16．正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，，(1)求数列的通项公式：(2)已知数列满足，求数列的前项和.17．如图，在三棱台中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足，.(1)证明：平面；(2)若直线和平面所成角的正弦值为，求该三棱台的高.18．已知函数；(1)当时，证明：对任意；(2)若是函数的极值点，求实数的值.19．已知曲线由半圆和半椭圆组成，点在半椭圆上，.(1)求的值；(2)在曲线上，若（是原点）.（i）求的取值范围；（ii）如图，点在半圆上时，将轴左侧半圆沿轴折起，使点到，使点到，且满足，求的最大值. 答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【分析】由题可知图中阴影部分所表示的集合为所有属于集合且不属于集合的元素构成的集合，结合条件即可得解．【详解】由题可知图中阴影部分所表示的集合为所有属于集合且不属于集合的元素构成的集合，故图中阴影部分所表示的集合为，故选：A．2．B【分析】先根据点在抛物线上求出，再根据焦半径公式计算即可．【详解】由题可知，，解得，所以，故选：B．3．B【分析】利用余弦定理求，由平方关系可得，再由三角形面积公式可解.【详解】由余弦定理得，因为，所以，所以.故选：B4．C【分析】先求总的选法，然后减去甲、乙都没选到的种数即可.【详解】6个班干部中选3位班干部进行发言，共有种选法，其中，甲、乙两位班干部都没选到的方法共有，所以，班至少选到一位班干部的不同的选法种数为种.故选：C5．A【分析】根据直线与平面的位置关系，结合几何模型逐一判断即可.【详解】对于A，在长方体中，记平面，，但平面，所以“”不是“”的必要条件，A错误，符合题意；对于B，由线面平行判定定理可知，若，则是“”的充分条件，B正确，不符合题意；对于C，由线面平行的性质可知，若，，则，反之也成立，故C正确，不符合题意；对于D，若，，则或；在长方体中，平面，平面，但，所以由，，推不出，故D正确，不符合题意.故选：A6．B【分析】由全概率公式列出方程求解即可．【详解】设事件“小明第一次投篮命中”，事件“小明第二次投篮命中”，由题得，，，所以，解得，故选：B．7．C【分析】设球的半径为，根据吊挂线长度和艺术吊灯总高度，求出球心到平面的距离，由勾股定理求得球的半径，可求出其体积.【详解】连接交于点，如下图所示：边长为的正方形，可得；设球的半径为，吊挂线长度为6，艺术吊灯总高度为14，可知球心到距离为，根据勾股定理可得，解得；所以球的体积为.故选：C8．D【分析】利用赋值法可确定A错误；由函数奇偶性定义可得出为偶函数；根据函数满足的表达式，利用单调性定义可证明在单调递增，利用函数奇偶性和单调性解不等式可得D正确.【详解】对于A，令，即，可得，令，可得，再令，可得，即A错误；对于B，令，可得，即满足，可知为偶函数，即B错误；对于C，不妨取任意，令，则，即，又时，，所以，即，可得在单调递增，所以C错误；对于D，由于，且与轴有且仅有一个交点，故交点为；由，在单调递增且为偶函数，可得可转化为，解得，即D正确.故选：D【点睛】关键点点睛：在求解抽象函数解不等式问题时，要根据表达式判断出函数的单调性和奇偶性，再利用函数图象性质即可求得结果.9．ABD【分析】利用全概率公式可得A正确，计算可知，因此与相互独立，由互斥事件概率可知，再根据概率的加法公式可求得，可得出结论.【详解】由与互斥可得，由全概率公式可得，即可得，所以A正确；由可得，可知，即满足，所以与相互独立，因此B正确；由于与互斥，所以不会同时发生，可得，即C错误；，再根据概率性质可得，因此，即，可知D正确.故选：ABD10．ABC【分析】利用最小正周期范围可得，再利用对称中心可得函数解析式为，计算可得A正确，代入计算可得为偶函数，即B正确；求导可得在上单调递增，在上单调递减，可知C正确，D错误.【详解】根据题意可知，解得；由曲线关于点中心对称可知，即，可得；即；对于A，，即A正确；对于B，易知，为偶函数，即B正确；对于C，由可得，且，显然当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，可得是函数的一个极值点，即C正确；对于D，由C中结论可知，在上时，上单调递增，上单调递减，即D错误；故选：ABC11．AC【分析】对于A，求出点M的坐标，然后可得，利用三角形外角定理可得直线的斜率，可判断A；对于B，求出直线和的方程，联立可得点N坐标，然后由向量数量积的坐标表示求出数量积，可判断B；对于CD，延迟交直线于点，结合已知可得，然后由三角形中位线定理，结合双曲线定义可得，可判断CD.【详解】由知，，对于A，若，则，代入可得，则，所以，所以，所以直线的倾斜角为，斜率为，A正确；对于B，由上知，所以，所以，联立求解可得，所以，所以，B错误；对于CD，延迟交直线于点，因为为的角平分线，，所以，因为为的中点，所以，C正确，D错误.故选：AC【点睛】关键点睛：本题关键在于延迟交直线于点，充分利用角平分线的性质，结合双曲线定义求解.12．【分析】根据复数除法运算求出，再由复数模公式可得.【详解】由得，所以.故答案为：13．（答案不唯一）【分析】设切点为，利用导数求出切线方程，根据切线过点可得，记，利用导数研究单调性，作出函数图象，讨论与的交点即可得n，然后可得答案.【详解】设过点的直线与曲线相切于点，因为，所以，得的方程为：，因为直线过点，所以，即，记，则与的交点个数为n，令，解得或，当或时，，单调递增；当时，，单调递减.所以，当时，有极大值，当时，有极小值.当x趋近于时，趋近于0.可得的函数图象如图所示，由图可知，当或，即或时，与有一个交点，即；当，或，即或时，；当，即时，；当，即时，.故答案为：（答案不唯一）14．2【分析】由定义可知，三个不等式相加，结合基本不等式即可得解.【详解】由题可知，，所以，当且仅当，即时等号成立，此时，所以，当且仅当时等号成立.故答案为：2【点睛】关键点睛：本题关键在于紧抓新定义，利用相加，结合基本不等式求解.15．(1)甲的方差为，乙的方差为(2)甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果没有显著性差异【分析】（1）借助方差公式计算即可得；（2）结合题意，借助公式计算出，再比较其临界值即可得.【详解】（1）依题意：，，所以，，；（2）由于，则，则，查表得对应的临界值为3.58，则，所以甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果没有显著性差异.16．(1)，(2)【分析】（1）利用和的关系求出递推公式，然后因式分解，结合已知可解；（2）利用裂项相消法得，然后分n为奇数和偶数两种情况和可得.【详解】（1）当时，，即，所以，同理.当时，，化简得：，因为，所以，所以数列是以2为公差，1为首项的等差数列，所以.同理，得，即或，因为是等比数列，所以，即，所以（2）由（1）知，所以当为奇数时，同理当为偶数时，.所以.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面平行性质定理可求得，再利用线面垂直的判定定理可求得结论；（2）建立空间直角坐标系，设三棱台的高为，可取平面的一个法向量，易知，由线面角的向量求法解方程可得三棱台的高.【详解】（1）证明：由三棱台知，,平面,平面,所以平面，因为平面，且平面平面，所以，又，因为，所以，又，，平面,所以平面；（2）根据题意，取的中点为，连接，以为原点，所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间立角坐标系，如下图所示：设三棱台的高为，则，设平面的法向量为，则，可取平面的一个法向量，易得平面的一个法向量，设与平面夹角为，由（1）知，所以由已知得，解得，所以三棱台的高为.18．(1)证明见解析(2)1【分析】（1）将函数求导后，分别在和对的值域进行分析讨论，当时，易得；当时，需判断的单调性，利用单调性得到，再证即得；（2）利用是函数的极值点得，解得，再代入解析式，通过求导，利用（1）的结论进行检验即得.【详解】（1）当时，，当时，，则；当时，，故