余弦定理同步练习-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3.1余弦定理【基础过关练】1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝eq\r(19)，b＝2，c＝5，则A的大小为()A．30°B．60°C．45°D．90°2．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则角A等于()A．30°B．45°C．60°D．90°3．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C等于()A．90°B．120°C．135°D．150°4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋eq\r(2)ac，则角B的大小是()A．45°B．60°C．90°D．135°5．(多选)在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝eq\r(3)b＝12，则c的值为()A．2B．4C．6D．86．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为()A.eq\f(4,3)B．8－4eq\r(3)C．1D.eq\f(2,3)7．在△ABC中，AB＝3，BC＝eq\r(13)，AC＝4，则A＝________，AC边上的高为________．8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________.9．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.(1)求A的大小；(2)若b＋c＝2a＝2eq\r(3)，试判断△ABC的形状．10．已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2eq\f(A,2)＋cosA＝0.(1)求A的大小；(2)若a＝2eq\r(3)，b＝2，求c的值．【能力提升练】11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2eq\f(A,2)＝eq\f(b＋c,2c)，则△ABC是()A．直角三角形 B．锐角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形12．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A.eq\f(5,18)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(7,8)13．(多选)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下结论，其中正确的有()A．sin(B＋C)＝sinAB．cos(B＋C)＝cosAC．若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形D．若a2＋b2<c2，则△ABC为锐角三角形14．若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则此三角形的最大边长为________．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC＋(cosA－eq\r(3)sinA)cosB＝0.(1)求B的大小；(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．参考答案1.B2.A3.B4.A5.BD6.A7.eq\f(π,3)eq\f(3\r(3),2)8.eq\r(19)9.解(1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc，而a2＝b2＋c2－2bccosA，∴2cosA＝1，∴cosA＝eq\f(1,2).∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，且a＝eq\r(3)，∴(eq\r(3))2＝b2＋c2－2bc·eq\f(1,2)＝b2＋c2－bc.①又∵b＋c＝2eq\r(3)，与①联立，解得bc＝3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝2\r(3)，,bc＝3，))∴b＝c＝eq\r(3)，∴△ABC为等边三角形.10.解(1)∵cosA＝2cos2eq\f(A,2)－1，2cos2eq\f(A,2)＋cosA＝0，∴2cosA＋1＝0，∴cosA＝－eq\f(1,2)，∴A＝120°.(2)由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccosA，又a＝2eq\r(3)，b＝2，cosA＝－eq\f(1,2)，∴(2eq\r(3))2＝22＋c2－2×2×c×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去).11.A12.D[设该等腰三角形为△ABC，且A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶角为C，周长为l，因为l＝5c，所以a＝b＝2c，由余弦定理的推论，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(4c2＋4c2－c2,2×2c×2c)＝eq\f(7,8).]13.AC[依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA，A正确；cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cosA，B不正确；因为a2＋b2＝c2，则由余弦定理的推论得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝0，而0<C<π，即有C＝eq\f(π,2)，则△ABC为直角三角形，C正确；因为a2＋b2<c2，则cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，而0<C<π，即有eq\f(π,2)<C<π，则△ABC为钝角三角形，D不正确.]14.－19解析设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，依题意得，a＝5，b＝6，c＝7.∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|·cos(π－B)＝－ac·cosB.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，∴－ac·cosB＝eq\f(1,2)(b2－a2－c2)＝eq\f(1,2)×(62－52－72)＝－19，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－19.15.14解析已知a－b＝4，则a＞b且a＝b＋4.又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，则b>c.从而知a>b>c，所以a为最大边，故A＝120°，b＝a－4，c＝2b－a＝a－8.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2＋bc＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.又b＝a－4>0，所以a＝14，即此三角形的最大边长为14.16.解(1)由已知得，－cos(A＋B)＋cosAcosB－eq\r(3)sinA·cosB＝0，即sinAsinB－eq\r(3)sinAcosB＝0.因为sinA≠0，所以sinB－eq\r(3)cosB＝0.又cosB≠0，所以tanB＝eq\r(3).又0<B<π，所以B＝eq\f(π,3).(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB.因为a＋c＝1，cos