历年高考数学（理）知识清单 导数及其应用（原卷+解析版）

专练

1.若函数*%)=X—工sin2x+asinx在(-00,+oo)单调递增，则。的取值范围是()

i

A.[-1,1]B._£

dD.jY

2.设函数Ax)在R上的导函数为〃x),且纨%)+4(%)>%2,下面的不等式在R上恒成立的是()

A.f(x)>0B.f(x)<0

C.f(x)>xD.f^x)<x

3.对于R上可导的任意函数«x),若满足(x+l)/(x巨0,则有()

A.汽0)+八—2)<2#—1)

B.»+/(-2)<2/(-1)

c.A0)+A-2)>2/(-i)

D.»+A-2)>2A-D

4.设«x),g(无)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，/(x)g(x)+兀x)g，(x)>0,且八-3)=0,

则不等式/a)g(x)<0的解集是

()

A.(-3,0)U(3,+oo)

B.(-3,0)U(0,3)

C.(-co,-3)U(3,+oo)

D.(-oo,-3)U(0,3)

5.求曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积，其中正确的是()

A.S=错误！(x2—x)dx

B.S=错误！(x-x2)dx

C.S=错误！(y2-y)dy

D.5=错误！(y-^.)dy

6.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C的方程为无2—>=0)的点的个数

的估计值为()

1

A.5000B.6667

C.7500D.7854

7.已知函数y="x)是R上的可导函数，当今0时，有力>)+<”>0,则函数尸0)=欢；0+1的零点个数

TT

是()

A.0B.1

C.2D.3

8.若Vx,ye[0,+s),不等式4屋e"+厂2+^一厂恒成立，则实数[的最大值是()

A."B.1

4

C.2D-

2

9.已知函数/(x)=N—21+4(41+6一"1)有唯一零点，贝i」a=()

A.一1B.-

C.D.1

10.设函数Ax)=e，+a+x,g(x)=ln(x+3)-4erz,其中e为自然对数的底数，若存在实数xo,使得人尤。)

-g(xo)=2成立，则实数。的值为()

A.—2+ln2B.1+ln2

C.-l-ln2D.2+ln2

11.已知函数/(x)若无=2是函数/(x)的唯一一个极值点，则实数上的取值范围为()

A.(-8,e]B.[0,e]

C.(~oo,e)D.[0,e)

ic「37虫/、J<x<e,e为自然对数的底数L,/、〜gm缶L七人辛T户4aHAg上

12.已知函数g(x)=。一炉,eI与h(x)=21nX的图象上存在关于x轴对1称的点，

则实数Q的取值范围是()

1,~+2

A._e2-B.[1,e2-2]

2

之，e2T

D.[e2—2,+oo)

13.若函数/U）=X3—2cN+x有极值点，则实数c的取值范围为（）

14.已知/（x）="lnx+&2（a>o）,若对任意两个不等的正实数不，&都有人、一一恒成立，则

实数。的取值范围是（）

A.[1,+oo)B.(1,+oo)

C.(0,1)D.(0,1]

15.已知x=2是函数*%）=]3—3办+2的极小值点，那么函数加r）的极大值为（）

A.15B.16

C.17D.18

16.若幕函数/（x）的图象过点2]'21,则函数g（x）=e%x）的单调递减区间为（）

A.（一8,0）B.（_oo,-2）

C.(-2,-1)D.(-2,0)

17.若函数/U）=2九2一inx在其定义域内的一个子区间（左一1,左+1）内不是单调函数，则实数化的取值

范围是（）

A.[1,+oo)B.[1,2)

MiD[2]

18.如果函数y=/（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断:

-3—II

内单调递增;

①函数y=A尤）在区间’2।

3

②函数y=«x)在区间【-2’I内单调递减；

③函数y=/U)在区间(4,5)内单调递增；

④当x=2时，函数y=/(x)有极小值；

⑤当x=—%寸，函数y=/(x)有极大值.

则上述判断中正确的是()

A.0(2)B.(2X3)

C.D.③

19.函数7(x)=3x—炉在区间(.2—12,°)上有最小值，则实数。的取值范围是()

A.(-1,3)B.(-1,2)

C.(-1,3]D.(-1,2]

20.已知函数/(x)(xGR)满足{1)=1,且/(尤)的导函数人>)<:,则的解集为()

A.{x|—1<x<1}B.[x\x<.~l}

C.{x\x<-l,或不>1}D.{x|x>l}

21.已知函数/(x)(尤GR)满足/(x)>/(x),则()

A./(2)<e2A0)B.A2)<e2/(0)

C.心)=呦0)D.人2)>e浜0)

22.直线y=a分别与直线y=2(x+l),曲线y=x+lnx交于点A,B,则|AB|的最小值为()

A.3B.2

C处D.'

42

23.已知函数A%)=x2+3x—21nx,则函数外功的单调递减区间为.

24.若函数#x)=—%3+Jx2+2ax在k'十°°|上存在单调递增区间，则。的取值范围是.

25.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳。元(。为常

数，2KW5)的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为&(e为

e*

自然对数的底数)万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件.经物价部门核定

每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元.

(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)万元与每件产品的售价x元的函数关系式；

4

(2)当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润乙(尤)最大，并求出L(x)的最大值.

26.设函数=-小一机m尤，g(x)=/—(m+1)尤.

(1)求函数加0的单调区间；

(2)当m>Q时，讨论函数“r)与g(x)图象的交点个数.

27.已知函数«x)=aln尤一6/,。，6CR.

(1)若人尤)在x=l处与直线y=-1相切，求a,6的值；

Pe~1

(2)在⑴的条件下，求心)在］e'T上的最大值；

⑶若不等式/㈤女对所有的06(-8,0］,尤e(e,e2］都成立，求a的取值范围.

28.已知e是自然对数的底数，实数。是常数，函数/U)=H—分一1的定义域为(0,+8).

(1)设。=6,求函数穴W的图象在点(1,汽1))处的切线方程；

(2)判断函数/(x)的单调性.

29.已知函数/(x)=21nx+x2—2ax(a>0).

(1)讨论函数/U)的单调性；

(2)若函数/(x)有两个极值点xi,X2(xi<X2),且，穴工1)一y(X2)N'—21n2恒成立，求。的取值范围.

30.已知函数*冗)=(m;2+x+a)e~x(a£R).

(1)若壮o,函数加；)的极大值为3,求实数。的值；

。

(2)若对任意的好0,大防2ln(x+l)在％£［0,+8)上恒成立，求实数b的取值范围.

31.已知函数/(%)=^+2—%

(1)证明：於后3；

(2)若对任意犬>0,f(x)>-(x—a)2,求a的取值范围.

32.已知函数*x)=(x—2)e^一网x—1尸.

(1)当k<0时，求函数/U)在［0,2］上的最大值和最小值；

(2)讨论函数y=/(x)零点的个数.

33.已知函数人%)=l+\nx-ax2.

(1)讨论函数/U)的单调区间；

(2)证明：状X)<5©+元一QA3.

34.已知函数/(x)=x—a(lnx)2,a£R.

5

(1)当。=1,X>1时，试比较/(X)与1的大小，并说明理由;

(2)若人尤)有极大值，求实数a的取值范围；

(3)若於)在x=xo处有极大值，证明：1勺5))<争

6

高考押题专练

1.若函数/i»=x—工sin2x+asinx在(-8,+oo)单调递增，则4的取值范围是()

A.[-1,1]B._l'j

-2r-i.-q

C._33_D.L1

【解析】取〃=—1,贝叭x)=x—-sin2x—sinx,

]

5

/(x)=1—^cos2x—cosx,

W(0)=1---1=--<0,不具备在(-8,+8)上单调递增的条件，故排除A,B,D.故选C.

【答案】C

2.设函数危0在R上的导函数为人龙)，且2#x)+4(x)>N,下面的不等式在R上恒成立的是()

A.f(x)>0B./(x)<0

C.D.f(x)<x

【解析】可令/(x)=|x2+%则/(x)满足条件，验证各个选项，知B、C、D都不恒成立，故选A.

【答案】A

3.对于R上可导的任意函数人力，若满足(x+1)/(无心0,则有()

A.»+A-2)<2A-D

B.A0)+A-2)<2/(-l)

C.A0)+A-2)>2/(-l)

D.»+A-2)>2/(-l)

【解析】由题意得，当迂T时，/(x)>0,当xWT时，/(x)<0,的最小值为八一1),即对任意实

数x,都有/(劝次一1)，，八。)/一1)，|一2)次一1)，2巨2加一1),故选D.

【答案】D

4.设穴普，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，/(x)g(x)+/(x)g，(x)>0,且八一3)=0,

则不等式穴彳)8(尤)<0的解集是

()

A.(-3,0)U(3,+8)

B.(-3,0)U(0,3)

7

C.(-8,-3)U(3,+oo)

D.(-8,-3)U(0,3)

【解析】设〃(x)=/(x)g(x),又"(x)=f(x)g(x)+#x)g，(x)>0知x<0时，〃(x)为增函数，又穴》)，g(x)分别是

奇函数和偶函数，为奇函数且在(0,+8)上为增函数，且〃(3)=0,所以兀x)g(x)<0的解集为(-8,-

3)U(O,3),故选D.

【答案】D

5.求曲线》=尤2与直线y=x所围成的封闭图形的面积，其中正确的是()

A.S=错误！(N—x)dx

B.S—错误！(X-x2)dx

C.S=错误！(/一月⑦

D.S=错误！D—“；)dy

【解析】依题意，在同一坐标系下画出曲线y=N与直线y=x的图象(图略)，注意到它们的交点坐标分

别为(0,0)与(1,1),结合图形及定积分的几何意义可知，相应的图形的面积可用定积分表示为错误！U-x2)dx,

选B.

【答案】B

6.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C的方程为N—y=o)的点的个数

的估计值为()

C.7500D.7854

【解析】S欧=s-错误！》25=1」二，所以有2=S阴影=一一，解得/6667,故选B.

111S正方形2000

【答案】B

7.已知函数y="r)是R上的可导函数，当尤柳时，有八»+3>0,则函数/(x)=欢尤)■的零点个数

是()

8

A.0B.1

C.2D.3

【解析】当期0时，F(x)+㈤限止>0,当x>0时，[4尤)丁>0,则软幻=状尤)在(0,+8)

*驾T

上为增函数，且/?(0)=0,，/2(；0=犷&)>0在(0,+8)上恒成立，又1>0,；.尸。)>0在(0,+8)上恒成立，

T

即尸(无)在(0,+8)上无零点.当尤<0时，[欢X)]VO,.,.6(x)=^x)在(-8,0)上为减函数，且九(0)=0,：.h(x)

=幼>)>0在(-oo,0)上恒成立，所以F(x}=求工)+L在(-8,0)上为减函数，当x-0时，状x)-0,-8,

r*

则尸(x)<0,尤--8时，-->o,F(x)~xfix)>o,二尸(x)在(-8,0)上有唯一零点.综上所述，网x)在(-8,0)

U(0,+8)上有唯一零点，故选B.

【答案】B

8.若Vx,yG[0,+8),不等式《axWH4■厂2+e厂厂2+2恒成立，则实数。的最大值是()

A.B.1

J

C.2D-

2

【解析】er+v-2+eJ--y2+2=eI-2(e>,+e->,)+2>2(ex-2+l),当且仅当y=0时等号成立.由2伯广2+1巨4ox,

得2。』上二.令g(x)=*:，则g，(x)=U)T,可得g,⑵=o,且在Q,+8)上，g，(x)>0,在(0,2)

Trr

上，g'(x)〈0，故g(x)的最小值为g(2)=l，所以2左1，即4sl.故选D.

【答案】D

9.已知函数八九)=N—2x+aeT+er+i)有唯一零点，贝!].=()

A.-1B.1

3

C.-D.1

【解析】由«r)=x2—2x+a(e、T+er+i),=(2-x)2-2(2-x)+«[e2^-1+e-(2-x)+!]=x2-4x+4

-4+2x+«(e1-x+ex_1)=x2—2x+a(ex~l+e~x+i),所以{2—九)=«x),即x=l为/(x)图象的对称轴.

由题意，芯r)有唯一零点，所以#x)的零点只能为x=l,即汽1)=12—2x1+

«(e1-1+e-1+1)=0,

解得a=1.故选C.

【答案】C

9

10.设函数/(x)=ex+"+x,g(x)=ln(x+3)—4erz,其中e为自然对数的底数，若存在实数xo,使得«xo)

-g(xo)=2成立，则实数a的值为()

A.-2+ln2B.l+ln2

C.-1-ln2D.2+ln2

【解析】由已知得/(x)—g(x)=e^+"+x—ln(x+3)+4er-”，

设h(x)=^+。+4—厂%u(x)=x—ln(x+3),

所以h(jc)=x++4exa>2./,-,-=4当且仅当&+a=2时等号成立.

ea工L-rLu•

/(x)=l—।(x>—3),令i/(x)>0,得—2；

x+3

令/(x)<0,得一3<x<—2,所以〃(%)在(一3,—2)上单调递减，在(一2,+8)上单调递增，所以当％二-

2时，取得最小值为一2.

若存在实数X0,使得“X0)—g(xo)=2成立，则当X=-2时，^+a=2成立，所以e-2+。=2,解得a=2+

In2.故选D.

【答案】D

11.已知函数/(x)=弦一力:十,汁，若x=2是函数/(x)的唯一一个极值点，则实数人的取值范围为()

r

A.(-oo,e]B.[0,e]

C.(-oo,e)D.[0,e)

【解析】/⑴—用-3—/WT4fj”!(x>0).设g(x)=U,则g3=dk,则g(x)在(0,1)

内单调递减，在(1,+8)内单调递增.

所以g(x)在(0,+8)上有最小值，为g(l)=e,结合8(为=£与〉=上的图象(图略)可知，要满足题意，只

Y

需Ke.

【答案】A

12.已知函数g(x)=a—/自启e，e为自然对数的底数|与3口段的图象上存在关于犬轴对称的点，

则实数a的取值范围是()

1,2+2,

A.-B/l,e2-2]

-L+2e2—2

2

C.r'-D.[e-2,+oo)

10

【解析】函数g(x)=a—x2VI与h(x)=21nx的图象上存在关于x轴对窗的直，即函数/(x)=/-

烂e|与

2或上有零点因为

依尤)=21nx的图象有交点，即M(x)=Ax)-Kx)=x-21nx-a在区间M(x)

,।r

=2x—2=-C+】MLl)故函数M(x)在区间[:'寸上单调递减，在区间口，e]上单调递增，即M(x)在x=l

处取得最小值.要使M(x)与无轴有交点，只需M(l)=l一延0,即壮1.另一方面“U=1+2—a,M(e)=e2

-2—a,M(e)—JJ=e2―4>0,故M(e)=e?—2—aNO,a<e2-2,综上所述，实数a的取值范围是[1,

c3

e2-2].

【答案】B

13.若函数加0=炉一252+工有极值点，则实数C的取值范围为()

Y,+』

A._2J

【解析】若函数/U)=/—2cN+x有极值点，则/(X)=3/-4cx+1=0有根，故/=(—4c)2—12N0,从

而介平或

14.已知八尤)=alnx+42(a>o),若对任意两个不等的正实数不，尤2都有八一一1”之2恒成立，则

?不一箝

实数〃的取值范围是()

A.[1,+oo)B.(1,+oo)

C.(0,1)D.(0,1]

【答案】A

【解析】由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于2,所以函数的导数八乃="+应2.可得x

=g时，/(x)有最小值2.."31.

15.已知尤=2是函数/(幻=炉-3"+2的极小值点，那么函数人劝的极大值为()

11

A.15B.16

C.17D.18

【答案】D

【解析】x=2是函数/(x)=x3-3ax+2的极小值点，即x=2是/(x)=3x2-3a=0的根，将x=2代入得

a=4,所以函数解析式为/(%)=炉一12%+2,令了(%)=3%2—12=0,得工=±2,故函数在(一2,2)上是减函数，

在(-8,-2),(2,+8)上是增函数，由此可知当工=-2时函数/U)取得极大值八一2)=18,故选D.

16.若幕函数危0的图象过点21则函数g(x)=e^x)的单调递减区间为()

A.(_oo,0)B.(-8,~2)

C.(—2,—1)D.(—2,0)

【答案】D

因为图象过点1相，2]，所以!=[/,

2x2

【解析】设暴函数次了)=产,a-2,所以«r)=x，故g(x)=exf

令g(x)=e^2+2，:=ep2+2x)V0,得一2<xV0,故函数单调减区间为(一2,0)故选D.

17.若函数加0=2/一inx在其定义域内的一个子区间(左一1,左+1)内不是单调函数，则实数上的取值

范围是()

A.[1,+oo)B.[1,2)

1,-IF-,21

C._21D/」

【答案】C

[解析]/(x)=4x-'=-―11-1——-41-

TI

Vx>0,由了(x)=0得x=1.

.•.令/(x)>0,得x>:；4/(x)<0,得

n1次<3.故c正确.

18.如果函数y=/(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断:

12

①函数y="r)在区间L32।内单调递增；

②函数y=#x)在区间[-2’3I内单调递减；

③函数y={x)在区间(4,5)内单调递增；

④当x=2时，函数y=/(x)有极小值；

⑤当x=—1时，函数尤)有极大值.

则上述判断中正确的是()

A.B.

C.@@@D.③

【答案】D

【解析】当xd(—3,—2)时，/(x)<0,八彳)单调递减，①错；当~2口时，y(x)>o,人工)单调递增，

当xe(2,3)时，了(尤)V0,於)单调递减，②错；当x=2时，函数y=/i>)有极大值，④错；当x=一1时，函数

y=/(x)无极值，⑤错.故选D.

19.函数*x)=3x—/在区间(°2—12,°)上有最小值，则实数”的取值范围是()

A.(—1,3)B.(—1.2)

C.(-1,3]D.(-1,2]

【答案】D

【解析】由题知外的=3—3了2,令了(x)>0,解得一令/(x)<0,解得x<-l或x>l,由此得

函数在(-8,T)上是减函数，在(一1,1)上是增函数，在(1,+8)上是减函数，故函数在X=-1处取到极

2-

小值一2,判断知此极小值必是区间(°2—12,°)上的最小值，a-12<—l<a,解得一又当无

=2时，八2)=—2,故有。£2.综上知a仁(一1,2],故选D.

20.已知函数人x)(尤6R)满足/(1)=1,且/(x)的导函数/(》)<；,则的解集为()

A.{x|—1<X<1}B.{x|x<—1}

C.{x|x<-l,或无>1}D.{x\x>l)

【答案】D

i

【解析】设尸(x)=/(x)-22L则/(1)=11)」22l=l-l=0,尸(无)=/(x)-；,对任意xdR,有尸(x)

=/(%)-'<0,即函数尸(x)在R上单调递减，则尸(x)<0的解集为(1,+oo),即人了)<£+1的解集为(1,+

13

co),故选D.

21.已知函数«x)(尤GR)满足/(尤)>兀口，贝l|()

A./(2)<e2A0)B.A2)<e2/(0)

C.丹2)=豆0)D.彤)〉呦0)

【答案】D

【解析】由题意构造函数g(无)一一一，则8《尸>1-乜1>0,则g(x)=J—.在R上单调递增，

e*r*"

则有g(2)>g(0),故/(2)>eQ0).

22.直线y=a分别与直线y=2(x+l),曲线y=无+lnx交于点A,B,则的最小值为()

A.3B.2

C."上D」

【答案】D

【解析】解方程2(x+1)=4,得工=彳-1.

设方程x+lnx=a的根为”方>0),则t+\nt=a,

则朋=卜；+1|=卜安+1|

=仁川

设g(f)=L—皿+l(f>0)，

则g'(f)=!_J=o«>。)，

22,”

令g")=0,得力=1.当—(0,1)时,g”)vo；

当/£(1，+8)时，g，«)>0,所以g«)min=g(l)=1,

所以所以|A8|的最小值为;.

23.已知函数Ax)=/+3x—21nx,则函数为无)的单调递减区间为.

【解析】函数/U)=x2+3x-21nx的定义域为(0,+oo).f(x)=2x+3—?,令2x+3—2<0,即2/+3X

**

-2<0,解得xd[-2,.又xd(0,+oo),所以X」?，W.所以函数人x)的单调递减区间为1°，I.

24.若函数小0=—匕3+$2+2。1在E''"I上存在单调递增区间，则。的取值范围是.

14

【解析】对/(%)求导，W/(x)=—x2+x+2a

Ix—~l1

=L21+1+2«.

4

当X』1，8|时，/(x)的最大值为/用=2+2%

Q

令=+2a>0,解得a>一1.

99

I+col

所以a的取值范围是19J.

25.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳“元(“为常

数，2%我)的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为尤元时，产品一年的销售量为4e为

。，

自然对数的底数)万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件.经物价部门核定

每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元.

(1)求分公司经营该产品一年的利润Z(x)万元与每件产品的售价x元的函数关系式；

(2)当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L(x)最大，并求出L(无)的最大值.

【解析】(1)由题意，该产品一年的销售量为丫=&.

Wx=40,y=500代入，得左=500e4。.

故该产品一年的销售量y(万件)关于x(元)的函数关系式为y=5OOe4or.

所以L(x)=(x—30—a)y=500(x-30-a)e40-X35<x<41).

(2)由(1)得，L'(x)=500［e40r_(x_3()_a)e40r］=500e40-X31+a~x).

①当2<a<4时，L'(x)<5OQe40*(31+4—35)=0,

当且仅当。=4,x=35时取等号.

所以L(x)在［35,41］上单调递减.

因此，L(无)max=1(35)=500(5—a)e5.

②当4<«<5时，Z/(x)>O=35£r<31+a,

Z/(x)<0=31+a<x<41.

所以L(x)在［35,31+/上单调递增，在［31+。，41］上单调递减.

因此，L(x)max=L(31+a)=500e9-fl.

综上所述当2%W4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润乙(尤)最大，最大为500(5一0允5万元；

当4<af5时，每件产品的售价为(31+a)元时，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500e9"万元.

15

26.设函数加0=1%2—"?lnx,g(x)=x2—(m+l)x.

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)当机加时，讨论函数4:)与g(x)图象的交点个数.

【解析】(1)函数/U)的定义域为(0,+oo),/(x)=x—m,

X

当加柳时，八幻对，所以函数/U)的单调增区间是(0,+00),无单调减区间；

、匕、八口」、(x+«i)(x-\'/ri)

当加>0时，f(x)=----------一；

X

当OVxV。时，/(外<0，函数代0单调递减；当近时，/(x)>0,函数九0单调递增.

综上，当mW0时，函数兀x)的单调增区间是(0,+oo),无单调减区间；当机>0时，函数/(x)的单调增

区间是+oo),单调减区间是(0,%]).

(2)令F(x)=f(x)—g(x)=—^x2+(m+l)x—mlnx,x>0,问题等价于求函数厂(1)的零点个数，

当m=0时，F(x)=--x2+x,x>0,有唯一零点；

、匕、八□-+口,/\I:I''

当m>0时，F(X)=----------------,

当机=1时，F'(x)<0,函数F(x)为减函数，注意到尸(1)=，>0,F(4)=-ln4<0,所以尸(x)有唯一零点；

当机>1时，由尸(x)<0得0<x<l或X>〃7,由9(x)>0得1cxe机，所以函数尸(x)在(0,1)和(川，+

8)上单调递减，在(1,租)上单调递增，注意到尸(1)=机+|>0,

F(2m+2)=-mln(2m+2)<0,

所以Rx)有唯一零点；

当0<7"<1时，0<x<m或x>l时，由9(x)<0得，0cxem或x>l,

由9(无)>0得

所以函数尸(x)在(0,〃。和(1,+8)单调递减，在(机，1)单调递增，XInm<0,

所以尸(加)=-(m+l-21nm)>0,

而F(2m+2)=~mln(2m+2)<0,所以F(x)有唯一零点.

综上，函数尸(x)有唯一零点，即当加加时函数人尤)与g(x)图象总有一个交点.

27.已知函数”)=alnx—bN,a,Z?£R.

(1)若穴次)在x=l处与直线y=—1相切，求a,b的值；

16

(2)在(1)的条件下，求人x)在l_eL上的最大值；

⑶若不等式/(X)3对所有的8e(-8,0］,XG(e,e2］都成立，求a的取值范围.

【解析】(va)=2—2卮

*

f(1)=0,产-2b=0,

由函数Ax)在x=］处与直线y=一：相切，得/⑴=_1即

la=1,

(2)由(1)得Ax)=lnx-%2,定义域为(0,+(»).

此时，f(x)1_r,令f(x)>0,解得0<x<l,4/W<0,解得x>l.

*Y

所以7(X)在I1'"上单调递增，在(1,e)上单调递减，

□二

所以儿0在-e'e-上的最大值为/U)=一•

⑶若不等式Ax)»对所有的be(-8,0］,xe(e,e2］都成立，

即alnx一加乏%对所有的人£(-oo,0］,%£(e,e2］都成立，

即aln%一%泌龙2对所有的沙£(-8,0］,x£(e,e2］都成立，

即aln%—x>0对xW(e,e?丁恒成立，

即位'-对x£(e,e?丁恒成立，

In1

即。大于等于上在区间(e,e2］上的最大值.

InJ

令〃(%)=二-,贝！—当冗e(e,e2)时，"(x)>0,力(%)单调递增，

Inx(Inx)3

所以加>)=」-,x£色，e?］的最大值为/?©)=三，即a>—.

Ini22

—,+00I

所以a的取值范围为_2J

28.已知e是自然对数的底数，实数。是常数，函数八为=^一必一1的定义域为(0,+oo).

(1)设。=e,求函数人%)的图象在点(1,八1))处的切线方程；

(2)判断函数/(x)的单调性.

【解析】(l)Vd!=e,

•*-X^)=ex-ex-l,/(%)=^—匕，/l)=-b/(1)=0.

17

・••当a=e时，函数;(x)的图象在点(1，/(D)处的切线方程为y=—L

(2)=旷一ax—1,—a.

易知f(x)=e<—。在(0,+8)上单调递增.

二当aWl时，f(x)>0,故/(x)在(0,+8)上单调递增；

当0>1时，由了(x)=e*=0,得x=lna,

当0<x<lna时，/(尤)<0,当x>\na时，f(x)>0,

二於)在(0,Ina)上单调递减,在(Ina,+的)上单调递增.

综上，当好1时，兀x)在(0,+8)上单调递增；当。>1时，汽x)在(0,Ina)上单调递减，在(Ina,+(»)上单

调递增.

29.已矢口函数尤)=21nx+N——2ax(a>0).

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若函数«冗)有两个极值点Xi,X2(xi<X2),且/(xi)—“X2巨21n2恒成立，求a的取值范围.

【解析】(1)由题意知，函数为0的定义域是(0,+oo),

/(x)~~-n—令N—以+1=0,贝！%

①当0<a<2时,J<0,巨0恒成立，

函数/U)在(0,+8)上单调递增；

②当a>2时，/>0,方程彳2—"+1=0有两个不同的实根，分别设为X3,X4,不妨令X3<X4,

则无3=丁声=,X4="g,此时0,<必

因为当x£(0,X3)时，/(%)>0,当X£(X3,X4)时，

/(x)<0，当x£(%4,+8)时，f(x)>0.

所以函数加)在10';一I上单调递增

上单调递减在

p+^-4+.

L2L上单调递增.

(2)由(1)得«x)在(XI,X2)上单调递减，XI+x2=a,X1-X2=L

贝！—f(x2)=21n',+(xi—X2)(xi+%2—2a)=21n1+—~~—=21n1+、一jJ,

箝4xm4XiXI

令t=-,则0<kl,/xi)-Xx2)=21nf+2一f,

X!/

令g⑺=21nt+'—r(O<r<l),

18

则炉(。=一七4。，

Pl

故g⑺在(0,1)上单调递减且gl2I=1—21n2,

凸

故gQ)=/(xi)一人无2巨21n2=J2I,即0〈匹

而〃=(%i+%2)2=-+-+2=t+-+2,其中。〈云]，

jnXi/5

|0「

令班)=/+l+2,fe|'丸

/

10「

所以“⑺=1—I<0在/日，^上恒成立，

故6Q)=t+l+2在10'{上单调递减，

t

2

从而«>-5,

故〃的取值范围是]乎'+C°I.

30.已知函数/(%)={ax1+x+a)Q~x(a£R).

(1)若介0,函数/U)的极大值为"求实数a的值；

.

(2)若对任意的八%)2111(工+1)在工£[0,+8)上恒成立，求实数。的取值范围.

【解析】(1)由题意，f(x)=(2ax-\-l)ex—(〃N+x+a)ex

=_ex[ax24"(1一2a)xa_1]——eX(x一])(ax+l—a).

①当a=0时，/(x)=—e-;v(x—1),

令了(冗)>。，得x<l；/(x)<0,得x>l,

所以人工)在(-00,1)单调递增，在(1,+功单调递减.

所以人乃的极大值为/■(Du%],不合题意.

②当a>0时，1—L1,

fl

11I1—1-1|-00,1—-1

4/(x)>0,得1--<x<l；/(x)<0,得九<1一或筋>1,所以yw在1a[单调递增，在1a1,

aa

(1,+8)单调递减.

19

所以/(X)的极大值为/(1)=到」=3,得a=L

-C

综上所述4=1.

(2)令g(a)=er(N+l)〃+&一3aE(-oo,0],

当x£[0,+oo)时，e-x(x2+l)>0,

则8(。)