2024年福建省三明市中考一模数学试题（含答案与解析）

2024年三明市初中毕业班第一次教学质量监测

数学

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共7页.满分150分，考试时间

120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.

考生要认真核对答题卡上的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上

相应位置书写作答，在试题卷上答题无效.

3.作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑.

4.考试结束，考生必须将答题卡交回.

第I卷

一、选择题:本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）

A.2%+1=0B.%2—2%—3=0C.%2H—=1D.%3+%=3

x

2.下列各组图形中，一定相似的是（）

A.两个正方形B.两个矩形C.两个菱形D.两个平行四边形

3.一个不透明的口袋中装有20个球，其中有若干个红球，它们除颜色外其它完全相同.小明从中随机摸

出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，由此

估计袋中红球的个数为（）

A.2B.4C.16D.18

4.如图，公路AC、互相垂直，公路A3的中点M与点C被湖隔开，若测得A5的长为4.8km,贝I

M、C两点间的距离为（）

A.2.4kmB.3.6kmC.4.2kmD.4.8km

5.同学们在物理课上做“小孔成像”实验.如图，蜡烛与带“小孔''的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光

屏间距离的一半，当蜡烛火焰的高度为1.6cm时，所成的像49的高度为（）

B.2.4cmC.3.2cmD.4.8cm

6.抛物线y=2（x+3F+5的顶点坐标是（）

A(-3,5)B.(3,5)C.(3,-5)D.(-3,-5)

7.樟卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫樽,

凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（）

8.关于％的一元二次方程依?+法+。=0（〃。0）中的b,。满足〃+Z?+c=O,则下列选项一定正确

的是（）

A.b1—4ac>0B.b2—4ac<0C.b2—4ac>0D.b2—4ac<0

k

9.在平面直角坐标系中，反比例函数y=—（左wO）的图象如图所示，点A3不在该反比例函数的图象

X

上，则上的值可以为（）

D.-4

10.如图，正方形A3CD的边长为4,点E为的中点，连接力CBE,点分别在5E,AC上,

S.BM=-ME,CN=-AN,则肱V的长为（）

33

A.B.-C.2夜D.3

22

第II卷

注意事项：

1.用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效.

2.作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑.

二、填空题:本题共6小题，每小题4分，共24分.

11.已知q=则色吆的值为

34b

12.已知x=l是一元二次方程V+2%—左=0的一个根，则上的值为.

13.如图，AC,6。是菱形ABCD的对角线，若4=20。，则N2的度数为

14.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云

长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长与宽各

多少步？若设长为x步，则可列方程是(方程化为一般形式).

15.如图，已知DE〃3C,S*:S四边形.CE=1:8;则DE：BC=

16.抛物线＞=一代+3〃a+2对称轴在＞轴的右侧，点和点3(加+1,%)在该抛物线上，若

为〉％〉2,则m的取值范围是

三、解答题:本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解方程4x—6=0

18.已知：如图，在矩形A3CD中，E是A3的中点，求证：DE=CE.

19.已知：反比例函数丁=々4H0)的图象经过点4(2,1).

(1)求反比例函数的解析式；

(2)若点(—2,%),(-4,%)都在该反比例函数的图象上，试比较%，%大小.

20.如图，.ABC中，ZACB=90°,D,E分别为AGAB的中点，连接CE.

(1)尺规作图：在。石的延长线上确定点r，使得BFV/CE.(保留作图痕迹，不写作法)

(2)在(1)的条件下，若NA=30°,求证：四边形3CEF为菱形.

21.班级开展迎新年联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个福袋A,B,C,D.在抽奖时，每次随机

取下一个福袋，且取A之前需先取下5,取。之前需先取下。，直到4个福袋都被取下.

(1)第一个取下的是。福袋的概率为

(2)请用画树状图或列表的方法，求第二个取下的是A福袋的概率.

22.如图，四边形A3CD和四边形BEFG都是正方形，点E在射线CD上，AC交BE于前

O,GH，AB交AB延长线于点H.

OE=2OB；

(2)求证：AB=BH.

23.为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质.某校决定在一块长16m,宽12m的矩形荒地

ABCD上建造一个花园，要求花园所占面积为荒地ABCD面积的一半.小明的设计方案如图①所示，其

图①图②

(1)请你帮小明求出图中的八

(2)小明方案具有如下3个特征:

①花园既是轴对称图形又是中心对称图形;

②花园的边沿与矩形荒地A3CD的四边都有公共部分；

③点AB,C,。都在花园外部.

请你设计一种具有以上特征且不同于小明的方案，并说明方案的合理性.（要求：在图②中画出示意图，

将花园涂成阴影，并在图上标出必要的字母和数据.）

24.某校数学兴趣小组模仿七巧板制作了一副如图所示的五巧板，①和②分别是等腰RtABE和等腰

Rt_BCF,③和④分别是Rt一CDG和⑤是正方形EFGH.这副五巧板恰好拼成互不重叠也

无缝隙且对角互补的四边形A3CD，直角顶点E,F,G,〃分别在边CG,DH,AE上.

B

(1)求证：ZADH=ZDCG.

(2)若AH=HE=2,求。G的长;

什DG9,求必

(3)值.

GH4DC

25.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=V+c与x轴交于A,8两点（点A在点8的左侧）,

与y轴交于点C,且。4=；0C.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点。为线段A3上的动点，过点。作AC的平行线交3C于点E,求..CDE面积的最大值；

（3）点M是该抛物线上不同于A,B的一个动点，连接40,过点。作A"的平行线小过点8作y轴

的平行线6，交4于点M判断直线是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，

说明理由.

参考答案

一、选择题:本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）

,1

A.2x+l=0B.x2—2x—3=0C.x—=1D.%3+%=3

x

【答案】B

【解析】

【分析】本题根据一元二次方程的定义解答.一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；

（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证，满

足这四个条件者为正确答案.

本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看

化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.

【详解】解：A.2x+1=0是一元一次方程.故本选项不符合题意；

B.炉一2九-3=0符合一元二次方程定义，所以它是一元二次方程.故本选项正确；

C./+—=1不是整式方程.故本选项不符合题意；

x

D.丁+工=3中未知数最高次数是3次，不是一元二次方程.故本选项不符合题意.

故选B.

2.下列各组图形中，一定相似的是（）

A.两个正方形B.两个矩形C.两个菱形D.两个平行四边形

【答案】A

【解析】

【分析】根据相似图形的概念逐项进行判断即可.

【详解】解：A、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，故此选项符合题意；

B、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意，

C、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；

D、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题

思；

故选：A.

【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是

解题的关键.

3.一个不透明的口袋中装有20个球，其中有若干个红球，它们除颜色外其它完全相同.小明从中随机摸

出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，由此

估计袋中红球的个数为（）

A.2B.4C.16D.18

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查用频率估计概率，利用概率求数据.根据题意可知红球的概率为20%,再利用概率计算

即可得到本题答案.

【详解】解：•••摸到红球的频率稳定在20%附近，

...摸到红球的概率为0.2,

:不透明的口袋中装有20个球，小明从中随机摸出一个球，

...设红球的个数为x,

X

0.2=—,解得：x=4,

20

故选：B.

4.如图，公路AC、互相垂直，公路A3的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.8km,贝U

M、C两点间的距离为（）

A.2.4kmB.3.6kmC.4.2kmD.4.8km

【答案】A

【解析】

【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=,A3,再求出答案即可.

2

【详解】解：•••公路AC、互相垂直，

/.ZACB=90°,

为AB的中点，

CM=-AB,

2

*.*AB=4.8km,

/.GW=2.4（km）,即跖C两点间的距离为2.4km,

故选：A.

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，能熟记知识点是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上

的中线等于斜边的一半.

5.同学们在物理课上做“小孔成像”实验.如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光

屏间距离的一半，当蜡烛火焰的高度A8为1.6cm时，所成的像A2'的高度为（）

B.2.4cmC.3.2cmD.4.8cm

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查相似三角形的应用，利用蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板

与光屏间距离的一半，得出蜡烛火焰的高度与像的高度的比值为进而求出答案，理清题意，正确得出比

例关系是解题关键.

【详解】解：由题意得

ZOAB=NOA'B',ZOBA=ZOB'A1,

OABs,OAB',

蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半,

.•.必=2,

AB

:.A,B'=2AB=3.2cm,

故选：C.

6.抛物线y=2（x+3y+5的顶点坐标是（）

A.（-3,5）B.（3,5）C.（3,-5）D.(-3,-5)

【答案】A

【解析】

【分析】根据抛物线的顶点式直接写出顶点坐标即可.

【详解】抛物线解析式的顶点式为：J=2（X+3）2+5,

则其顶点坐标为：（—3,5）,

故选：A.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

7.樟卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫桦,

凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（）

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握俯视图是从几何体的上面观察得到的图形是解题的关键.

【详解】根据题意，得其俯视图如图所示

故选A.

8.关于x的一元二次方程依法+c=O（awO）中的b,。满足a+Z?+c=O,则下列选项一定正确

的是（）

A.H-4-ac>0B.b'-4-ac<0C.Z?2-4ac>0D.b~-4-ac<0

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，由a+b+c=O可得一元二次方程依2+法+c=O(awO)至

少有一个实数根为x=l，进而可得判别式廿―4的20.解答的关键是熟知一元二次方程

2

加+bx+c=0(aw0)根的情况与根的判别式A=Z?-4«C的关系：当A>0时，方程有两个不相等的实

数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根；当八<0时，方程没有实数根.

【详解】解：：a+b+c=0,

一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)至少有一个实数根为x=1,

b2-4ac>0>

故选：C.

k

9.在平面直角坐标系中，反比例函数y=—(ANO)的图象如图所示，点A3不在该反比例函数的图象

X

D.-4

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查反比例函数上的点的特征.根据点A,3的坐标求出横纵坐标的乘积，进而得到左值的取

值范围，即可得出结果.

【详解】解：由图象可知：4(—2,2),5(1,-2),

.\-2x2<^<1x(-2),即：-4<k<-2,

•••左的值可以为—3；

故选C.

10.如图，正方形ABCD的边长为4,点E为AT＞的中点，连接47,BE,点、M,N货别在BE,AC上,

且CN=-AN,则"N的长为（）

33

A.B.-C.2J2D.3

22"

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质.设力乙座交于点P,根据正方形的性

1111

质可得_AEPs&CBP,从而得到PE=—3E,AP=—AC,再由ME,CN=-AN,可得

3333

PMPN5

——=—=—,从而得到.APESJVPM,即可求解.

PEPA4

【详解】解：如图，设4C庞交于点尸,

•.•四边形A3CD是正方形，且边长为4,

AD^BC=^,AD//BC,

_AEPsCBP,

.APEPAE

''CP~BP~BC'

:点E为AD的中点，

AE=-AD=-BC=2,

22

APEP

——,

CPBP2

AP

=——=-,即PE=—3E,AP=—AC,

ACBE333

BM=-ME,CN=-AN,

33

33

MEBE,AN=-AC,

44

PM=—BE,PN=—AC,

1212

PMPN_5

PEPA4

•：ZAPE^ZNPM,

：._APES&NPM,

.MNPN5

AE~PA~1'

.MN_5

••一,

24

2

故选：B

第II卷

注意事项：

1.用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效.

2.作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑.

二、填空题:本题共6小题，每小题4分，共24分.

11.已知4=2/0,则生吆的值为.

34b

73

【答案】一##1一##1.75

44

【解析】

【分析】本题考查比例的性质，根据比例设。=3后b=4k,代入计算是解题的关键.

nh

【详解】解：・・・一二—wO,

34

・••设a=3k,b=4k,

,a+b3k+4左7

则n^―=-------

b4k4

7

故答案为：一.

4

12.已知x=l是一元二次方程9+2x—左=0的一个根，则上的值为

【答案】3

【解析】

【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值,

据此把尤=1代入原方程求出k的值即可.

【详解】解：=l是一元二次方程炉+2%—左=0的一个根,

.,•12+2x1—左=0，

•,.左=3,

故答案：3.

13.如图，AC,加»是菱形A3CD的对角线，若Nl=20。，则N2的度数为

【解析】

【分析】本题考查菱形性质，三角形内角和定理.根据题意利用菱形性质可知Nl=N£>C4=20。，

ACA.DB,利用三角形内角和即可求得本题答案.

【详解】解：：四边形ABCD是菱形，Zl=20°

ACA.DB,Z1=ZDCA=20°,

：.Z2=90°-20°=70°,

故答案为：70。.

14.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云

长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长与宽各

多少步？若设长为x步，则可列方程是（方程化为一般形式）.

【答案lx2-60x+864=0

【解析】

【分析】设长为X步，则宽为（60-X）步，根据题意列出一元二次方程，最后化为一般形式即可求解.

【详解】设长为x步，则宽为（60―同步，根据题意，可歹U方程为x（60—%）=864,

整理得：J-60%+864=0

故答案为：X?—60%+864=0.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键.

15.如图，已知。石〃3。，：S四边形DBCE=1：8,则=.

B

AEC

【答案】l：3##g

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键.，根据相似三

角形的判定和性质即可得到结论.

【详解】解：DE//BC，

.•△ADEsAABC,

二。呜，

S^ABCJ（BCJ

SADE-S四边形DBCE=1:8，

,SADEJDE?z1

•，SABCl5cj9,

DE1

.1-=—即DEBC=1:3,

BC3

故答案为：1:3.

16.抛物线丁=-/+3町+2的对称轴在y轴的右侧，点和点在该抛物线上，若

%〉%>2,则m的取值范围是

【答案】m>1

【解析】

【分析】本题考查二次函数图像及性质，一元一次不等式求解.根据题意先将对称轴求出，再将点4（加,%）

和点3（加+1,%）代入y=-Y+3阳+2中，并利用题干信息列出一元一次不等式即可得到本题答案.

【详解】解：抛物线y=--+3g+2对称轴在y轴的右侧，

3m3m八r八

•*-x-....=—>0,即13机>0,

-22

:点A[m,%）和点B（m+1,%）在该抛物线上，

，把点%）和点3（〃2+1,%）代入V=-必+3mx+2中得：

%=一m2+3m2+2=2m2+2,

y,=_（m+1）2+3m（m+1）+2=2m2+m+l,

1•'%>%>2,

2/w2+m+l>2m2+2，即%>1,

m的取值范围是：7Z7>1,

故答案为：777>1.

三、解答题:本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解方程/—4x—6=0

【答案】石=2+所，%=2—灰

【解析】

【分析】原方程运用公式法求解即可.

2

【详解】解：X-4X-6=0

a=l,b=-4,c=-6

/.A=b2-4ac=（—4）2—4x1x（—6）=40>0

.­.x=^0=2±7i0

/.Xy=2+J10,%2=2-410

【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答此题的关键.

18.已知：如图，在矩形A3CD中，E是A3的中点，求证：DE=CE.

【解析】

【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质；由矩形的性质得NA=N3=90°,

AD=BC,再由SAS可判定且△3CE,由全等三角形的性质即可求证；掌握性质及判定方法是

解题的关键.

【详解】证明：四边形A3CD为矩形，

.•.ZA=ZB=90°,

AD=BC,

£是AB的中点，

/.AE=BE，

在VADE和,BCE中

AD=BC

<ZA=ZB,

AE=BE

:._ADE^BCE(SAS),

DE=CE.

19.已知：反比例函数y=A(kHO)的图象经过点A(2,l).

(1)求反比例函数的解析式；

(2)若点(—2,%),(-4,%)都在该反比例函数的图象上，试比较%,%大小.

【答案】(1)反比例函数的解析式为y=2

x

(2)%<%

【解析】

【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、比较反比例函数值的大小，熟练掌握反比例函数

的性质是解此题的关键.

（1）将4（2,1）代入反比例函数解析式求出k的值即可得到答案；

（2）把点（2,%）,（4,%）代入反比例函数解析式，求出力，为的值，比较大小即可得到答案.

小问1详解】

解：反比例函数y=七图象经过4（2,1）,

X

.,.左=lx2=2,

二反比例函数的解析式为：y=-；

X

【小问2详解】

解：点（—2,%）,（T,%）是反比例函数图象上两点,

・・・当x=—2时，X=-1,

当％=-4时，y=

22

Q-1<--，

2

X<%・

20.如图，.A5C中，ZACB=90°,D,石分别为AC,A5的中点，连接C石.

A

巨

（1）尺规作图：在OE的延长线上确定点口，使得BF〃CE.（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，若NA=30°,求证：四边形8CE『为菱形.

【答案】（1）详见解析（作图方法不唯一）

（2）详见解析

【解析】

【分析】（1）在OE的延长线上截取£F=CB,根据三角形的中位线性质得到再根据平行四

边形的判定与性质证明四边形8c即是平行四边形，进而可得5尸〃CE,作图方法不唯一；

（2）根据含30度角的直角三角形的性质和直角三角形斜边中线性质证得6C=CE,然后根据菱形的判定

可得结论.

【小问1详解】

解：如图，点尸为所求作的点.

作图理由：

在DE的延长线上截取EF=CB,

分别为的中点，

二。石为的中位线，

：.DE//BC,即班〃3c

由（1）作图知£/=CB,

，四边形3cM为平行四边形.

BF//CE,即点歹为所求作的点;

作图方法不唯一，如图，作BF=CE,BC=EF,则四边形5cM为平行四边形，3尸〃CE,则点厂

为所求作的点;

如图，作/EBF=/CEB,则5尸〃CE,则点尸为所求作的点;

【小问2详解】

证明：由（1）知，四边形3CEF为平行四边形,

-NACfi=90°,NA=30。，E为A5的中点.

:.BC=-AB,CE=~AB.

22

/.BC=CE.

，四边形BCEF为菱形.

【点睛】本题考查尺规作图、平行四边形的判定与性质、平行线的判定、三角形的中位线性质、含30度角

的直角三角形的性质、直角三角形斜边中线性质、菱形的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用，正确作出

图形是解答的关键.

21.班级开展迎新年联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个福袋A,B,C,D.在抽奖时，每次随机

取下一个福袋，且取A之前需先取下8,取。之前需先取下。，直到4个福袋都被取下.

(1)第一个取下的是。福袋的概率为.

(2)请用画树状图或列表方法，求第二个取下的是A福袋的概率.

【答案】(1)!

(2)图详见解析

4

【解析】

【分析】本题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，正确画出树状图成为解题的关键.

(1)直接利用概率公式求解即可；

(2)画树状图得出所有等可能的结果数和第二个摘下灯笼的结果数，再利用概率公式可得出答案.

【小问1详解】

解：：第一次摘只能先从B和。中选择任意一个，

第一个摘下。灯笼的概率是3.

故答案为：g.

【小问2详解】

解：根据题意画出状态如下：

开始

第一个BD

第二个ADBC

由树状图可得：所有等可能情况有4种，其中第二个取下的是A福袋的情况有1种,

•••第二个取下的是A福袋的概率为

4

22.如图，四边形A3CD和四边形3EFG都是正方形，点E在射线CD上，AC交助于点

O,交A5延长线于点

(1)若。为CE的中点，求证：OE=2OB-,

(2)求证：AB=BH.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】(1)由题意知，CE=2CD,证明则竺=竺=!，进而可证

OECE2

OE=2OB.

(2)证明BGH(AAS),则=进而可证AB=6”.

【小问1详解】

证明：•.•。为CE的中点，

CE=2CD.

四边形A3CD是正方形，

/.CD//AB,AB=CD,

：.ZBAO=ZECO,ZOBA=ZOEC,CE=2AB.

△AO8s△COE.

.OBAB_1

••颉一而一3'

即OE=2O及

【小问2详解】

证明：•..四边形A3CD和四边形3EFG都是正方形，

AZEBG=ZCBH=90°,ZBCE=90°=ZBHG,BG=BE,AB=BC,

NEBC=NGBH,

VZEBC=ZGBH,ZBCE=90°=ZBHG,BE=BG,

BEC冬BGH(AAS),

：.BH=BC,

:,AB=BH.

【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性

质.熟练掌握正方形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题

的关键.

23.为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质.某校决定在一块长16m,宽12m的矩形荒地

ABCD上建造一个花园，要求花园所占面积为荒地A3CD面积的一半.小明的设计方案如图①所示，其

图①图②

（1）请你帮小明求出图中的x；

（2）小明的方案具有如下3个特征：

①花园既是轴对称图形又是中心对称图形；

②花园的边沿与矩形荒地A3CD的四边都有公共部分；

③点AB,C,。都在花园外部.

请你设计一种具有以上特征且不同于小明的方案，并说明方案的合理性.（要求：在图②中画出示意图,

将花园涂成阴影，并在图上标出必要的字母和数据.）

【答案】（1）4

（2）见解析

【解析】

【分析】本题考查矩形面积公式，一元二次方程与实际问题，轴对称中心对称图形定义.

(1)根据题意列出方程即可求得无的值；

(2)设计出符合题意的方案，再分别求出面积加以验证即可得到本题答案.

【小问1详解】

解：依题意得：

,1

16%+12%-%2=—x16x12,

2

解得：石=4或々=24(不符合题意，舍去)，

:.x=4；

【小问2详解】

解：矩形ABC。的面积为16x12=192m?，

阴影部分的面积等于96m2,

方案一：如图，分别为矩形A5CD各边的中点，

AH口

BFC

1,

贝|J阴影部分面积=16x12—4x—x8x6=96nr；

2

方案二：如图，分别以A,5,C,£)为圆心，厂为半径画弧,

,1

由：nr=—xl6xl2,

2

得…近m，

n

方案三：如图，阴影部分面积=16x12—4xgx（4+8）x4=96m2,

24.某校数学兴趣小组模仿七巧板制作了一副如图所示的五巧板，①和②分别是等腰Rt_ABE和等腰

RtBCF,③和④分别是Rt_CDG和Rt.D4H,⑤是正方形EFGH.这副五巧板恰好拼成互不重叠也

无缝隙且对角互补的四边形A3CD,直角顶点E,F,G,〃分别在边BRCG,DH,AE上.

（1）求证：ZADH=ZDCG；

(2)若AH=HE=2,求。G的长;

DG5-D4”

(3)4-1----=一，求一片的值.

GH4DC

【答案】（1）见解析（2）V17-1

⑶。

5

【解析】

【分析】（1）根据题意利用等腰三角形性质得NA3C=NABE+NCB产=90°,再利用三角形内角和性质

即可得到本题答案；

（2）根据题意利用正方形性质得HE=EF=FG=G",再利用相似三角形判定得△ZMHS^QDG,

后利用对应边成比例即可得到本题答案；

（3）根据（2）中相似的结论利用相似三角形性质即可得到本题答案.

【小问1详解】

解：证明：•.•AABE和△6CE都是等腰直角三角形，

ZABE=45°,ZCBF=45°,

ZABC=ZABE+ZCBF=90°

四边形A3CD是对角互补的四边形，

:.ZADC+ZABC=1SO°,

.-.ZADC=90°,即NAZ汨+NCDG=90。.

_COG是直角三角形，

ZDCG+ZCDG^90°.

:.ZADH=ZDCG；

【小问2详解】

解：四边形瓦6/7是正方形，

：.HE=EF=FG=GH.

.ABE和ABCF都是等腰直角三角形，

:.AE=BE,BF=CF,

AH=HE=2,

AE=BE=4,BF=CF=6,CG=8,

和.CDG都是直角三角形，

ZAHD=ZDGC=90°,

由（1）得NADH=/DCG,

:.ADAHSMDG.

AHDH2DG+2

----=----,即nn----=--------,

DGCGDG8

:.DG=y/U-1；

【小问3详解】

解：设DG=5k,GH=Ak,AH=x,则HE=EF=FG=4k,

AE-BE=4左+x,BF—CF=8左+%,CG=12左+%,

由（2）知：ADAHs"DG,

AH_DHAD

'~DG~~CG~~DC，

Yqk

——，解得：x=3k,

5k12k+x

DA3

•.•—_.

DC5

【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，三角形内角和性质，正方形性质，相似的判定及性质.熟悉相关图

形的性质，弄清图中线段间的关系是解题的关键.

25.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线y=x?+c与无轴交于A,8两点(点A在点2的左侧),

与y轴交于点C,且。4=；0C.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点。为线段A5上的动点，过点。作AC的平行线交5C于点E,求CDE面积的最大值；

(3)点M是该抛物线上不同于A,8的一个动点，连接过点。作40的平行线4,过点2作y轴

的平行线4,交4于点M判断直线MV是否恒过一定点，如果过定