广东省“深惠湛东”四校2023-2024学年高二年级上册数学联考试题含答案

广东省“深惠湛东”四校2023-2024学年高二上学期数学联考试题

2024届高二年级“深惠湛东”四校联考试题

数学

本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知。=(2,1,3),6=(1,1，入)，若a//6,则实数A等于()

一,

11

A.—6B.-rC.--r

2.如图，在平行六面体A5cD_Ai耳G3中，M是A£与的

交点，若AB—a,AD-b,AA}=c,且Affi=xa+yb+zc,则

x+y+z等于()

A.1B._-

C.0D._f

3.已知直线64的斜率是方程x22=0的两个根，则()

A./,JZ2B./j//l2

C.4与相交但不垂直D.乙与b的位置关系不确定

4.已知双曲线5=l(b>a>0)两条渐近线的夹角为I则双曲线的离心率为()

ab'

4GD.迈

A.2B.

5.已知/为抛物线y=工的焦点，点A,B,C在抛物线上，/为AABC的重心，则

\AF+BF+Cf||=()

A.-B.1C.-D.2

22

6.已知椭圆C：l+」：=l(a>b>Q),工厂2是椭圆C的左、右焦点，焦距为2c,M是椭

ab

圆C上一点，/是经修“尸2的外角平分线，过B作/的垂线，垂足为尸，则。目=()

A.laB.bC.cD.a

7.已知双曲线C:二一二=1(4>0/>0)的左、右焦点分别为b1、F2,焦距为2c.若以线

ab

段招尸2为直径的圆与直线如一勿+2〃c=0有交点，则双曲线C的离心率取值范围为()

A.(1,2)B.(2,+伪)C.(1,2]D.2+伪)

8.法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔•蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画

法几!可学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中.过椭圆

C:二+匚=1(。>。>0)外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨

ab

迹是以椭圆的中心为圆心、以：户不为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆.

若椭圆C：'+=1(0<m<4)的蒙日圆为¥+/=7,过圆E上的动点“作椭圆

4m

C的两条切线，分别与圆E交于P,Q两点，直线尸。与椭圆。交于A]两点，则下列结论

物心一兴砧1石4+4用

不正确的是()

A.椭圆C的离心率为g

B.M到C的右焦点的距离的最大值为」亍+1

C.若动点N在C上，记直线AN,的斜率分别为用,质，则%能二一'

D.AMPQ面积的最大值为:

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知空间向量a=(1,—2,2),b=(0,2,0),a力构成的平面记为C,则下列说法正确的

是()

A.向量c=(-2,0,1)与C垂直

B.向量2=(1,0,2)与C平行

C.若。与b分别是A与乙的方向向量，则直线4,4所成的角的余弦值为一；

D.向量匕在向量°上的投影向量为(0,-2,0)

10.下列说法中，正确的有().

A.直线y=2x-1在y轴上的截距为-1

B.过点P(—1,2)且在轴截距相等的直线方程为x+y—1=0

C.若点(0,0)在圆炉+V+2X—4y一斤—2%+8=0夕卜，贝卜4〈发<2

D.已知点P(x,y)是直线3x+4y—7=0上一动点，过点P作圆C:炉++y2=0的两条

切线，为切点，则四边形PACB面积的最小值为；Q

11.已知等轴双曲线C：l—=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为工,也，过双曲线C上

ab

的一点M作两条渐进线的垂线，垂足分别为P,。，则()

A.双曲线C的离心率为2

B.直线与直线的斜率之积为定值

C.四边形面积的最大值为邪(。为坐标原点)

〉g俑而旃

12.已知直四棱柱ABCD—A4G2的底面为正方形，A41=尸为直四棱柱内

一点，且AP="zAB+”AD1,其中,则下列说法正确的是()

A.当机=:时，三棱锥尸一ACZ)i的体积为定值

B.当〃=!时，存在点P,使得PA」PC

C.当机+==1时，PA+PC的最小值为

D.当力2+2〃=1时，存在唯一的点P,使得平面PA。」平面PBC

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在空间直角坐标系。孙z中，A(2,l,l),B(b,0,5),C(0,c,4),若四边形0ABe为平行

四边形，贝肪+c二.

14.设抛物线y=的焦点为尸，AQ,')为抛物线上一点，则4月=.

物心一夹牯C石4+4京

15.已知直线4:mx+ny=3m+n与直线4:nx-my—n+3m=0（九〃eR）相交于点Af,点

N是圆C:(X+3)2+。+3)2=4上的动点，则MN的取值范围为.

16.椭圆二+二=1(。>匕>0)的一个焦点是尸(1,0),O为坐标原点，过尸的直线/交椭圆

ab

于43两点.若恒有。+0•<4瓦，则椭圆离心率的取值范围为.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.日小题满分10分)

已知圆C的圆心坐标为C(l,2),且与无轴相切.

(1)求圆C的方程；

(2)设直线/:x+y一m=0与圆C交于两点.从条件①、条件②中选择一个作为

已知条件，求机的值.

条件①：*=2,J7；条件②：经ACB=120。.

18.体小题满分12分)

如图，在直三棱柱ABCA/iG中，ACjBC,AC=BC=],

AA1=21万.M为侧棱的中点，连接AM,CM,C明.

(1)求C|M与平面ACM所成角；

(2)求二面角C—AM—8的余弦值.

19.生小题满分12分)

已知直线=x与双曲线C:V—？=1(6>0)相交于A4两点，且A山两点的横坐

标之积为一.

(1)求双曲线C的离心率e；

(2)设与直线/平行的直线机与双曲线C交于两点，若AOMN的面积为3、/2

(O为坐标原点),求直线机的方程.

物心一夹砧^石4+4京

20.沐小题满分12分)

如图，在平面四边形ABC。中，BC\CD,BC=CD=手，AB=AD,以BD为折痕

把AABD和△CBD向上折起，使点A到达点£的位置，点C到达点厂的位置(EF不重

合).

(1)求证：EF\BD；f.

(2)若平面EBZ)」平面F2D点G为AABD的重心，

EG］平面ABD,且直线EE与平面所成角为60。.

①求的长度；

②求二面角A—BE—D的余弦值.F*：\

21.沐小题满分12分)

已知椭圆C:二+匚=1(a>6>0)的长轴长为4,离心率为△,点

4(*0，%)仁研)子0)为椭圆C上的一点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过原点O的直线8。与椭圆C交于点8、D,且直线8。的斜率与直线04的斜

率满足左BD+2心4=0，求AABD面积的最大值.y

22.牛小题满分12分)

已知4(0,2),8(0,—2),P为平面上的一个动点.设直线AP,3P的斜率分别为占,与，

且满足左1«2二―.-记动点尸的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

31

(2)过点的动直线/与曲线C交于E,b两点.曲线C上是否存在定点N,

22

在，请说明理由.

物心一夹砧4石4+4京

2024届高二年级“深惠湛东”四校联考试题

数学(参考答案)

一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

题号12345678

答案CDCACDDD

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，彳目选错的得0分，音S分选对的得2分.

题号9101112

答案ABADBDACD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.114.工15.「4万-2,6右+2：16.(0,^-)

162

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.(1)因为圆心坐标为(1,2),且圆与x轴相切，

所以圆心到X轴的距离等于半径，即r=2,圆的方程为：(x-1)2+。-2)2=4......4分

(2)若选条件①，设圆心到直线I的距离为d,

因为3=2折,........................................6分

||+2+ni

由点到直线的距离公式，」/=*=1)解得利=3土7T.

VI2+12

若选条件②，设圆心到直线/的距离为％由经ACB=120。，

1+2-根

4/=/ros60o=1,由点到直线的距离公式，A+俨=1，解得3土.......10分

is.a)解法一：以c为原点建立如图所示的直角坐标系.

则q(o,o,2历,颇0』,441,0,0),

所以CM=(0,1,-.yp,CA=(1,0,0),CM=(0,1,/3),

设平面ACM的法向量为"=(X,y,2),

物，K令砧1石+F（石

川(^CA.«=(1,0,0).(x,j,z)=x=0

\\CM-n=(0,l,JJ).(x,y,z)=y+Qz=0

解得X=0,令z=l得，y=万.所以〃=(0,-C，l).......................................................3分

设CjM与平面ACM所成角为e,则sin©=|cos<CxM,n>\-

〔GM.卜2x22

所以e=60O，CtM与平面ACM所成角为600........................................................................5分

解法二：作CtD」CM交CM的延长线于点。(图略)............................2分

易知经C|Af。为C{M与平面ACM所成角.因为/CMC】=1200,所以经。阳。=600.

所以QU与平面ACM所成角为600.........................................................................................5分

m.n

(2)解法一：平面的一个法向量为m=(1,1,0),cos<m,n>=

hl-hl4

因为二面角C-AM-B为锐角，所以二面角C-AM-B的余弦值为4.

12分

解法二：作CE」交A3于点E，作所」AM于点尸(图略)，易知经CEE为二面角

C-AM-B的平面角...............................7分

因为AC」BC,AC=BC=1,所以

AB=~CE=-AB=二EF=AE.sin经&4M=—

'210

根据勾股定理，CF26,dddddddd10分

5

所以cos经CFE=EF=4•,二面角c-AM-B的余弦值为".

.................................12分

CF44

19.(1)因为A,5两点关于原点对称，不妨设点A在第一象限，则

22

33

所以---=1,解得匕=J3,离心率e二门H=2..........................................................4分

22b2

(2)设直线机：y=x+Q子0),加(％1出),此%2，>2).............................................................5分

(y=x+t

2

联立直线机与双曲线C的方程1°v-得：2?-2比-Z-3=0.................................6分

—

/•43

根据韦达定理，有/+x2=t9xxx2=-——..............................................................................7分

所以A-%2二J5+凡1-4《三~=+6,ddddd<ddddddddddd.........9

悭N[=-J3於+6=0-Vr+2..........................................................................................10分

知心K*砧c石4+乙用

=夸小/»+2=%,

点O到直线机的距离d=—p，所以二

J2

解得P=4或一6（舍去），所以/=±2...........................................11分

所以直线相的方程为y=x+2或y=x—2.......................................12分

20.Q）取2D中点打，连接EH,阳，...........................................1分

因为A8=A£>,5C=DC,所以EB=ED,FB=FD,故硝」BD,FHJBD,

因为EHFH=H,EH,FH—平面EFH,所以B。」平面EEH.

因为EB—平面£77/,所以2D」EF............................................4分

（2）①因为BC=CD=<，BC\CD,所以

BD=-RCD=2,FH=BH=LBD=i,

因为平面EBD」平面五2。，

由（1）知，经为平面£BD与平面P2Z）的二面角，所以

经EHF=90。,

因为£H」BD,FHBD=H,所以£71」平面BDF,贝！j

经EHF即为直线所与平面所成角，故经EFH=60。，则E〃=tan60。.FH=R,

由勾股定理可得：EB=AB=577=2.7分

②连接AH,因为点G为A4B。的重心，所以点G必在直线A”上，

过点G作GM//BD交A。于点M,则AH」GM,

因为EG」平面AB。，GM,AG—平面ABD,所以EG」GM,EGJAG,

以G为坐标原点，GM所在直线为x轴，G4所在直线为y轴，GE所在直线为z轴，建立

空间直角坐标系，

22<71/7

由①知，AEB。为等边三角形，所以AG=—A"=-，GH=—AH=-^,

3333

所以-GH。ddddddddddddddddddd.8分

所以4（0,2,0）,5（_1,_",0）典0,0,2死,£）（1,一6,0）,

333一3

设平面ABE的法向量为为=（Xi，M，zJ,

网.%=（1/3,0）.（%1，%*1）一再+j3yY=0

则（J32工/F2J6

伊瓦〃尸（1,彳,^—）.（x14,zj=西+三力=。

令%=1得:%==,，所以々=，

4+乙用

设平面BED的法向量为物=(x2,y2,z2),

|BD.n2=（2,0,0）.（x2,y2,z2）=2x?-0

则［..-J32/rn2j6

||BE.«2=（h~，-Y-）•（尤2，%*2）=尤2+石为+~^~Z2=0

./T-（魂）

解得：x,=0,令%=1，则z?=，所以为=|,.................11分

设平面A—的夹角为仇显然为锐角，贝ijcosB4cos(晟明=g

.............12分

21.Q)依题意2〃=4,-=-。"，：。=2,c=Q,由储=加+/,解得加=1,

a2

所以椭圆的标准方程为：*+9=1.................................................4分

(2)解法一：因为直线。A斜率为%S=y°，则直线B。的方程为＞=一2丫。尤，即

XoJC0

2y/+=0，

（2yo

y=--%,

联立（I%解得无2=J」，所以1/1=

%+16y

|A_+y2=1,0

所以IBD|=2C111.2Kl_8

V<0J£+1”：J.+16.

点A到直线aD的距离为d=3f+皿=孙⑷，..............................

8分

出光+君2

1

=BD\.d==6，......................1.0.分...............

2-J考+16yR

+垣

XQ

漏2次安砧4石+F（京

因此当且仅当工=2,即％=土耳时，等号成立.

V3

因此，三角形A3。面积的最大值为2.........................................................................................12分

解法二：设直线QA的斜率为％,则直线05的斜率为一2人.

将&公安砧/I石4+（石

(y=kx,

联立一2解^^=：-e,所以is1=-：------

+/=1,

(『=-2kx,

42

联立〈期2解得f-所以|加1=一j---------

L=L“6氏Jl+16产

不妨设％>0,xB<0,则

“22k、„-24k、

A(,—^),B(z).......................................................................8分

Jl+4后Jl+4月jl+16/cJl+163

v_ii,_6M||i

SRABO_'XA’BX&YA|_；,,----------=6J/,T，，,八、=61]

Jl♦4A，Jl+--、(1+4s)(1+16产)、的左2++20

Vk

因为6442+工之2/曲:.工=16,当且仅当％=土石时等号成立

k:\Ik:4

所以兀=1,

VI6+20

因为%即=2sMso,所以三角形A3。面积的最大值为2.......................................................12分

22.(1)设尸(x,y)(x子0)•则自=,片=,.2..................................................................1分

xx

y-2y+2y2-41/阳f七八

所以自"1=--/—=±^二-二，化间付一+匚=1.................................................2分

xxx3124

因此，曲线C的方程为'+：=G子0)................................................................................3分

(2)解法一：当直线/斜率存在时，设直线/:>=丘+m，EX，%)尸(乙，为).

3131

因为A/(,-)在/上，所以一人+加二—一.

2222

(|x'+y2=1

联立直线/与椭圆C的方程〈124得(1+3月)/+6股批+3/-12=0.

\\y=kx+m

根据韦达定理，有X1+为=-,*2="―F，弘+%=5,,比2="72’.

1+3%1+3左1+3%1+3k

设定点N(Xo，yo).因为NE」NP,所以

NE-NF=(占-.(>2-X。,为-%)=Uj-x0)(x2-x0)+(%-%)(乃一先)

2

=x^2-x0(xl+x2)+x0+%%-%Gi+%)+y；=0............................................................5分

〜31

将一Z+〃2=--代入化简得：

22

3矣(％2+%2-3%2-1)+碓-3%+3%)+与2+%2+%-11=0...........................................7分

a+外一3/-1=o(x=3

所以〈6-3%+3%=0，解得\°.........................................8分

I..尻=1

IxJ+%2+泗-11=0

直线/斜率不存在时，/:x=3-与C交于ET,JK),F(3,_血)两点，易得NE：NF=0.

22222

知》K安格u石4+乙用

所以曲线。上存在定点N（3,l），使得NE」NF恒成立.9分

解法二：当直线/斜率不存在时，l:x=-与曲线。交于反上声，氏_：一工）两点.

22222

因为NE」NF,所以点N在以E/为直径的圆3:（%—当2+,2=上.

24

—十丁一’（x-3（x—3Q

联立椭圆C与圆R的方程》?4二解得〈11或，.5=5舍去）•

"）2+T"1…