数学人教B版选修2-3课堂导学2.3.2离散型随机变量的方差

课堂导学三点剖析一、离散型随机变量的方差【例1】袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，但不放回原袋中，直到取到白球为止，求取球次数的期望及方差.解析：当每次取出的黑球不再放回时，设随机变量ξ是取球次数，因为每次取出的黑球不再放回去，所以ξ的可能值为1，2，3，4，5，易知：P（ξ=1）==0.2,P(ξ=2)=·=0.2,P(ξ=3)=··=0.2,P(ξ=4)=···=0.2,P(ξ=5)=····1=0.2,∴所求ξ的概率分布为ξ12345P∴Eξ=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3,Dξ=(13)2×0.2+(23)2×0.2+(33)2×0.2+(43)2+(53)2×0.2=2.温馨提示求期望和方差的问题关键是求随机变量的分布列，即求每种情况的概率.因此求事件的概率是基础，另外方差可用定义求，也可以用公式：Dη=Eη2(Eη)2求.二、离散型随机变量的方差的作用【例2】A、B两台测量仪器测量一长度为120mm的工件时分布列如下：A：118119120121122B：118119120121122试比较两种仪器的优劣.解析：设随机变量ξ1表示用A仪器测量此产品长度的数值，随机变量ξ2表示用B仪器测量此产品长度的数值，从而有Eξ1=118×0.06+119×0.14+120×0.60+121×0.15+122×0.05=119.99,Dξ1=(118119.99)2×0.06+(119119.99)2×0.14+(120119.99)2×0.60+(121119.99)2×0.15+(122119.99)2×0.05=0.7299,Eξ2=118×0.09+119×0.15+120×0.52+121×0.16+122×0.08=119.99,Dξ2=(118119.99)2×0.09+(119119.99)2×0.15+(120119.99)2×0.52+(121119.99)2×0.16+(122119.99)2×0.08=0.9899，由此可知，Eξ1=Eξ2,Dξ1<Dξ2,∴A仪器测量结果波动较小，表明A仪器质量较好.温馨提示本题若仅由Eξ1=Eξ2,易产生两台仪器性能一样好的错觉.这表明在实际问题中仅靠期望值不能完全反映随机变量的分布特征，还要研究其偏离平均值的离散程度（即方差）.三、离散型随机变量的方差的最值【例3】若随机事件A在1次试验中发生的概率为p（0<p<1）,用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数.（1）求方差Dξ的最大值？（2）求的最大值.解析：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1p，从而Eξ=0×(1p)+1×p=p,Dξ=(0p)2×(1p)+(1p)2×p=pp2.(1)Dξ=pp2=(p2p+)+=(p)2+,∵0<p<1,∴当p=时，Dξ取得最大值，最大值为.(2)==2(2p+),∵0<p<1,∴2p+≥2,当2p=,p=时，取“=”，因此，当p=时，取得最大值22.各个击破类题演练1已知某离散型随机变量X服从的分布列为X10Ppq且0<p<1.q=1p,求D（X）.解析：由题目知X服从二点分布，所以E（X）=p,D(X)=(1p)2·p+(0p)2·q=q2p+p2q=pq.这表明在二点分布试验中，离散型随机变量X围绕期望的平均波动大小为pq.变式提升1已知某离散型随机变量X服从下面的二项分布：P（X=k）=k4k(k=0,1,2,3,4),求E（X）和D（X）.解析：根据题目知道离散型随机变量X服从参数n=4和的二项分布，所以E（X）=np=4×0.1=0.4,D(X)=npq=4×0.1×0.9=0.36.类题演练2一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个选择正确答案得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分.某学生选对任一题的概率为0.6，求此学生在这一次测验中的成绩的期望与方差.解：设该学生在这次数学测试中选择正确答案的个数为X，所得的分数（成绩）为Y，则Y=4X.由题知X~B（25，）,∴EX=25×0.6=15,DX=25×0.6×0.4=6,EY=E(4X)=4EX=60,DY=D(4X)=42×DX=16×6=96.答：该学生在这次测验中的期望与方差分别是60与96.点评：审清题意得出X~B（25，）是解本题的重要一步.变式提升2若X是离散型随机变量，P（X=x1）=,P(X=x2)=,且x1<x2,又已知EX=,DX=,则x1+x2的值为（）A.B.C.3D.解析：由EX=x1+x2=得2x1+x2=4①又DX=（x1）2·+(x2)2·=得18x12+9x2248x124x2+29=0②由①②，且x1<x2得x1+x2=3.答案：C类题演练3设一随机试验的结果只有A和，且P（A）=p，令随机变量X=1，则X的方差DX等于（）B.2p(1p)C.p(1p)D.p(1p)解析：EX=0·（1p）+1·p=p,DX=(0p)2·（1p）+(1p)2·p=pp2=p(1p).答案：D变式提升2甲、乙两种水稻在相同条件下各种植100亩，它们收获情况如下：甲：亩产量（单位：公斤）300320330340亩数20254015乙：亩产量（单位：公斤）310320330340亩数30204010试评价哪种水稻的质量较好.解：设甲、乙两种水稻的亩产量分别为ξ1,ξ2,则P（ξ1=300)==,P(ξ1=320)==,P(ξ1=330)==,P(ξ1=340)==;P(ξ2=310)==,P(ξ2=320)==,P(ξ2=330)==,P(ξ2=340)==.从而有Eξ1=300×+320×+330×+340×=323.Eξ2=310×+320×+330×+340×=323.这表明两种水稻的平均亩产量相等，进一步求各自的方差，得Dξ1=（